第四章 线性变换习题精解1． 判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是：1） 在线性空间V 中，A αξξ+=,其中∈αV 是一固定的向量； 2） 在线性空间V 中，A αξ=其中∈αV 是一固定的向量；3） 在P 3中，A),,(),,(233221321x x x x x x x +=； 4） 在P 3中，A ),,2(),,(13221321x x x x x x x x +-=；5） 在P[x ]中，A )1()(+=x f x f6） 在P[x ]中，A ),()(0x f x f =其中0x ∈P 是一固定的数； 7） 把复数域上看作复数域上的线性空间， A ξξ=8） 在P nn ⨯中，A X=BXC 其中B,C ∈P nn ⨯是两个固定的矩阵. 解 1)当0=α时,是;当0≠α时,不是. 2)当0=α时,是;当0≠α时,不是.3)不是.例如当)0,0,1(=α,2=k 时,k A )0,0,2()(=α, A )0,0,4()(=αk ,A ≠)(αk k A()α.4)是.因取),,(),,,(321321y y y x x x ==βα,有A )(βα+= A ),,(332211y x y x y x +++=),,22(1133222211y x y x y x y x y x ++++--+ =),,2(),,2(1322113221y y y y y x x x x x +-++- = A α+ A β A =)(αk A ),,(321kx kx kx),,2(),,2(1322113221kx kx kx kx kx kx kx kx kx kx +-=+-== k A )(α故A 是P 3上的线性变换.5) 是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈,并令)()()(x g x f x u +=则A ))()((x g x f += A )(x u =)1(+x u =)1()1(+++x g x f =A )(x f + A ))((x g 再令)()(x kf x v =则A =))((x kf A k x kf x v x v =+=+=)1()1())((A ))((x f 故A 为][x P 上的线性变换.6)是.因任取][)(],[)(x P x g x P x f ∈∈则.A ))()((x g x f +=0(x f 0()x g +=)A +))((x f A )((x g )A 0())((x kf x kf =k =)A ))((x f7)不是.例如取a=1,k=I,则A (ka)=-i , k(A a)=i, A (ka )≠k A (a)8)是.因任取二矩阵Y X ,n n P ⨯∈,则A (=+=+=+BYC BXC C Y XB Y X )()A X +A YA (k X )=k BXC k kXB ==)()(A X故A 是n n P ⨯上的线性变换.2.在几何空间中,取直角坐标系oxy,以A 表示将空间绕ox 轴由oy 向oz 方向旋转90度的变换,,以B 表示绕oy 轴向ox 方向旋转90度的变换,以C 表示绕oz 轴由ox 向oy 方向旋转90度的变换.证明:A 4=B 4=C 4=E,AB ≠BA,A 2B 2=B 2A 2并检验(AB )2=A 2B 2是否成立. 解 任取一向量a=(x,y,z),则有 1) 因为A a=(x,-z,y), A 2a=(x,-y,-z) A 3a=(x,z,-y), A 4a=(x,y,z)B a=(z,y,-x), B 2a=(-x,y,-z) B 3a=(-z,y,x), B 4a=(x,y,z)C a=(-y,x,z), C 2a=(-x,-y,z) C 3a=(y,-x,z), C 4a=(x,y,z)所以A 4=B 4=C 4=E2) 因为AB (a)=A (z,y,-x)=(z,x,y) BA (a)=B (x,-z,y)=(y,-z,-x) 所以 AB ≠BA 3)因为A 2B 2(a)=A 2(-x,y,-z)=(-x,-y,z) B 2A 2(a)=B 2(x,-y,-z)=(-x,-y,z)所以A 2B 2=B 2A 23) 因为(AB )2(a)=(AB )(AB (a))_=AB (z,x,y)=(y,z,x)A 2B 2(a)=(-x,-y,z)所以(AB )2≠A 2B 23.在P[x] 中,A ')(f x f =),(x B )()(x xf x f = 证明:AB-BA=E证 任取∈)(x f P[x],则有(AB-BA ))(x f =AB )(x f -BA )(x f =A ())(x xf -B ('f ))(x =;)(xf x f +)(x -'xf )(x =)(x f所以 AB-BA=E4.设A,B 是线性变换,如果AB-BA=E,证明:A k B-BA k =k A 1-k (k>1)证 采用数学归纳法. 当k=2时A 2B-BA 2=(A 2B-ABA)+(ABA-BA 2)=A(AB-BA)+(AB-BA)A=AE+EA=2A结论成立.归纳假设m k =时结论成立,即A mB-BA m=m A1-m .则当1+=m k 时,有A 1+m B-BA 1+m =(A 1+m B-A m BA)+(A m BA-BA 1+m )=A m (AB-BA)+(A m B-BA m )A=A m E+m A1-m A=)1(+m A m即1+=m k 时结论成立.故对一切1>k 结论成立. 5.证明:可逆变换是双射.证 设A 是可逆变换,它的逆变换为A1-.若a ≠b ,则必有A a ≠A b,不然设Aa=A b,两边左乘A 1-,有a=b,这与条件矛盾.其次,对任一向量b,必有a 使A a=b,事实上,令A 1-b=a 即可.因此,A 是一个双射.6.设1ε,2ε,K ,n ε是线性空间V 的一组基，A 是V 上的线性变换。

证明：A 是可逆变换当且仅当A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关. 证 因A (1ε,2ε,K ,n ε)=(A 1ε,A 2ε,K ,A n ε)=(1ε,2ε,K ,n ε)A故A 可逆的充要条件是矩阵A 可逆,而矩阵A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关.故A 可逆的充要条件是A 1ε,A 2ε,K ,A n ε线性无关. 7.求下列线性变换在所指定基下的矩阵:1) 第1题4)中变换A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵;2) [o; 1ε,2ε]是平面上一直角坐标系,A 是平面上的向量对第一和第三象限角的平分线的垂直投影,B 是平面上的向量对2ε的垂直投影,求A,B,AB 在基1ε,2ε下的矩阵; 3) 在空间P [x]n 中,设变换A 为)()1()(x f x f x f -+→ 试求A 在基i ε=!1)1()1(i i x x x +--K (I=1,2,K ,n-1) 下的矩阵A;4) 六个函数 1ε=e ax cos bx ,2ε=e axsin bx3ε=x e ax cos bx ,4ε=x e ax sin bx 1ε=221x e ax cos bx ,1ε=21e ax 2x sin bx的所有实数线性组合构成实数域上一个六维线性空间,求微分变换D 在基i ε(i=1,2,K ,6)下的矩阵;5) 已知P 3中线性变换A 在基1η=(-1,1,1),2η=(1,0,-1),3η=(0,1,1)下的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-121011101求A 在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 6) 在P 3中,A 定义如下:⎪⎩⎪⎨⎧--=-=-=)9,1,5()6,1,0()3,0,5(321ηηηA A A 其中⎪⎩⎪⎨⎧-==-=)0,1,3()1,1,0()2,0,1(321ηηη 求在基1ε=(1,0,0),2ε=(0,1,0),3ε=(0,0,1)下的矩阵; 7) 同上,求A 在1η,2η,3η下的矩阵. 解 1)A 1ε=(2,0,1)=21ε+3εA 2ε=(-1,1,0)=-1ε+2ε A 3ε=(0,1,0)= 2ε故在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-0011100122）取1ε=（1，0），2ε=（0，1）则A 1ε=211ε+212ε，A 2ε=211ε+212ε故A 在基1ε，2ε下的矩阵为A=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛21212121又因为B 1ε=0，B 2ε=2ε所以B 在基1ε，2ε下的矩阵为B =⎪⎪⎭⎫⎝⎛1000，另外，（AB ）2ε=A （B 2ε）=A 2ε=211ε+212ε所以AB 在基1ε，2ε下的矩阵为AB =⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛210210， 3）因为 )!1()]2([)1(,,!2)1(,,11210----=-===-n n x x x x x x n K K εεεε ，所以A 0110=-=εA 01)1(εε=-+=x x A )!1()]2([)1()!1()]3([)1(1---------=-n n x x x n n x x x n K K ε=)!1()]3([)1(----n n x x x K {)]2([)1(---+n x x }=2-n ε，所以A 在基0ε,1ε,K ,1-n ε下的矩阵为A =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛011010KK K， 4）因为 D 1ε=a 1ε-b 2ε,D 2ε=b 1ε-a 2ε,6ε D 3ε=1ε+a 3ε-b 4ε, D 4ε=2ε+b 3ε+a 4ε, D 5ε=3ε+a 5ε-b 6ε, D 6ε=4ε+b 5ε+a 6ε，所以D 在给定基下的矩阵为D =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---0000000100001000010001a b b a a b b a ab b a， 5）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--111101011，所以 (1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---101110111=(1η,2η,3η)X ，故A 在基1ε,2ε，3ε下的矩阵为B =X 1-AX=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--111101011⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---101110111=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--203022211.6）因为(1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301，所以A (1η,2η,3η)=A (1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--012110301,但已知A (1η,2η,3η)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505故A (1ε,2ε，3ε)=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-=(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----963110505⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---717172717672737371 =(1ε,2ε，3ε)⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----72471872772757472072075 7）因为(1ε,2ε，3ε)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-所以A (1η,2η,3η)=(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--0121103011-⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----963110505 =(1η,2η,3η)⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---011101532。