4
3
2
1
0
0
三、重要公式
1．中点坐标公式
若点P1，P2的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则线段P1P2的中点M(x，y)的坐标满足
若线段的中点为M(x0，y0)，一个端点坐标为(a，b)，则另一个端点坐标为(2x0－a,2y0－b)．
2．弦心距公式和弦长公式
(1)弦心距公式：直线截圆所得的弦长为2a，圆的半径为r，弦心距为d，则弦心距公式为d＝ .
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
轴
实轴：线段A1A2，虚轴：B1B2
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ ，e∈(1，＋∞)
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2
渐近线
y＝± x
y＝± x
三、离心率e的作用
(1)椭圆：e越大，图形越扁．
(2)双曲线：e越大，开口越小．
四、常见结论
解法二：因为直线2x－y＋3＝0与以点(0，m)为圆心的圆相切，且切点为A(－2，－1)，所以 ×2＝－1，所以m＝－2，r＝ ＝ .
答案：－2
调研二 椭圆、双曲线
■备考工具——————————————
一、定义
1．椭圆的定义
(1)定义：在平面内到两定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．
1．椭圆
(1)椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为 ，通径是最短的焦点弦．
(2)P是椭圆上一点，F为椭圆的焦点，则|PF|∈[a－c，a＋c]，即椭圆上点到焦点的距离的最大值为a＋c，最小值为a－c.
(3)椭圆的焦点三角形：椭圆上的点P(x0，y0)与两焦点构成的△PF1F2叫作焦点三角形．
如图所示，设∠F1PF2＝θ.
(5)AB为椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的弦，A(x1，y1)，B(x2，y2)，弦中点M(x0，y0)，则
①弦长l＝ |x1－x2|＝ |y1－y2|(其中k为直线AB的斜率)；
②直线AB的斜率kAB＝－ .
答案：B
7．[20xx·江苏卷]在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x＋ (x>0)上的一个动点，则点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是________．
解析：通解：设P ，x>0，则点P到直线x＋y＝0的距离d＝ ＝ ≥ ＝4，当且仅当2x＝ ，即x＝ 时取等号，故点P到直线x＋y＝0的距离的最小值是4.
答案：B
4．[20xx·河北九校联考]圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线3x＋4y＋4＝0与圆C相切，则圆C的方程为( )
A．x2＋y2－2x－3＝0
B．x2＋y2＋4x＝0
C．x2＋y2－4x＝0
D．x2＋y2＋2x－3＝0
解析：由题意设所求圆的方程为(x－m)2＋y2＝4(m>0)，则 ＝2，解得m＝2或m＝－ (舍去)，故所求圆的方程为(x－2)2＋y2＝4，即x2＋y2－4x＝0.故选C.
(2)弦长公式：l＝2a＝2 .
3．切线长公式
圆的方程为f(x，y)＝x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，或f(x，y)＝(x－a)2＋(y－b)2－R2＝0，圆外有一点P(x0，y0)，由点P向圆引的切线的长为l＝ .
■自测自评——————————————
1．设a，b，c分别是△ABC中角A，B，C所对的边，则直线sinA·x＋ay－c＝0与bx－sinB·y＋sinC＝0的位置关系是( )
C．2 D．4
解析：解法一：依题意，圆C的圆心为(2,1)，圆心到直线的距离d＝ ＝ ，又弦长为2 ，所以2 ＝2 ，所以r＝2，故选B.
解法二：联立得 ，整理得2x2－12x＋20－r2＝0，设直线与圆的两交点分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以x1＋x2＝6，x1·x2＝ ，所以|AB|＝ |x1－x2|＝ ＝2 ，解得r＝2.
(2)符号语言：||MF1|－|MF2||＝2a(2a<|F1F2|)．
(3)当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的双曲线的一支；当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的双曲线的一支；当2a＝|F1F2|时，轨迹为分别以F1，F2为端点的两条射线；当2a>|F1F2|时，动点轨迹不存在．
(3)参数方程：
(θ为参数)
圆心(a，b)，半径为r.
2．直线与圆的位置关系
设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0，圆心C(a，b)到直线l的距离为d，由 消去y(或x)，得到关于x(或y)的一元二次方程，其判别式为Δ.
方法
位置关系
几何法
代数法
相交
d<r
Δ>0
相切
d＝r
A．平行B．重合
C．垂直D．相交但不垂直
解析：由题意可得直线sinA·x＋ay－c＝0的斜率k1＝－ ，bx－sinB·y＋sinC＝0的斜率k2＝ ，故k1k2＝－ · ＝－1，所以直线sinA·x＋ay－c＝0与直线bx－sinB·y＋sinC＝0垂直，故选C.
答案：C
2．若直线l1：ax＋y－1＝0与l2：3x＋(a＋2)y＋1＝0平行，则a的值为( )
A．1B．－3
C．0或－ D．1或－3
解析：由题设可得a(a＋2)＝3，解得a＝1或a＝－3.当a＝－3时两直线重合，应舍去，故选A.
答案：A
3．[20xx·合肥调研]已知直线l：x＋y－5＝0与圆C：(x－2)2＋(y－1)2＝r2(r>0)相交所得的弦长为2 ，则圆C的半径r＝( )
A. B．2
答案：C
5．[20xx·广州调研]若点P(1,1)为圆C：x2＋y2－6x＝0的弦MN的中点，则弦MN所在直线的方程为( )
A．2x＋y－3＝0
B．x－2y＋1＝0
C．x＋2y－3＝0
D．2x－y－1＝0
解析：由圆的方程易知圆心C的坐标为(3,0)，又P(1,1)，所以kPC＝ ＝－ .易知MN⊥PC，所以kMN·kPC＝－1，所以kMN＝2.根据弦MN所在的直线经过点P(1,1)得所求直线方程为y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.故选D.
优解：由y＝x＋ (x>0)得y′＝1－ ，令1－ ＝－1，得x＝ ，则当点P的坐标为( ，3 )时，点P到直线x＋y＝0的距离最小，最小值为 ＝4.
答案：4
8．[20xx·唐山摸底]已知直线l：kx－y－k＋2＝0与圆C：x2＋y2－2y－7＝0相交于A，B两点，则|AB|的最小值为________．
解析：点P关于x轴的对称点为P′(－1，－2)，如图，连接PP′，P′Q，由对称性可知，P′Q与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|＝|P′T|.圆(x－3)2＋(y－4)2＝4的圆心为A(3,4)，半径r＝2，连接AP′，AT，则|AP′|2＝(－1－3)2＋(－2－4)2＝52，|AT|＝r＝2，所以|PQ|＋|QT|＝|P′T|＝ ＝4 .
d＝
二、圆的方程及相关概念
1．圆的方程
(1)圆的标准方程与一般方程：
名称
圆的标准方程
圆的一般方程
方程
(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)
圆心
(a，b)
半径
r
(2)A(x1，y1)，B(x2，y2)，以AB为直径的圆的方程为(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.
轴
长轴A1A2的长为2a；短轴B1B2的长为2b
焦距
|F1F2|＝2c
离心率
e＝ ∈(0,1)
a，b，c的关系
a2＝b2＋c2
2.双曲线的方程与性质
标准方程
－ ＝1
(a>0，b>0)
－ ＝1
(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≥a或y≤－a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
②范围：0°≤α<180°.
(2)直线的斜率：
①定义：当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα；当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．
②计算公式：给定两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)，经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝ .
2．直线方程的形式
(1)点斜式：y－y0＝k·(x－x0)
解析：直线l的方程为y－2＝k(x－1)，经过定点P(1,2)，由已知可得圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝8，可知圆心C(0,1)，半径r＝2 ，由圆的性质可知当直线l与CP垂直时弦长最小，因为|CP|＝ ＝ ，故|AB|min＝2 ＝2 .
答案：2
9．[20xx·广东六校联考]已知点P(－1,2)及圆(x－3)2＋(y－4)2＝4，一光线从点P出发，经x轴上一点Q反射后与圆相切于点T，则|PQ|＋|QT|的值为________．
①当P为短轴端点时，θ最大．
② ＝ |PF1|·|PF2|·sinθ＝b2· ＝b2tan ＝c|y0|，当|y0|＝b，即P为短轴端点时， 取最大值，最大值为bc.
③焦点三角形的周长为2(a＋c)．
(4)设F1，F2是椭圆 ＋ ＝1(a>b>0)的左、右焦点，AB是过F1的弦，则|AF2|＋|BF2|＋|AB|＝4a.
答案：D
6．[20xx·湖北重点中学]已知两点A(a,0)，B(－a,0)(a>0)，若圆(x－ )2＋(y－1)2＝1上存在点P，使得∠APB＝90°，则正实数a的取值范围为( )
A．(0,3]B．[1,3]
C．[2,3]D．[1,2]