j
η
的条件期望, 的条件期望 记作
E{η ξ = xi },
有
同样可以定义给定的 η = y j 时关于 ξ 的条件期望为
E ξ η = y j = ∑ xi P{ξ = x i η = yi }
i
E { ξ = xi } = ∑ y j P{η = y j ξ = xi } η
{
}
对于二元连续型随机变量 (ξ ,η ), 定义
ξ 表示 名射手所需子弹数目， 则 ξ = ∑ ξ i , 表示9名射手所需子弹数目 名射手所需子弹数目， i =1 的分布如下： 并且 ξi 的分布如下：
9
2 3 1 P 0.8 0.16 0.04 Eξ i = 0.8 + 2 × 0.16 + 3 × 0.04 = 1.24
Eξ = E ( ∑ ξ i ) = ∑ Eξ i = 9 × 1.24 = 11.16
ξ 与 η 是否独立？ 是否独立？
ξ /η
−1 1
0 .3 0.6 解 ξ⋅η − 1 0 1 0 .1 0 .2 0 .1 0.4 P 0.4 0.2 0.4 η 0.4 0.2 0.4 1 1.因为 p−1,0 = 0 ≠ P{ξ = −1} ⋅ P {η = 0} = 0.6 × 0.2 0
2. Eξ = −1 × 0.6 + 1 × 0.4 = −0.2, Eη = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0 E (ξ ⋅ η ) = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0
( 2) j
= ∑ x i p (i 1) ⋅ ∑ y j p (j2 ) = Eξ ⋅ Eη
i
j
注：此性质可推广到任意有限个独立随机变量． 此性质可推广到任意有限个独立随机变量． 该性质的逆命题不一定成立． 但要注意 该性质的逆命题不一定成立．
右表， 例１ (ξ ,η ) 的概率分布如 右表，问
ξi
P
a
p
a−b 1− p
公司可期望获益为Eξi > 0 Eξ i = ap + (a − b )(1 − p ) > 0
Eξ i = ap + (a − b )(1 − p ) P = a − b(1 − p ) > 0 即 a < b < a (1 − p ) −1 , 对于 m 个人，获益 ξ 元， 个人，
i j j i
i j
= Eξ + Eη
注：此性质可推广到任意有限个随机变量的情况，即对 此性质可推广到任意有限个随机变量的情况，
n > 2, 有 n E(ξ1 + ξ2 + ... + ξn ) = Eξ1 + Eξ2 + ... + Eξn = ∑ Eξ i
n n
i =1
特别地： 特别地： E ( 1 ξ ) = 1 ∑ i n ∑ Eξ i n i =1 i =1
−1 0 .3
0
1
ξ
以 所 ξ与η不 立 独 ；
ξ η 是 于 E(ξ ⋅η) − E ⋅ E = 0.
机 量 数 期 : 随 变 函 的 望 定理 :设ξ为r .v ,η = f (ξ ), 并且E[ f (ξ )]存在, 则
(1)若 (1)若
ξ
是离散型随机变量， 是离散型随机变量， 其概率分布为
ξi
a p
a−b 1− p
ξ = ∑ ξ i , Eξ = E (∑ ξ i ) = ∑ Eξ i = ma − mb(1 − p ) .
−1
m
m
m
i =1
i =1
i =1
m
§3.3 条件期望 取某一个定值, 对于二元离散型随机变量 (ξ ,η ), 在 ξ 取某一个定值 η 的数学期望, 的数学期望 称此期望为 的条件下, 比如 ξ = x i 的条件下 求 给定 ξ = xi 时关于
P{ξ = x k } = pk , k = 1,2,... 则
Eη = Ef (ξ ) = ∑f (xk ) pk
(2)若 (2)若 则
ξ
k
是连续型随机变量， 是连续型随机变量，其概率密度为
+∞
ϕ(x)
Eη = Ef (ξ ) = ∫ f (x)ϕ(x)dx −∞
−∞
例2
ξ
设ξ ,η 的分布如下， 的分布如下， 求 E (ξ + η ), E (ξ ⋅ η )
+∞
+∞
+∞
E(kξ +b) = E(kξ) +b = kE +b ξ
= E +b ξ
−∞
−∞
5 E (ξ + η ) = Eξ + Eη
证 是离散型随机变量， 假设 ξ ,η 是离散型随机变量，则
i j i j j i
E (ξ + η ) = ∑ ∑ ( x i + y j ) pij = ∑ ∑ x i pij + ∑ ∑ y j pij = ∑ x i ∑ pij + ∑ y j ∑ pij = ∑ x i pi(1) + ∑ y j p (j2 )
E (ξ + b) = E (ζ ) = ∫− ∞ xϕ ζ ( x )dx = ∫− ∞ xϕ ξ ( x − b)dx
令 z = x − b, 有
+∞
+∞
E (ξ + b) = ∫ ( z + b)ϕ ξ ( z )dz = ∫ zϕ ξ ( z )dz + b ∫ ϕ ξ ( z )dz −∞ −∞ −∞
6 若 ξ与 η独立，则 E (ξ ⋅ η ) = Eξ ⋅ Eη 是离散型随机变量， 证 假设 ξ ,η 是离散型随机变量， 由于ξ 与 η 独立
E (ξ ⋅ η )= ∑ ∑ x i y j pij = ∑ ∑ x i y j p i p
(1) i j i j
所以 pij = pi(1) p (j2 ) ,
0 1 2
ξ
与
η
独立， 独立，
η
P 1/ 4 1/ 2 1/ 4
0 1 2 P 1/ 9 4/ 9 4/ 9
1 4 4 12 4 1 1 1 Eη = 0 × + 1 × + 2 × = = Eξ = 0 × + 1 × + 2 × = 1 9 9 9 9 3 4 2 4 7 E (ξ + η ) = Eξ + Eη = , 由于ξ 与 η 独立， 所以 独立， 43 E (ξ 2 ) = E (ξ ⋅ ξ ) = Eξ ⋅ Eξ = 1 E (ξ ⋅ η ) = Eξ ⋅ Eη = 32 1 1 2 1 3 2 2 2 求E (ξ ) ? E (ξ ) = 0 × + 1 × + 2 × = 4 2 4 2
+∞
0
xλ e
− λx
dx =
1
λ
例5 据统计，一位40岁的健康(一般体检未发现病症) 40岁的健康 据统计，一位40岁的健康(一般体检未发现病症)者，在 年之内活着或自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知)， p(0<p<1,p为已知 5年之内活着或自杀死亡的概率为p(0<p<1,p为已知 ， 年内非自杀死亡的概率为1 p.保险公司开办 保险公司开办5 在5年内非自杀死亡的概率为1-p.保险公司开办5年人 寿保险，参加者需交保险费a元(a已知)，若5年之内非 寿保险，参加者需交保险费a (a已知) 已知 自杀死亡，公司赔偿b (b>a)， 自杀死亡，公司赔偿b元(b>a)，应如何定才能使公司 可期望获益;若有 若有m 参加保险， 可期望获益 若有m人参加保险，公司可期望从中 获益多少？ 获益多少？ 解 设 ξ i 表示公司从第 i 个参加者身上所得的收益 是一个随机变量， 其分布如下： 则 ξ i 是一个随机变量， 其分布如下：
η
P {η ξ = 0}
0 1 2
2 0 5
η
0 1 2
3 5
1 6 3 P {η ξ = 1} 10 10 10
作业： 作业：
P751,2,4
§3.2
数学期望的性质 数学期望的性质
1. E (c ) = c 2. E (aξ ) = aEξ
3. E (ξ + b ) = Eξ + b
4.E(kξ +b) = kE +b (线性性） 其中a , b, c , k是常数 ξ 线性性）
证
E (c ) = c × 1 = c 对于２,３, 对于２ ３ 是连续型随机变量, 我们都假设 ξ 是连续型随机变量, 设 ξ 的概率密度为 ϕ ξ ( x ), 分别设 η = aξ , ζ = ξ + b
E { x} = ∫− ∞ yϕ ( y x )dy η
+∞ −∞
表示在 ξ = x 的条件下关于 η 的条件期望 +∞ E { y} = ∫ xϕ( x y)dx ξ
−∞
表示在 η = y 的条件下关于 ξ 的条件期望
例6 设 ξ 与η 的联合分布为
ξ
η
0 1 2
3 2 0 15 15 求在 ξ = 0 和 ξ = 1 时， 0 关于 η 条件期望. 条件期望. 6 1 3 P {ξ = 0,η = j } 1 15 15 15 解 P{η = j ξ = 0}= P {ξ = 0} P {ξ = 0,η = j } j = 0,1,2 =
P{η = j ξ = 1}=
1 3
P {ξ = 1,η = j } P {ξ = 1}
=
P {ξ = 1,η = j }