5 几何运算Geometry operations5.0图象坐标的变换，改变空间位置（分布）⎩⎨⎧==),('),('y x Y y y x X x5.1二维几何变换：平移、旋转、比例p87 5.2 坐标映射和插值p84- p86, p151 5.3 快速算法p87-885.4三维几何变换和透视变换：平移、旋转、比例、透视p88-91 5.5图象剪贴操作p861．镜象（Mirror ） 2.垂直镜象 3. 转置(Transpose)⎩⎨⎧=-=yy xN x ''⎩⎨⎧-==yN y xx ''⎩⎨⎧==xy yx ''4. 90︒旋转（Rotation ）5. 180︒旋转⎩⎨⎧=-=xy yN x ''⎩⎨⎧-=-=yN y xN x ''5．1 2D Geometry Transformation奇次坐标关系：（正变换，逆变换） （1） S caling(Zoom in/ out)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1''10100011110010001''y x s s y x y x s s y x y x y x y s y x s x y x ==⇒','y x s s ,取值：1）>=1 放大（zoom in ） 2) <=s<=1 缩小（zoom out ） 3) <0, e.g. s=-1 镜像（mirror ） （2） T ranslation图象平移y x t t --,，（坐标轴平移y x t t ++,）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1''10010011110010011''y x t t y x y x t t y x y x y x y x t y y t x x -=-=⇒','（3） R otation图象顺时针旋转α，（坐标轴逆时针α）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000cos sin 0sin cos 111000cos sin 0sin cos 1''ααααααααy x y x y x（4） 组合矩阵yx y x t t s s , ,,α⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1k h g f ed c b 1''y x a y x ，刚体运动下g=h=0,k=1 一般情况下不同变换不可交换：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11''222222222111111111y x k h g f e d c b a k h g f e d c b a y x （1） 平移+平移可交换，旋转+旋转可交换（2） 平移+平移不可交换，平移+比例不可交换 （5） 特例：1） 镜象（mirror ）变换⎩⎨⎧-==yN y xx ''2） 转置（transpose ）⎩⎨⎧==x y yx ''问题：能否用一般平移、旋转、比例表示？5.2 坐标映射和插值、特点：生成一张逐点的2D 图象⎩⎨⎧==),('),('y x Y y y x X x 已知： I(x,y),在整数坐标上的灰度值生成新图象：将(x,y) 处的灰度值移到新的坐标处(x', y'), 但(x', y')不一定是整数值如： x'=1.2x, y'=1.2y问题：将(x,y)处的灰度值放在何处？法1 重采样(Re-sampling)需生成区域，将非整数坐标(x', y')生成的2D 网络重新按整数坐标采样。
通过插值方法生成新的坐标点（整数坐标）（复杂） 法2 逆变换（Inverse Transformation ）⎩⎨⎧==)','('')','(''y x Y y y x X x 已知：原图象：整数坐标()i i y x ,下灰度值过程：新图象：给定一整数值坐标(x', y')⇒原图象坐标(x,y) (x,y)不一定是整数，但必落在一整数网格中，插值求出其上灰度。
原图象网格插值方法(interpolation)1． 最近邻插值（Nearest Neighborhood Interpolation. NNI ）),()','(),),()','(int int int int y x I y x Iy xy x y x old new =⇒⇒⇒赋值取整逆变换（问题：有失真（放大时只重复复制，缩小时只是扔掉一些象素）2． 线性插值（Linear Interpolation ）• 一维情况下： 已知 21,x x 处灰度21,g g ，求3x 处灰度3g 11312123)(g x x x x g g g +---=2D 情况下双线性插值：已知正方形网格上四点灰度，求P 点灰度。
法1 （1） 在Y 方向线性插值。
P Q y y = A A Q AB AB Q g y y y y g g g +---=)(同理求出⎩⎨⎧==?R PR g y y（2） 在X 方向插值,,A Q C R x X x x ==R R p QR Q R p G x x x x g g g +---=⇒)(法2 双线性插值方程：g(x,y)=ax=by+c*y+d step1. 由A ，B ，C ，D 四点g(x,y)求出a , b, c, dstep2. ),(,),(y x g ABCD y x ⇒∈∀由上式求出3． 曲线插值（curvilinear Interpolation ） 二次插值：已知(x,y)一维情况下 （1） 求三点坐标⎪⎩⎪⎨⎧+=-==11)int(23212x x x x x x （2） 计算210,,v v v21,02210,3,2,1,v v v i x v x v v g i i i ⇒=++=（3） 求220x v x v v g x ++=5．3快速算法（2D geometric transformation ）特点：逐点计算、逐行扫描 （1） 决定新象素到旧象素的变换矩阵由逆变换下的平移、旋转、比例组合而成：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1''1001y x f e d c b a y x （2） 选择一合适的插值算法（3） 逐行扫描生成新图象step1. 对第i 行，求第j 列的旧坐标)1,,1,0)(,(-=N j y x ij ij⎪⎩⎪⎨⎧==++-+=++===++-+=++=--ey e f j d di f ej di y b x b c j b ai c bj ai x j ij j ij 11)1()1( 每点只需2个加法 where 每行起点：⎪⎩⎪⎨⎧+=++-=+=+=++-=+=--dy d f i a f di y a x a c i a c ai x i i i i 0,100,10)1()1( 也只有两个加法。
Step2. 插值：),(),(ij ij dd new y x I j i I =5．4 三维几何变换和透视变换；图象变形T Z Y X R Z Y X i i i +⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=333231232221131211r r r r r r r r r R ,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=z y x t t t T透视变换：⎪⎪⎭⎫⎝⎛=i i i i i i i i Z Y F Y X F y x ,),( ,X Y Z x y i i i i i ,,,---物体点的三维空间坐标，相应点的图象坐标（1） T =0时，纯旋转：X r X r Y r Z Y r X r Y r Z Z r X r Y r Z211112113122112212312311321331=++=++=++⎧⎨⎪⎩⎪ 同理⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++==++++=++++==133132131123122121213313213112312212122222133132131113112111213313213111311211122222F r y r x r F r y r x r F Z r Y r X r Z r Y r X r F Z Y F y F r y r x r F r y r x r F Z r Y r X r Z r Y r X r F Z X F x 化简得：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++++=++++=3121131211231211312112E y E x E D y D x D y E y E x E C y C x C x （1）不妨设13=E 则一对点可提供2个方程，8个未知数四个点可解之。
（2） T ≠0，拍摄对象为平面，同样有（1）式的关系，4对点可完全决定一摄影变换。
(3) 围绕坐标轴旋转的情况当沿命名轴向原点看去时，旋转以绕这轴的顺时针方向测定（坐标沿逆时针） 沿X 轴以α角旋转 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛110000cos sin 00sin cos 000011'''Z Y X Z Y X αααα 绕Y 轴以β角旋转 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11000cos 0sin 00100sin 0cos 1'''Z Y X Z Y X ββββ绕Z 轴以γ角旋转 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11000010000cos sin 00sin cos 1'''Z Y X Z Y Xx γγγγ问题：1． 顺序能否交换？（绕同一轴√；绕不同轴X ） 2． 如何求逆交换（变换矩阵转置即可） (4) 平移：比例 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11000000001'''Z Y X t s t s t s Z Y X z z y y x x(5) 透视：x y f X Z f Y Z ⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪⎪⎪齐次表示：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10100010000100001Z Y X fh z y x),,,(),,,(fZ Z Y X h z y x =⇒ ⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫⎝⎛=⇒11)1,,,(fZY fZX f h z hy hxf v u从不同角度观看一平面的算法已知： 从一个视角11,T R 和焦距1F 下平面物体的图象1I 求：从另一个视角22,T R 和焦距2F 下平面物体的图象2IX Y Z X Y Z x y F i i i i i i ,,,,,--------------参考坐标系，摄像机坐标系，图象坐标系，摄像机焦距，设： 物体为平面并使参考坐标系的Z 平面与此平面重合，即平面的Z 坐标为0。