几何证明与计算考向1以圆为背景的特殊四边形的动态探究题1.（2019年河南省中原名校中考第三次大联考数学试卷）如图，AB为⊙O的直径，射线AG为⊙O的切线，点A为切点，点C为射线AG上任意一点，连接OC交⊙O于点E，过点B作BD∥OC交⊙O于点D，连接CD，DE，O D．（1）求证：△OAC≌△ODC；（2）①当∠OCA的度数为时，四边形BOED为菱形；②当∠OCA的度数为时，四边形OACD为正方形．【答案】（1）证明见解析；（2）①∠OCA＝30°，②∠OCA＝45°．【解析】（1）依据SAS可证明△OAC≌△ODC；（2）①依据菱形的四条边都相等，可得△OBD是等边三角形，则∠AOC=∠OBD=60°，求出∠OCA=30°；②由正方形的性质得出∠ACD=90°，则∠ACO=45°．【详解】（1）证明：∵OB＝OD，∴∠B＝∠ODB，∵BD∥OC，∴∠AOC＝∠B，∠DOC＝∠ODB，∴∠AOC＝∠COD，∵OA＝OD，OC＝OC，∴△OAC≌△ODC（SAS）；（2）①∵四边形BOED是菱形，∴OB＝D B．又∵OD＝OB，∴OD＝OB＝D B．∴△OBD为等边三角形，∴∠OBD＝60°．∵CO∥DB，∴∠AOC＝60°，∵射线AG为⊙O的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAC＝90°，∴∠OCA＝∠OAC﹣∠AOC＝90°﹣60°＝30°，②∵四边形OADC是正方形，∴∠ACD＝90°，∵∠ACO＝∠DCO，∴∠OCA＝45°，故答案30°，45°．【点睛】本题主要考查的是切线的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的性质、等边三角形的性质和判定，正方形的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．2. （2019年许昌二模）如图，AB 是半圆O 的直径，C 是半圆上一个动点（不与点A ，B 重合），D 是弦AC 上一点，过点D 作DE ⊥AB ，垂足为E ，过点C 作半圆O 的切线，交ED 的延长线于点F ．（1）求证：FC ＝F D ．（2）①当∠CAB 的度数为 时，四边形OEFC 是矩形；②若D 是弦AC 的中点，⊙O 的半径为5，AC ＝8，则FC 的长为 ．【答案】（1）证明见解析；（2）∠CAB ＝45°310 FC 【解析】（1）证明∠FDC ＝∠FCD ，即可求解；（2）①当∠CAB ＝45°时，∠COB ＝90°，即可求解；②D 是弦AC 的中点，则OD ⊥AC ，AD ＝DC ，cosα＝＝，FD ＝＝＝，即可求解．解：（1）∵FC 是圆的切线，∴∠FCD +∠ACO ＝90°，∵FE ⊥BA ，∴∠ADC +∠CAO ＝90°，而∠CAO ＝∠ACO ，∠ADE ＝∠FDC ，∴∠FDC ＝∠FCD ，∴FC＝FD；（2）①当∠CAB＝45°时，∠COB＝90°，则四边形OEFC是矩形，故答案是45；②连接OD，∵D是弦AC的中点，∴OD⊥AC，AD＝DC，则∠ADE＝∠AOD＝∠FDC＝α，则AD＝CD＝AC＝4，OA＝5，DO＝4，cosα＝＝，则△FDC中，FD＝＝＝＝F C．【点评】本题为圆的综合运用题，涉及到解直角三角形、矩形的基本性质，其中（2），垂径定理的运用，是解题的关键．3.（2019年河南省南阳市镇平县中考数学三模试）如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AB边上一点，以O为圆心OB为半径的⊙O与边AB相交于点E，与AC边相切于D 点，连接OC交⊙O于点F．（1）连接DE，求证：OC∥DE；（2）若⊙O的半径为3．①连接DF，若四边形OEDF为菱形，弧BD的长为________．（结果保留π）②若AE＝2，则AD的长为________．【答案】（1）见解析；（2）①2π；②4.【解析】（1）利用HL可证明Rt△OCD≌Rt△OCB，可得∠COD＝∠COB，利用三角形外角性质可得∠DOB＝∠ODE+∠OED，即可证明∠DOC＝∠ODE，即可得OC//DE；（2）①根据菱形的性质可求出∠BOD，利用弧长公式即可得答案；②由DE∥OC，推出＝＝，设AD＝2k，CD＝3k，由Rt△OCD≌Rt△OCB，可得BC＝CD＝3k，在Rt△ABC中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．【详解】（1）证明：连接O D．∵AC是切线，∴OD⊥AC，∠ODC＝∠OBC＝90°，∵OC＝OC，OD＝OB，∴Rt△OCD≌Rt△OCB（HL），∴∠COD＝∠COB，∵OD＝OE，∴∠ODE＝∠OED，∵∠DOB＝∠ODE+∠OED，∴∠DOC＝∠ODE，∴DE∥O C．（2）①∵四边形DEOF是菱形，∴DF＝OD＝OF，∴△ODF是等边三角形，∴∠DOF＝60°，∴∠BOD＝2∠DOC＝120°，∴的长＝＝2π．故答案为2π．②∵DE∥OC，∴＝＝，设AD＝2k，CD＝3k，∵Rt△OCD≌Rt△OCB，∴BC＝CD＝3k，在Rt△ABC中，则有25k2＝9k2+82，∴k＝2或﹣2（舍弃），∴AD＝4．故答案为4．4.（河南省信阳市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知⊙O的半径为1，AC是⊙O的直径，过点C作⊙O的切线BC，E是BC的中点，AB交⊙O于D点．(1)直接写出ED和EC的数量关系：_________；(2)DE是⊙O的切线吗？若是，给出证明；若不是，说明理由；(3)填空：当BC=_______时，四边形AOED是平行四边形，同时以点O、D、E、C为顶点的四边形是_______．【答案】(1). ED=EC(2).DE是⊙O的切线；证明见解析(3).2 正方形【解析】(1)连结CD，如图，由圆周角定理得到∠ADC=90°，然后根据直角三角形斜边上的中线直线得到DE=CE=BE；(2)连结OD，如图，利用切线性质得∠2+∠4=90°，再利用等腰三角形的性质得∠1=∠2，∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4=90°，于是根据切线的判定定理可判断DE是⊙O的切线；(3)要判断四边形AOED是平行四边形，则DE=OA=1，所以BC=2，当BC=2时，△ACB为等腰直角三角形，则∠B=45°，又可判断△BCD为等腰直角三角形，于是得到DE⊥BC，DE=12BC=1，所以四边形AOED是平行四边形；然后利用OD=OC=CE=DE=1，∠OCE=90°，可判断四边形OCED为正方形．【详解】（1）连结CD，如图，∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∵E是BC的中点，∴DE=CE=BE；（2）DE是⊙O的切线．理由如下：连结OD，如图，∵BC为切线，∴OC⊥BC，∴∠OCB=90°，即∠2+∠4=90°，∵OC=OD，ED=EC，∴∠1=∠2，∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°，即∠ODB=90°，∴OD⊥DE，∴DE是⊙O的切线；（3）当BC=2时，∵CA=CB=2，∴△ACB 为等腰直角三角形，∴∠B =45°，∴△BCD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥BC ，DE =12BC =1， ∵OA =DE =1，AO ∥DE ，∴四边形AOED 是平行四边形；∵OD =OC =CE =DE =1，∠OCE =90°，∴四边形OCED 为正方形．故答案为ED=EC ；2，正方形．【点睛】此题考查了切线的判定与性质，直角三角形斜边上的中线性质，以及平行四边形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解本题的关键．5.（河南省外国语中学2019届九年级中招适应性测试卷数学试题）如图，AB 是O e 的直径，4AB =，点P 是AB 上方圆上的一个动点，连接AP ，作PAB ∠的平分线AC ，交O e 于点C ，过点C 作CD AP ⊥交AP 的延长线于点D .(1)求证：CD 是O e 的切线；(2)当AP =________时，四边形APCO 是平行四边形.【答案】(1)证明见解析；(2)2.【解析】（1）连接OC，根据等腰三角形的性质得到∠CAO=∠ACO，由角平分线的定义得到∠DAC=∠OAC，等量代换得到∠DAC=∠ACO，根据平行线的判定定理得到AD∥OC，由平行线的性质即可得到结论；（2）根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可以得到结论；【详解】(1)连接OC.∠，∵AC平分PAB∠=∠.∴PAC BAC=，∵OA OC∠=∠，∴BAC OCA∠=∠，∴PAC OCAP，∴AD OC⊥，∵CD AD⊥，∴OC CDe的切线.∴CD是O(2)∵AP∥OC,∴当AP=OC时，四边形APCO是平行四边形.∵OC =2，∴AP =2.【点睛】本题考查了切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．6．（2020年1月河南省郑州市一模数学试题）如图，△ABC 内接于⊙O ，且AB ＝AC ，延长BC 至点D ，使CD ＝CA ，连接AD 交⊙O 与点E ，连接BE ，CE .(1)求证：△ABE ≌△CDE ；(2)填空：①当∠ABC 的度数为______时，四边形AOCE 是菱形；②若AE AB ＝，则DE 的长为______．【答案】(1)见解析；(2)①60°；②3【解析】（1）由AB ＝AC ，CD =CA 得出AB =CD ，再根据圆内接四边形的性质和圆周角的性质可知BAE ECD ∠=∠，∠CED ＝∠AEB 从而可证△ABE ≌△CDE（2）①根据菱形的性质可知,AOE OCE V V为等边三角形，进而可推出60ABC ∠=︒ ②由△ABE ≌△CDE 可得ABE BDA ∠=∠进而可可ADB ABE ∽△△，再利用相似三角形的性质可知AB AE AD AB=,从而DE AD AE =-可求. 【详解】（1）证明：∵AB ＝AC ，CD =CA∴∠ABC ＝∠ACB ，AB =CD.∵四边形ABCE 是圆内接四边形180,180,ABC AEC BAE BCE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒180,180,CED AEC ECD BCE ∠+∠=︒∠+∠=︒Q,ABC CED BAE ECD ∴∠=∠∠=∠ACB CED ∴∠=∠ACB AEB ∴∠=∠∴∠CED ＝∠AE B.在ABE △和CDE △中BAE ECD AEB CED AB CD∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩ ∴△ABE ≌△CDE（2）①当60ABC ∠=︒时，四边形AOCE 是菱形理由如下：连接AO,CO,OE ，如下图∵四边形AOCE 是菱形∴OC CE AE OA ===又OA OE OC ==QOA AE OE EC ∴===∴,AOE OCE V V为等边三角形 120AOC ∴∠=︒60ABC ∴∠=︒②由△ABE ≌△CDE可得ABE BDA ∠=∠,ABE BDA BAE DAB ∠=∠∠=∠Q∴ADB ABE ∽△△AB AE AD AB∴=即22AB AD AE ===DE AD AE ∴=-== 【点睛】本题主要考查圆内接四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，圆周角定理及推论，能够对所学知识灵活应用是解题的关键.考向2 以圆为背景的证明与计算1.（河南省漯河市临颍县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知⊙O 的直径AB =10，弦AC =6，∠BAC 的平分线交⊙O 于点D ，过点D 作DE ⊥AC 交AC 的延长线于点E ．（1）求证：DE是⊙O的切线．（2）求DE的长．【答案】(1)详见解析；（2）4.【解析】试题分析：（1）连结OD，由AD平分∠BAC,OA=OD，可证得∠ODA=∠DAE,由平行线的性质可得OD∥AE,再由DE⊥AC即可得OE⊥DE，即DE是⊙O的切线；（2）过点O作OF⊥AC于点F，由垂径定理可得AF=CF=3，再由勾股定理求得OF=4，再判定四边形OFED 是矩形，即可得DE=OF=4.试题解析：（1）连结OD，∵AD平分∠BAC,∴∠DAE=∠DAB，∵OA=OD，∴∠ODA=∠DAO,∴∠ODA=∠DAE,∴OD∥AE,∵DE ⊥AC∴OE ⊥DE∴DE 是⊙O 的切线；（2）过点O 作OF ⊥AC 于点F ，∴AF =CF =3，∴OF =,∵∠OFE =∠DEF =∠ODE =90°，∴四边形OFED 是矩形，∴DE =OF =4.考点：切线的判定；垂径定理；勾股定理；矩形的判定及性质.2.（河南省南阳市淅川县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB 是O e 的直径，点C 在O e 上，AD 平分CAB ∠，BD 是O e 的切线，AD 与BC 相交于点E ，与O e 相交于点F ，连接EF ．（1）求证：BD BE =；（2）若4DE =，BD =AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）6=AE【解析】（1）利用圆周角定理得到∠ACB =90°，再根据切线的性质得∠ABD =90°，则∠BAD +∠D =90°，然后利用等量代换证明∠BED =∠D ，从而判断BD =BE ；（2）利用圆周角定理得到∠AFB =90°，则根据等腰三角形的性质DF =EF =2，再证明BDF ADB △∽△，列比例式求出AD 的长，然后计算AD -DE 即可．【详解】（1）证明：∵AB 是O e 的直径，∴90ACB ∠=︒，∴90CAE CEA ∠+∠=︒．∵BED CEA ∠=∠，∴90CAE BED ∠+∠=︒．∵BD 是O e 的切线，∴90ABD ∠=︒，∴90BAD BDA ∠+∠=︒．又∵AO 平分CAB ∠，∴CAE BAD ∠=∠，∴BED BDA ∠=∠，∴BD BE =；（2）解：∵AB 是O e 的直径，∴90AFB ∠=︒，又∵BE BD =， ∴122D F E F E D ===． 在Rt BDF △中，根据勾股定理得，4BF =．∵D D ∠=∠，90BFD ABD ∠=∠=︒，∴BDF ADB △∽△， ∴BD DF AD BD=，即525AD =， 解得10AD =，∴6AE AD DE =-=．【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质、切线的性质.熟练掌握切线的性质和相似三角形的判定与性质是解答本题的关键．3.（河南省濮阳市县区2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，在ABC ∆中，AB AC =，以AB 为直径作O e 交BC 于点D .过点D 作EF AC ⊥，垂足为E ，且交AB 的延长线于点F .（1）求证：EF 是O e 的切线；（2）若10AB =，60A ∠=o ，求BD 长.【答案】（1）见解析；（2）BD 长为5．【解析】（1）连接OD ，AD ，根据等腰三角形三线合一得BD =CD ，根据三角形的中位线可得OD ∥AC ，所以得OD ⊥EF ，从而得结论；（2）根据等腰三角形三线合一的性质证得∠BAD =12∠BAC =30°，由30°的直角三角形的性质即可求得B D．【详解】（1）证明：连接OD，AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∵OA＝OB，∴OD是△BAC的中位线，∴OD∥AC，∵EF⊥AC，∴OD⊥EF，∴EF是⊙O的切线；（2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝12∠BAC＝30°，∴BD＝12AB＝12×10＝5,即BD长为5．【点睛】本题主要考查的是圆的综合应用，解答本题主要应用了圆周角定理、等腰三角形的性质，圆的切线的判定，30°的直角三角形的性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．4.（河南省新乡市辉县市2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB是⊙O的弦，过点O作OC⊥OA，OC交于AB于P，且CP=C B．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）已知∠BAO=25°，点Q是弧AmB上的一点.①求∠AQB的度数；②若OA=18，求弧AmB的长.【答案】（1）见解析；（2）①∠AQB=65°，②l弧AmB=23π.【解析】(1)连接OB，根据等腰三角形的性质得到∠OAB=∠OBA，∠CPB=∠CBP，再根据∠P AO+∠APO=90°，继而得出∠OBC=90°，问题得证；(2)①根据等腰三角形的性质可得∠ABO=25°，再根据三角形内角和定理可求得∠AOB的度数，继而根据圆周角定理即可求得答案；②根据弧长公式进行计算即可得.【详解】(1)连接OB，∵CP=CB，∴∠CPB=∠CBP，∵OA⊥OC，∴∠AOC=90°，∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA，∵∠P AO+∠APO=90°，∴∠ABO+∠CBP=90°，∴∠OBC=90°，∴BC是⊙O的切线；(2)①∵∠BAO=25° ，OA=OB，∴∠OBA=∠BAO=25°，∴∠AOB=180°-∠BAO-∠OBA=130°，∴∠AQB=12∠AOB=65°；②∵∠AOB=130°，OB=18，∴l弧AmB=36013018018π-⨯（）=23π.【点睛】本题考查了圆周角定理，切线的判定等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.5.（河南省许昌市襄城县2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD AB ⊥，垂足为H ，连接AC ．过»BD上一点E 作//EG AC 交CD 的延长线于点G ，连接AE 交CD 于点F ，且EG FG =．（1）求证：EG 是⊙O 的切线；（2）延长AB 交GE 的延长线于点M ，若2AH =，CH =OM 的长．【答案】（1）见解析（2）OM = 【解析】（1）连接OE ，由GE GF =，推GEF AFH ∠=∠，证OEA OAF ∠=∠，得90GEO ︒∠=，根据切线判定定理可得；（2）连接OC ，设⊙O 的半径为r ，则OC r =，2OH r =-，在Rt OCH ∆中，求得3r =，在Rt ACH ∆中，求得AC ==，由//AC GE ，证Rt △OEM ∽Rt △CHA ，得OM OEAC CH==OM . 【详解】（1）证明：连接OE ，如图，∵GE GF =，∴GEF GFE ∠=∠，而GFE AFH ∠=∠，∴GEF AFH ∠=∠，∵AB CD ⊥，∴90OAF AFH ︒∠+∠=，∴90GEA OAF ︒∠+∠=，∵OA OE =，∴OEA OAF ∠=∠，∴90GEA OEA ︒∠+∠=，即90GEO ︒∠=，∴OE GE ⊥，∴EG 是⊙O 的切线；（2）解：连接OC ，如图，设⊙O 的半径为r ，则OC r =，2OH r =-，在Rt OCH ∆中，222(2)r t -+=，解得3r =，在Rt ACH ∆中，AC ==∵//AC GE ，∴M CAH ∠=∠，∴Rt △OEM ∽Rt △CHA ，∴OM OEAC CH==∴OM =．【点睛】考核知识点：切线判定，相似三角形判定和性质.理解切线判定和相似三角形判定是关键.6.（新乡市名校联考2019-2020学年九年级上学期期末数学试题）如图，已知点P 是O e 外一点，直线PA 与O e 相切于点B ，直线PO 分别交O e 于点C 、D ，PAO PDB ∠=∠，OA 交BD 于点E ．（1）求证：//OA BC ；（2）当O e 的半径为10，8BC =时，求AE 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）21．【解析】（1）连接OB ，由切线的性质可得OB ⊥P A ，然后根据直径所对的圆周角为直角得到∠CBD =90°，再根据等角的余角相等推出∠BCD =∠BOA ，由等量代换得到∠CBO =∠BOA ，即可证平行；（2）先由勾股定理求出BD ，然后由垂径定理得到DE ，求出OE ，再利用△ABE ∽△DOE 的对应边成比例，即可求出AE ．【详解】（1）如图，连接OB ，e相切于点B，∵直线P A与O∴OB⊥P A，∴∠P AO+∠BOA=90°e的直径∵CD是O∴∠CBD=90°，∠PDB+∠BCD=90°又∵∠P AO=∠PDB∴∠BOA=∠BCD∵OB=OC∴∠BCD=∠CBO∴∠CBO=∠BOA∴OA∥BCBC=，（2）∵半径为10，8∴BD由（1）可知∠CBD=90°，OA∥BC ∴OE⊥BD∴E 是BD 的中点，DE =12BD=∴∵BAE D ∠=∠，AEB DEO ∠=∠∴△ABE ∽△DOE ， ∴AE BE DE OE=4=∴=AE ． 【点睛】本题考查圆综合问题，熟练掌握切线的性质与相似三角形的判定与性质是解题的关键．7.（郑州市一中2019年中考三模数学试卷）如图所示,⊙O 是等腰三角形ABC 的外接圆,AB =AC,延长BC 至点D,使CD =AC,连接AD 交⊙O 于点E,连接BE 、CE,BE 交AC 于点F .（1）求证：CE =AE(2)若AE =6，DE =9，求EF 的长.【答案】（1）见解析；（2）4.【解析】 （1）根据内接四边形的性质和圆周角定理，由AAS 得到△ABE ≌△CDE ，即可得到答案； 的（2）证明△AEF∽△DEC，推出AE EFDE EC=即可求得EF的长．【详解】解：（1）证明：∵四边形ABCE为圆O的内接四边形，∴∠ABC=∠CED，∠DCE=∠BAE，又AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∴∠CED=∠ACB，又∠AEB和∠ACB都为»AB所对的圆周角，∴∠AEB=∠ACB，∴∠CED=∠AEB，∵AB=AC，CD=AC，∴AB=CD，在△ABE和△CDE中，BAE DCEAEB CEDAB CD∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝∴△ABE≌△CDE（AAS）(2)∵△ABE≌△CDE，∴AE=EC=6，ED=BE=9，即AE ECDE EB=，且∠AEB=∠CED，∴△AEF∽△DEC，∴AE EFDE EC=.∴EF=AE ECDE•=4.【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握圆周角定理、垂径定理和相似三角形的判定与性质.。