现代控制理论学院：电气工程学院班级：09级自动化3班姓名：赵明学号：任课教师：刁晨单倒置摆控制系统的状态空间设计一．设计题目1.介绍单倒置摆系统的原理图，如图1所示。

设摆的长度为L、质量为m，用铰链安装在质量为M的小车上。

小车有一台直流电动机拖动，在水平方向对小车施加控制力u,相对参考系产生位移z。

若不给小车施加控制力，则倒置摆会向左或向右倾倒，因此，它是一个不稳定系统。

控制的目的是，当倒置摆无论出现向左或向右倾倒时，通过控制直流电动机，使小车在水平方向运动，将倒置摆保持在垂直位置上。

2.用途倒立摆系统以其自身的不稳定性为系统的平衡提出了难题,也因此成为自动控制实验中验证控制算法优劣的极好的实验装置。

单倒立摆的系统结构、数学模型以及系统的稳定性和可控性,对倒立摆进行了成功的控制,并在MATLAB 中获得了良好的仿真效果。

倒立摆控制理论将在半导体及精密仪器加工、机器人技术、伺服控制领域、导弹拦截控制系统、航空器对接技术等方面具有广阔的开发利用前景。

3.意义倒立摆是一种典型的快速、多变量、非线性、绝对不稳定系统. 人们试图寻找同的控制方法以实现对倒立摆的控制,以便检验或说明该方法对严重非线性和绝对不稳定系统的控制能力。

同时，由于摩擦力的存在，该系统具有一定的不确定性。

对这样一个复杂系统的研究在理论上将涉及系统控制中的许多关键问题：如非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问题以及跟踪问题等都可以以它为例进行研究。

二．被控对象的模型为简化问题，工程上往往忽略一些次要因素。

这里，忽略摆杆质量、执行电动机惯性以及摆轴、轮轴、轮与接触面之间的摩擦及风力。

设小车瞬时位置为z，倒置摆出现的偏角为θ，则摆心瞬时位置为(z+lsinθ)。

在控制力u的作用下，小车及摆均产生加速运动，根据牛顿第二定律，在水平直线运动方向的惯性力应与控制力u 平衡，则有u l z dtd m dt z d M =++)θsin (2222即u θsin θml - θcos θ)(2=++∙∙∙∙∙ml z m M (1)由于绕摆轴旋转运动的惯性力矩与重力矩平衡，因而有 mglsin θθcos )]θsin ([22=+l l z dtd m 即θθθθθθθsin cos sin coscos 22g l l z =-+∙∙∙∙∙(2)式(1)、式(2)两个方程都是非线性方程，需作线性化处理。

由于控制的目的是保持倒置摆直立，因此，在施加合适u 的条件下，可认为θ、∙θ均接近零，此时sin θ≈θ，cos θ≈1，且可忽略θθ∙2项，于是有u ml z m M =++∙∙∙∙θ)((3) θθg l z =+∙∙∙∙(4)联立求解式(3) 、式(4)，可得u M M mg z 1+-=∙∙θ (5) u Mlg Ml m M 1)(-+-=∙∙θθ(6)消去中间变量θ，可得输入变量为u 、输出变量为z 的系统微分方程为 u Mlg u M z Ml g m M z-=+-∙∙∙∙1)()4((7)选取小车的位移z 及其速度∙z 、摆角的位置θ及其角速度∙θ作为状态变量，z 为输出变量，并考虑恒等式∙=z dt dz ，∙=θθdtd 及式(5)、式(6)，可列出系统的状态空间表达式为u x x ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=∙Ml M Mlg m M M mg 10100)(0010*********(8a)[]x 0001=y(8b)式中Tz zx ⎪⎭⎫⎝⎛=∙∙θθ假定系统参数M = 1kg ，m=0.1kg ，l = 1m ，g = 9.81m/s 2，则状态方程中参数矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=01100100001000010A ，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1010b ，()0001=c(9)三．分析模型的运动特性作为被控制的倒置摆，当它向左或向右倾倒时，能否通过控制作用使它回复到原位直立位置？这须首先进行能控性的分析。

1、 能控性分析根据能控性的秩判据，并把式(9)的相关数值代入该判据，可得()432==b A b A Ab b M rank rank(10)因此，单倒置摆的运动状态是可控的。

这意味着总存在一控制作用u ，将非零状态x 转移到零。

2、 稳定性分析由单倒置摆系统的状态方程，可求出其特征方程()01122=-=-λλλA I(11)解得特征值为0，0，11， 11-。

4个特征值中存在一个正根，两个零根，这说明单倒置摆系统，即被控系统是不稳定的，须对被控系统进行反馈综合，使4个特征值全部位于根平面s 左半边的适当位置，以满足系统稳定工作并达到良好动、静态性能的要求。

四． 设计方案 1.全维观测器设计 全维状态观测器设计为实现单倒置摆控制系统的全状态反馈，必须获取系统的全部状态，即z 、∙z 、θ、∙θ的信息。

因此需要设置测量z 、∙z 、θ、∙θ的4个传感器。

正如第五章第四节所指出的，往往在一实际工程系统中并不是所有的状态信息都能检测到，或者，虽有些可以检测，但也可能由于检测装置昂贵或安装上的困难造成实际上难于获取信号，从而状态反馈在实际中难于实现，甚至不可能实现。

在这种情况下可设计全维观测器，解决全状态反馈实现问题。

状态观测器设计钱，先要对被控对象的状态作能观测性的判定。

由能观测秩判据，并把式（9）的有关数值代入该判据，得()4==T 3T T 2T T T Tc )(A c )(A c A c N rank rank（16）故被控系统的4个状态均是可观测的。

这意味着，其状态可由一全维（四维）状态观测器给出估值。

由第五章全维状态观测器的动态方程为Gy Bu x GC)(A x ++-=∧∙∧（17）式中()Tg g g g 3210=G全维状态观测器以G 配置极点，决定状态向量估计误差衰减的速率。

全维状态观测器的特征多项式为)11()11()11()(312021304g g g g g g GC A I --+--+-++=--λλλλλ （18）设状态观测器的希望闭环极点为-2，-3，-2±j1（比状态反馈系统的希望闭环极点离虚轴较远），则期望特征多项式为3049319)2)(2)(3)(2(234++++=-+++++λλλλλλλλj j（19）令式（18）与式（19）同同次项的系数相等，可求得90=g ，421=g ，1482-=g ，4923-=g用全维状态观测器实现状态反馈的结构图。

由于最靠近虚轴的希望闭环极点为-2，这意味着任一状态变量估值误差至少以te2-规律衰减。

由于单倒置摆控制系统中的小车位移，可由输出传感器测量，因而无需估计，可以设计降维（3维）状态的观测器。

通过重新排列被控系统状态变量的次序，把需由降维状态观测器估计变量与输出传感器测得的状态变量分开，也就是说，将z 作为第四个状态变量，则按照被控系统的状态和输出方程可变换为：u z zz zdt d ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡010100010011001000010θθθθ []⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=01000θθ z y简记为u ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡221b b x x A A A A x x12122211211 式中[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2110x x I y y⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=θθ z 1x ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=011010001011A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=00012A ,⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=101by z ==2x ,[]001=21A 0=22A ,0=2b ,11=I ,故单倒置摆三维子系统动态方程为u z zdt d ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1010110100010θθθθ ()⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡='θθ z z 001 使用MATLAB 对其的观测性检查，结果是客观的。

因为降维状态观测器动态方程的一般形式为y h u w ])[()()(22122111A h A A h A b h b A h A w211121-+-+-+-= y h w x1+=ˆ 式中，[]Th h h h 21=。

使用MATLAB 可求出降维状态观测器特征多项式为)11()11()(2012032111h h h h --+--++=--λλλλA h A I设期望的观测器闭环极点为-3，i ±-2，则由MATLAB 仿真可得，期望特征多项式为 15177)2)(2)(3(23+++=-++++λλλλλλi i 由MATLAB 可得，0h =7，1h =-28，2h =-92 所以由MATLAB 的仿真可得降维观测器的动态方程为y u w ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=33610421101011921028017w y w xx⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1922870ˆˆ1y五．仿真用simulink对系统进行仿真：1.对被控对象特性分析仿真仿真结果如下：2.全维观测器的仿真仿真结果如下：3.降维观测器的仿真仿真结果如下：由仿真图可以看出，在给系统状态全反馈加上降维观测器后，单位阶跃的作用下，小车的位移z逐渐趋于一个常数，是稳定的系统，而单倒置摆出现的偏角0也逐渐趋于0，符合设计要求。

六．小结比较两种不同的观测器下的发现：1.在单位阶跃的作用下，变量z在降维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间要小于全维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间。

即小车的水平位置z在降维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能较全维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能要好一些，它们的稳态性能则基本一致。

2.在单位阶跃的作用下，变量θ在降维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间要小于全维观测器下的单位阶跃曲线的调节时间，但是降维观测器下的单位阶跃曲线的超调量大于全维观测器下的单位阶跃曲线的超调量，即倒置摆出现的偏角θ在降维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能比全维观测器下的单位阶跃曲线的动态性能要好一些，同样二者而稳态性能则基本一致。

综上所述，使用全维观测器下的状态反馈系统的单位阶跃曲线的动态性能比使用将全维观测器下的状态反馈系统的单位阶跃曲线的动态性能要差一些。

参考文献:[1]梁慧冰.现代控制理论基础[2]胡寿松.自动控制原理简明教程[3]陶永华. 新型PID 控制及其应用[M] . 北京:机械工业出版社, 2003.[4]孙红兵,李生权,王瑜. 基于RBF 网络二级倒立摆系统PID 控制[J ] . 微计算机信息,2007 (6) : 72 - 75.[5]刘豹. 现代控制理论[M].北京:机械工业出版社,1992.。