x(t0 , x0 , t0 ) x0 初态

3.平衡状态：
xe f (xe , t) 0 xe 系统的平衡状态 a.线性系统 x Ax x Rn
A非奇异： Axe 0 xe 0
A奇异：
Axe 0 有无穷多个 xe
b.非线性系统
x f (xe ,t) 0 可能有多个 xe

Pij Pji
x x1 x2 xn T
李氏第二法稳定性定理
设 x f (x,t) 1)在 xe 满足 f (0,t) 0
2） xe 0 V (x, t)存在
定理1
若1)
V
(
x,
t
)
正定 xe
2)
V ( x, t )
负定
则 xe渐近稳定
3)若 x V (x)
eg. x1 x1
x2 x1 x2 x23
令 x1 0 x2 0

xe 1

0

0

0 xe3 1
0 xe2 1
5.2李雅普诺夫意义下的稳定
1.李氏意义下的稳定
如果对每个实数 0 都对应存在另一个
实数 ( ,t0 ) 0 满足 x0 xe (,t0)
则平衡状态 xe 是不稳定的
推论1 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe不稳定
推论2 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe 是李雅普
诺夫意义下的稳定
选取李氏函数的方法
1）构造一个二次型函数 V (x,t)
则 xe大范围渐近稳定
定理2 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)负半定
3)x 0 V(x,t) 0 则 xe 渐近稳定
定理3 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)负半定
3)x 0 V(x,t) 0
则 xe 是李氏意义下的稳定
定理4 若 1)V (x,t)正定 2)V(x,t)正定
2.渐近稳定
1）是李氏意义下的稳定
2） lim t
x(t, x0,t0 )
xe
0
与t0无关 一致渐进稳定
3.大范围内渐进稳定性
对 x0 s( )
都有 lim t
x(t, x0,t0 ) xe
0
s( ) x xe大范围稳定
4.不稳定性 不管 , 有多小，只要 S( ) 内由 x0 出发 的轨迹超出S( )以外，则 xe 不稳定
x0 [x10 , x20 xn0 ]T xe [x1e , x2e xne ]T
1
x0 xe [(x10 x1e )2 (xn0 xne )2 ]2
且
lim
t 0
x(t, x0,t0 ) xe

t t0
则称 xe是李氏意义下的稳定。
与t0无关 一致稳定
V (0) 0
0)Βιβλιοθήκη 不定V (x) 0(x 0) 4)V (x) 0(x 0)
正负
半定
2.二次型标量函数
V (x) X T PX V (x) x12 x22
P11 P12 P1n
P


P21
P22

P2
n




Pn1
Pn2

Pnn
5.4李氏第二法
V (x) 能量函数 V (x) 0 V(x) t V(x) 0
1.标量函数
V (x) 0(x 0)
1)
V (0) 0
正定
V (x) 0(x 0) 2)V (0) 0(x 0)
负定
V (x) 0(x
3)
5.3李雅普诺夫第一法（间接法） 线性定常系统稳定性的特征值判据：
x Ax x(0) x0 t 0
1）李氏稳定的充要条件：
Re( i ) 0 i 1,2,n
2）渐进稳定的充要条件：
Re( i ) 0
i 1,2,n
3）不 稳定的充要条件：Re( i ) 0
第五章 李雅普诺夫稳定性理论
1892年，俄国Lyapunov在《运 动稳定性的 一般问题》中提出了 稳 定 性 理 论 主 要 内 容 ：
• 李氏第一法（间接法）：求解特征方程
特征值
• 李氏第二法（直接法）：利用经验和技巧来构造L函数

5.1稳定性基本概念
1.自治系统：输入为0的系统 x =Ax+Bu(u=0) 2.初态 x =f(x,t)的解为 x(t, x0,t0 )
V (x) xT Px
2）求 V(x,t)
3）判 V(x,t) 定号性
4）判 x 0 V (x,t) 0 ? V 正负半定
反设 V (x, t) 0
若x 0,V 0 李氏意义下的稳定

若x 0,V 0, 渐近稳定
eg1.x1 x2 x1(x12 x22 ) 试用李氏第二法判稳
x2 x1 x2 (x12 x22 )
解：令 x1 0 x2 0
0 xe 0
设V (x) x12 x22 则V (x) 2x1x1 2x2 x2
V (x) 2(x12 x22 ) 0 负定
x V (x) x 2 xe 大范围渐 近稳定