数学一模拟试题（一）
一、
填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填
在题中横线上） （1）设
⎪⎩
⎪⎨⎧
=≠=00,0,1sin )()(x x x
x x f ϕ, 且0)0()0(='=ϕϕ,则
=⎰→x
dt xt f x 1
)(lim
.
（2）直线L:,0
3⎩⎨
⎧=--=++z y x z y x 与平面01:0=+--z y x π的夹角
θ= .
(3) 无穷级数∑∞
=12
!
n n n = .
(4) 设A 是正负惯性指数均为1的三阶实对称矩阵,且满足
=-=+A E A E , 则行列式
A E 32+= .
(5) 已知随机事件A 、B 、C 满足P(A)=, P(B)=，P(C)=,且A,B 独立，A,C 互不相容，则概率P(A-C )C AB = .
(6) 在总体N(1,4)中抽取一容量为5的简单随机样本
54321,,,,X X X X X ，则概率
=<}1),,,,{m in(54321X X X X X P .
二、选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）
（1）设f(x)、g(x)都是可导函数，且)()(x g x f '<'，则当x>a 时，有
(A)
).()()()(a g x g a f x f -<- (B) ).()()()(a g x g a f x f ->-
(C) ).()()()(a g a f x g x f -<- (D) ).()()()(a g a f x g x f ->- [ ]
（2）设正项级数∑∞
=+1
)1ln(n n a 收敛，则级数∑∞
=+-1
1)1(n n n n a a
(A) 条件收敛. (B) 绝对收敛.
(C) 发散. (D) 敛散性不能确定. [ ]
(3) 设L:0,1422≥=+y y x , 0,0,14:221≥≥≤+y x y x L , 则
(A) ⎰⎰+=+L L ds y x ds y x 1
)(2)(. (B) ⎰⎰=L L xyds xyds 1
2.
(C) ⎰
⎰=L
L ds y ds x 1
222. (D)
⎰
⎰+=+L
L ds y x ds y x 1
)(2)(222.
[ ]
(4) 已知A 、B 为三阶矩阵，且有相同的特征值0，2，2，则下列命题：①A,B 等价；② A,B 相似；③ 若A,B 为实对称矩阵，则A,B 合同；④ 行列式A E E A -=-22,成立的有
(A) 1个 (B) 2个. (C) 3个. (D) 4个.
[ ]
（5） 设随机变量Y X ,相互独立且均服从正态分布),(2σμN ，若概率2
1)(=<-μbY aX P ，则
(A) 2
1,2
1==b a . (B) 2
1,2
1-==b a .
(C) 21,21=
-=b a . (D) 2
1
,21-=-=b a . [ ]
(6) 设X 为随机变量，若矩阵A=⎥⎥
⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--0102023
2X 的特征值全为实数的概率为，则
(A) X 服从区间[0，2]的均匀分布. (B) X 服从二项分布B(2, .
(C) X 服从参数为1的指数分布. (D) X 服从正态分布
)1,0(N . [ ]
三、（本题满分8分）
设)1(f ''存在，且01
)
(lim
1
=-→x x f x ，记⎰-+'=10])1(1[)(dt t x f x ϕ，求)(x ϕ在x=1某个邻域内的导数，并讨论)(x ϕ'在x=1处的连续性 .
四、（本题满分12分）
设函数u f x y =+(ln ),22
满足 ∂∂∂∂2222223
2
u x u y
x y +=+(), 且极限
1)(lim
1
-=⎰→x
dt xt f x ，试求函数f 的表达式.
.
五、（本题满分12分）
设
曲
面
∑
是锥面
22z y x +=
与两球面
1222=++z y x ,2222=++z y x 所围立体表面的外侧,计算曲面积分
dxdy yz f z dzdx yz f y dydz x ))(())((333++++⎰⎰∑
其中f(u)是连续可微的奇函数.
六、（本题满分12分）
设f x x n
x n
n (),.=≤≤=∞
∑2101 证明：∀∈x (,),01 有
（1）
f(x)+f(1-x)+lnx ·ln(1-x)=C (常数) （2） C = f(1)=12
1n
n =∞
∑
七、（本题满分12分）
设微分方程 .0)()(=+'+''y x Q y x P y （1）证明：若 1+P(x)+Q(x)=0 ,则方程有一特解 x e y =；若 P(x)+xQ(x)=0，则方程有一特解 y=x.
(2) 根据上面的结论，求 0)1(=+'-''-y y x y x 的通解和满足初始条件1)0(,2)0(='=y y 的特解.
（3）求1)1(=+'-''-y y x y x 满足初始条件 1]
1)(ln[lim
0-=-→x
x y x 的特解.
八、（本题满分10分）
设f(x)在[0，2]上连续，在（0，2）内具有二阶导数，且
02
cos
)]
(2ln[lim 1=+→x
x f x π，⎰=21)2()(f dx x f ，求证：)2,0(∈∃ξ，使 .0)()(=''+'ξξf f
九、（本题满分8分）
设1η与2η是非齐次线性方程组Ax=b 的两个不同解(A 是n m ⨯矩阵)，ξ是对应的齐次线性方程组Ax=0的非零解，证明：
（1） 向量组211,ηηη-线性无关；
（2）
若秩r(A)=n-1，则向量组21,,ηηξ线性相关.
十（本题满分10分）
已知A 、B 为4阶矩阵，若满足AB+2B=0, r(B)=2,且行列式02=-=+A E A E ，（1）求A 的特征值；（2）证明A 可对角化；（3）计算行列式E A 3+.
十一（本题满分9分）
设二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度函数为
其他1
,1,0,4/)1(),(<<⎩
⎨⎧+=y x xy y x f
证明：X 与Y 不独立，但2X 与2Y 独立.
十二（本题满分9分）
设总体X 服从[0，θ]上的均匀分布，θ未知（θ>0）,X X X 123,,是取自X 的一个样本
（1） 试证： max θ11343
=≤≤i i X , min θ213
4=≤≤i i X 都是θ的无偏估计 （2）
上述两个估计中哪个方差最小。