知识点4.2
数学期望的性质
1. 随机变量函数的数学期望
定理1设Y 是随机变量X 的函数：Y =g(X)(g 是连续函数).
(1)设离散型随机变量X 的分布律为
p k =P{X =x k },k =1,2,⋯.
若෍k=1+∞g x k p k <+∞,则有E Y =E g X =෍k=1
+∞g x k p k .
(2)设连续型随机变量X 的密度函数为f(x)，若
න
−∞+∞
g(x)f(x)dx <+∞,
则有
E(Y)=E g X =න
−∞+∞g(x)f(x)dx.
定理2设Z 是随机变量X,Y 的函数：Z =g(X,Y)(g 是连续函数).
(1) 设离散型随机变量(X,Y)的分布律为
p ij =P(X =x i ,Y =y j ),(i,j =1,2,⋯),
若෍j=1+∞෍i=1+∞
g(x i ,y j )p ij <+∞,
则有
E(Z)=E g X,Y =෍j=1+∞෍i=1
+∞g x i ,y j p ij .
(2) 设连续型随机变量(X,Y)的密度函数为f(x,y)，
若
න
−∞+∞න−∞+∞
g(x,y)f(x,y)dxdy <+∞,
则有
E(Z)=E g X,Y =න
−∞+∞න−∞+∞
g(x,y)f(x,y)dxdy.
2. 数学期望的性质
（1）设C是常数,则有E(C)=C.
（2）设X是一个随机变量, C是常数,则有E(CX)=CE(X).（3）设X,Y是两个随机变量,则有E(X+Y)=E(X)+E(Y).（4）设X,Y是两个相互独立的随机变量,则有E(XY)=E(X)E(Y).
性质3和4可以推广到有限个随机变量的和及积的情况.
例1假设n个信封内分别装有发给n个考生的录取通知书,但信封上各收信人的地址是随机填写的．以X表示收到自己通知书的人数,求X的数学期望．
解记A k={第k封信的地址与内容一致},k=1,2,⋯,n.
第k个人的通知书随意装入n个信封中的一个信封,恰好装进写有其地址的信封的概率等于1
.
n
故P(A k)=1
,k=1,2,⋯,n.
n
引进随机变量
U k=൝1,若A k发生,
0,若A k不发生.
(k=1,2,⋯,n).
则X=U1+U2+⋯+U n.
于是由数学期望的性质,可得
E(X)=E(U1+U2+⋯+U n)=1.。