《高等数学复习计划》本复习计划总共分为五个阶段： 第一阶段（7月——9月中旬） 第二阶段（9月中旬——10月底） 第三阶段（11月初——11月底） 第四阶段（12月初——12月底） 第五阶段（元旦后——考研前）第一阶段（7月——9月中旬）：重点复习以下内容，能够将课本内容和对应的课后练习至少过一遍，最好能认真过两遍。
做到心中有数。
第一部分 函数、连续与极限一、理论要求 1.函数概念与性质函数的基本性质（单调、有界、奇偶、周期） 几类常见函数（复合、分段、反、隐、初等函数） 2.极限极限存在性与左右极限之间的关系 夹逼定理和单调有界定理会用等价无穷小和罗必达法则求极限 二、题型与解法A.极限的求法 （1）用定义求（2）代入法（对连续函数，可用因式分解或有理化消除零因子） （3）变量替换法（4）两个重要极限法（5）用夹逼定理和单调有界定理求 （6）等价无穷小量替换法（7）洛必达法则与Taylor 级数法（8）其他（微积分性质，数列与级数的性质） 1.612arctan lim)21ln(arctan lim33-=-=+->->-xxx x x x x x （等价小量与洛必达）2.已知23)(6lim0)(6sin limxx f xx xf x x x +=+>->-，求解：233')(6cos 6lim)(6sin limxxy x f x xx xf x x x ++=+>->-72)0(''06)0(''32166'''''36cos 216lim6'''26sin 36lim 0=∴=+-=++-=++-=>->-y y xy y x x xy y x x x362722''lim2'lim)(6lim2====+>->->-y xy xx f x x x （洛必达）3.121)12(lim ->-+x xx x x （重要极限）4.已知a 、b 为正常数，x xx x ba 3)2(lim +>-求解：令]2ln )[ln(3ln ,)2(3-+=+=xx x xx b a xt ba t2/300)()ln(23)ln ln (3limln lim ab t ab b b a a ba t xx xxx x =∴=++=>->-（变量替换）5.)1ln(12)(cos lim x x x +>-解：令)ln(cos )1ln(1ln ,)(cos 2)1ln(12x x t x t x +==+2/10212tan limln lim ->->-=∴-=-=et xx t x x （变量替换）6.设)('x f 连续，0)0(',0)0(≠=f f ，求1)()(lim22=⎰⎰>-x x x dtt f xdtt f（洛必达与微积分性质）7.已知⎩⎨⎧=≠=-0,0,)ln(cos )(2x a x x x x f 在x=0连续，求a解：令2/1/)ln(cos lim 2-==>-x x a x （连续性的概念）第二部分 导数、微分及其应用一、理论要求1.导数与微分导数与微分的概念、几何意义、物理意义会求导（基本公式、四则、复合、高阶、隐、反、参数方程求导） 会求平面曲线的切线与法线方程2.微分中值定理 理解Roll 、Lagrange 、Cauchy 、Taylor 定理会用定理证明相关问题3.应用会用导数求单调性与极最值、凹凸性、渐进线问题，能画简图 会计算曲率（半径）二、题型与解法A.导数微分的计算 基本公式、四则、复合、高阶、隐函数、参数方程求导1.⎩⎨⎧=+-==52arctan )(2te ty y tx x y y 由决定，求dx dy 2.x y x y x x y y sin )ln()(32+=+=由决定，求1|0==x dxdy解：两边微分得x=0时y x y y ==cos '，将x=0代入等式得y=1 3.y x x y y xy +==2)(由决定，则dx dy x )12(ln |0-==B.曲线切法线问题4.求对数螺线)2/,2/πθρρπθe e （），在（==处切线的直角坐标方程。
解：1|'),,0(|),(,sin cos 2/2/2/-==⎪⎩⎪⎨⎧====πθππθθθθθy e y x e y e xx ey -=-2/π5.f(x)为周期为5的连续函数，它在x=1可导，在x=0的某邻域内满足f(1+sinx)-3f(1-sinx)=8x+o(x)。
求f(x)在（6，f(6)）处的切线方程。
解：需求)1('),1()6('),6(f f f f 或，等式取x->0的极限有：f(1)=0)6(22)1('8)1('4])1()1(3)1()1([lim sin )sin 1(3)sin 1(limsin 0-=∴=∴==--+-+=--+>-=>-x y f f tf t f tf t f x x f x f t tx xC.导数应用问题6.已知xex f x x xf x x f y --=+=1)]('[2)('')(2满足对一切，)0(0)('00≠=x x f 若，求),(00y x 点的性质。
解：令⎩⎨⎧<>>>===-0,00,0)(''00010000x x x e ex f x x xx 代入，，故为极小值点。
7.23)1(-=x xy ，求单调区间与极值、凹凸区间与拐点、渐进线。
解：定义域),1()1,(+∞-∞∈ x：斜：铅垂；；拐点及驻点2100''300'+===⇒===⇒=x y x x y x x y8.求函数x e x y arctan 2/)1(+-=π的单调性与极值、渐进线。
解：101'arctan 2/22-==⇒++=+x x exx x y x与驻点π，2)2(-=-=x y x e y 与渐：πD.幂级数展开问题9.⎰=-xx dt t x dxd 022sin )sin(⎰⎰⎰=⋅⋅⋅++-+⋅⋅⋅+-=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+-=-+---+⋅⋅⋅+-+--=-⋅⋅⋅++--+⋅⋅⋅+---=----+-xn nn nx n n n nxn xx x dt t x dxd n n xx x t x n n t x t x t x dt t x n t x t x t x t x 02)12(262214732141732)12(2622sin )!12()1(!31)sin()!12)(14()1(7!3131)sin()!12)(14()()1()(7!31)(31)sin()!12()()1()(!31)()sin(或：2202sin sin )(sin x du u dxd du u dxd u t x xx==-⇒=-⎰⎰10.求)0(0)1ln()()(2n fn x x x x f 阶导数处的在=+=解：)(2)1(32()1ln(2213222---+--+⋅⋅⋅-+-=+n n n xo n xxxx x x x=)(2)1(321543nnn x o n xxxx +--+⋅⋅⋅-+--2!)1()0(1)(--=∴-n n f n nE.不等式的证明11.设)1,0(∈x ，211)1ln(112ln 1)1(ln )122<-+<-<++x x x x x ，求证（证：1）令0)0(,)1(ln )1()(22=-++=g x x x x g；得证。
单调下降，单调下降单调下降，时0)()(,0)(')(',0)('')('')1,0(0)0('')0(',0)1()1ln(2)('''),(''),('2<<<∈∴==<++-=x g x g x g x g x g x g x g g x x x g x g x g2）令单调下降，得证。
,0)('),1,0(,1)1ln(1)(<∈-+=x h x xx x hF.中值定理问题12.设函数]11[)(，在-x f 具有三阶连续导数，且1)1(,0)1(==-f f ，0)0('=f ，求证：在（-1，1）上存在一点3)('''=ξξf ，使证：32)('''!31)0(''!21)0(')0()(x f x f x f f x f η+++=其中]1,1[),,0(-∈∈x x η将x=1，x=-1代入有)('''61)0(''21)0()1(1)('''61)0(''21)0()1(021ηηf f f f f f f f ++==-+=-=两式相减：6)(''')('''21=+ηηf f3)](''')('''[21)('''][2121=+=∍∈∃ηηξηηξf f f ，，13.2e b a e <<<，求证：)(4ln ln 222a b ea b ->-证：)(')()(:ξf ab a f b f Lagrange=--令ξξln 2lnln ,ln )(222=--=ab ab x x f令2222ln )()(0ln 1)(',ln )(ee tt t tt t >∴>∴<-==ξξϕξϕϕϕ)(4ln ln222a b ea b ->- （关键：构造函数）第三部分 不定积分与定积分一、理论要求 1.不定积分 掌握不定积分的概念、性质（线性、与微分的关系）会求不定积分（基本公式、线性、凑微分、换元技巧、分部） 2.定积分理解定积分的概念与性质理解变上限定积分是其上限的函数及其导数求法 会求定积分、广义积分会用定积分求几何问题（长、面、体）会用定积分求物理问题（功、引力、压力）及函数平均值二、题型与解法 A.积分计算1.⎰⎰+-=--=-C x x dx x x dx 22arcsin)2(4)4(22.⎰⎰⎰+=+=+C x exdx exdx edx x e xxxx tan tan 2sec)1(tan 2222223.设xx x f )1ln()(ln +=，求⎰dx x f )(解：⎰⎰+=dx ee dx xf xx)1ln()(⎰+++-=+-++=--C e ex dx eee exxxx xx)1ln()1()11()1ln(4.⎰⎰∞∞>-∞+=+-+-=112122ln 214)11(lim|arctan 1arctan bb dx xx xx xdx xx πB.积分性质(基本考)5.)(x f 连续，⎰=1)()(dt xt f x ϕ,且A xx f x =>-)(lim，求)(x ϕ并讨论)('x ϕ在0=x 的连续性。