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（2，1，1）＝（4，2，1），
（2（2，1，1））＝ （4，2，2）＝（16，4，4）≠2 （2，1，1）．
故 不是线性变换．
（4）由
易知 （x1＋y1，x2＋y2，x3＋y3）＝ （x1，x2，x3）＋ （y1，y2，y3）及 （kx1，kx2，kx3）＝k （x1，x2，x3）．故 是线性变换
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（2）[O；ε1，ε2]是平面上一直角坐标系， 是平面上的向量对第一和第三象限角的
平分线的垂直投影， 是平面上的向量对 ε2 的垂直投影，求
在基 ε1，ε2 下的
矩阵：
（3）在空间 P[x]n，中，设变换
，求 在基
下的矩阵； （4）六个函数
的所有实系数线性组合构成实数域上一个六维线性空间．求微分变换 在基 εi（i＝1，2，…，6）下的矩阵；
（5）已知 P3 中线性变换 在基 η1＝（－1，1，1），η2＝（1，0，－1）， η3＝（0，1，1）下的矩阵是
求 在基 ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0），ε3＝（0，0，1）下的矩阵； （6）在 P3 中 定义如下．
求 在基 ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0），ε3＝（0，0，1）下的矩阵；
结论成立． 设 k＝m 时结论成立，即
于是
故 k＝m＋1 时结论也成立．于是对一切 k>1，结论成立．完成了归纳法．
5．证明：可逆变换是双射． 证明：设 为可逆变换，即有逆变换 证明 是单射．对 α，β，若有
用 同乘此式两边，则左＝
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，右＝
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2）． 可逆的充要条件是 A 可逆，即秩（A）＝n（定理 2）．故
线
性无关的充要条件是 A 可逆．
另证，设 A 可逆，则是 n 维线性空间 V 的自同构．它把 V 的基 ε1，ε2，…，εn 变成
V 的基，故
是 V 的基，因而线性无关．
设
是 n 个线性无关的向量，故是 V 的基，V 的任一元 β 是
（f（x）＋g（x））＝ （f（x））＋ （g（x）），
kf（x））＝k f38
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（7）不是，例
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（8）是．
2．在几何空间中，取正交坐标系 Oxyz．以 表示将空间绕 Ox 轴由 Oy 向 Oz 方向 旋转 90°的变换，以 表示绕 Oy 轴由 Oz 向 Ox 方向旋转 90°的变换，以 表示绕 Oz 轴 由 Ox 向 Oy 方向旋转 90°的变换．证明：
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第 7 章 线性变换
1．判别下面所定义的变换，哪些是线性的，哪些不是：
（1）在线性空间 V 中，
其中 α∈V 是一固定的向量；
（2）在线性空间 V 中， ξ＝α，其中 α∈V 是一固定的向量； （3）在 P3 中， （x1，x2，x3）＝（ x12 ，x2＋x3， x32 ）； （4）在 P3 中， （x1，x2，x3）＝（2x1－x2，x2＋x3，x1）； （5）在 P[x]中， f（x）＝f（x＋1）；
并检验
是否成立．
解：取任意向量 α＝（x，y，z），则
于是有 （1）
z），故有
同样有
（2） 故
（3） 故 （4）
故
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3．在 P[x]中
，证明：
证明：
故
4．设
是线性变换，如果
证明：
证明：对 k 作数学归纳法，k＝2 时，
的线性组合，
即都是某元在 变换下的像．即 是满射．再由定理 11 的推论，知 也是单射， 故 是可逆的．
7．求下列线性变换在所指定基下的矩阵： （1）第 1 题（4）中变换 在基 ε1＝（1，0，0），ε2＝（0，1，0），
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ε3＝（0，0，1）下的矩阵；
在 ε1，ε2 下的矩阵为 AB，
（3）计算
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故 在 ε0，ε1，…，εn-1 的矩阵为 （4）略去计算． 在基 ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为 （5）因 故
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（7）同上．求 在 η1，η2，η3 下的矩阵．
解：（1） 故 在 ε1，ε2，ε3 下的矩阵为
（2）ε1＝（1，0），ε2＝（0，1）．则 矩阵为
故 在 ε1，ε2 下的
又
，于是 在 ε1，ε2 下的矩阵为
故 α＝β，即 是单射．
证明 是满射．对 α，找 β 使
则
．故
是满射．
既是单射，又是满射，因而是双射．
6．设 ε1，ε2，…，εn 是线性空间 V 的一组基， 是 V 上的线性变换，证明 可逆当
且仅当
线性无关．
证明：设 在基 ε1，ε2，…，εn 下的矩阵为 A，
是线性无关的充要条件是秩（A）＝n（前一章补充题
故 是线性变换．
当 α≠0 时，则有
（ξ＋ξ）＝ （2ξ）＝2ξ＋α，
但 （ξ）＋ （ξ）＝ξ＋α＋ξ＋α＝2ξ＋2α≠ （ξ＋ξ）．
这时 不是线性变换．
（2）当 α＝0 时是线性变换．
当 α≠0 时， （0）＝α≠0，故不是线性变换．
（3）计算下面式子．
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（5）由于
（f＋g）（x＋1）＝f（x＋1）＋g（x＋1），
（kf）（x＋1）＝kf（x＋1），
知
（f（x）＋g（x））＝ （f（x））＋ （g（x）），
（kf（x））＝k （f（x）），
故 是 P[x]上线性变换．
（6）由于
故有
（f＋g）（x0）＝f（x0）＋g（x0）， （kf）（x0）＝kf（x0），
（6）在 P[x]中， f（x）＝f（x0），其中 x0∈P 是一固定的数； （7）把复数域看作复数域上的线性空间， ξ＝ ；
（8）在 Pn×n 中， （X）＝BXC，其中 B，C∈Pn×n 是两个固定的矩阵．
解：（1）当 α＝0 时， ξ＝ξ，有
（ξ＋η）＝ξ＋η＝ ξ 十 η，
（kξ）＝kξ＝k ξ．