立体几何中几类典型问题的向量解法空间向量的引入为求立体几何的空间角和距离问题、证线面平行与垂直以及解决立体几何的探索性试题提供了简便、快速的解法。
它的实用性是其它方法无法比拟的，因此应加强运用向量方法解决几何问题的意识，提高使用向量的熟练程度和自觉性，注意培养向量的代数运算推理能力，掌握向量的基本知识和技能，充分利用向量知识解决图形中的角和距离、平行与垂直问题。
一、利用向量知识求点到点，点到线，点到面，线到线，线到面，面到面的距离（1）求点到平面的距离除了根据定义和等积变换外还可运用平面的法向量求得，方法是：求出平面的一个法向量的坐标，再求出已知点P 与平面内任一点M 构成的向量MP u u u r的坐标，那么P 到平面的距离cos ,n MP d MP n MP n •=•<>=r u u u r u u u r r u u u rr（2）求两点,P Q 之间距离，可转化求向量PQ uuu r的模。
（3）求点P 到直线AB 的距离，可在AB 上取一点Q ，令,AQ QB PQ AB λ=⊥u u u r u u u r u u u r u u u r或PQ u u u r 的最小值求得参数λ，以确定Q 的位置，则PQ u u u r为点P 到直线AB 的距离。
还可以在AB 上任取一点Q 先求<AB ,cos ，再转化为><,sin ，则PQ u u u r><,sin 为点P 到直线AB 的距离。
(4)求两条异面直线12,l l 之间距离，可设与公垂线段AB 平行的向量n r，,C D 分别是12,l l 上的任意两点，则12,l l 之间距离CD nAB n•=u u u r r r例1：设(2,3,1),(4,1,2),(6,3,7),(5,4,8)A B C D --，求点D 到平面ABC 的距离例2：如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1，而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。
点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若a BN CM ==)20(<<a 。
（Ⅰ）求MN 的长；（Ⅱ）当a 为何值时，MN 的长最小； （Ⅲ）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNBD例3：正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，求异面直线11A C 与1AB 间的距离例4：如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，14,3,2,AB BC CC ===求平面11A BC 与平面1ACD 的距离。
点评：若n r是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线段，且B α∈，则点A 到平面α的距离AB nd n•=u u u r r r，平行平面之间的距离转化为点到平面的距离，变为斜线在法向量上的射影。
二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。
（1）设12,l l 是两条异面直线，,A B 是1l 上的任意两点，,C D 是直线2l 上的任意两点，则12,l l 所成的角为arccos AB CDAB CD••u u u r u u u ru u u r u u u r（2）设AB 是平面α的斜线，且,B BC α∈是斜线AB 在平面α内的射影，则斜线AB 与平面α所成的角为arccos AB BC AB BC••u u u r u u u ru u u r u u u r 。
设n r是平面α的法向量，AB 是平面α的一条斜线，则AB 与平面α所成的角为arccos 2AB n AB n AB n AB nπ••-••u u u r r u u u r r u u u r r u u u r r ，或者arcsin 。
x yx y（3）设12,n n u r u u r 是二面角l αβ--的面,αβ的法向量，则121212,cos n n n n arc n n •<>=•u r u u ru r u u r u r u u r 就是二面角的平面角或补角的大小。
例5：在棱长为a 的正方体''''ABCD A B C D -中，EF 分别是'',BC A D 的中点， （1）求直线'AC DE 与所成角；（2）求直线AD 与平面'B EDF 所成的角， （3）求平面'B EDF 与平面ABCD 所成的角例6：如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为矩形，PD ⊥底面ABCD ，AD=PD ，E ，F 分别CD 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥平面PAB ；（Ⅱ）设BC ，求AC 与平面AEF 所成角的大小.例7：如图，PA ABC ⊥平面，,1,AC BC PA AC BC ⊥===A PB C --的大小。
点评：如果,AB CD 分别是二面角l αβ--两个面内的两条直线，且,,A l C l ∈∈,AB l CD l ⊥⊥，则二面角的大小为,AB CD <>u u u r u u u rxz转化 转化 例8：如图，在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD 中，∠ABC = 90°，SA ⊥面ABCD ，SA = AB = BC = 1，21=AD ．求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值．点评：用向量知识求二面角的大小时，是将二面角的问题转化为两平面的法向量的夹角问题，（1）当法向量12n n u r u u r与的方向分别指向二面角内侧与外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r与的夹角的大小。
（2）当法向量12n n u r u u r与的方向同时指向二面角的内侧或外侧时，二面角的大小等于法向量12n n u r u u r 与的夹角的补角12,n n π-<>r u u r。
三、利用向量知识解决平行与垂直问题。
例9：如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AC ＝3，BC ＝4，AA 1＝4，5AB =,点D 是AB 的中点， （I ）求证：AC ⊥BC 1； （II ）求证：A 1C 1C （1）证明：D 1E ⊥A 1D ；（2）当E 为AB 的中点时，求点E 到面ACD 1的距离；（3）AE 等于何值时，二面角D 1—EC —D 的大小为4π..四、利用向量知识解决立体几何中的探索性问题。
例11．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，13,4,5,4AC BC AB AA ====（1）求证1;AC BC ⊥（2）在AB 上是否存在点D 使得1?AC CD ⊥ （3）在AB 上是否存在点D 使得11//A C CDB 平面五、专题突破：1、如图：已知二面角l αβ--的大小为120o，点,,A B AC l αβ∈∈⊥于点C ，BD l D ⊥于，且1AC CD DB ===，求 （1）直线AB CD 与所成角的大小，（2）直线AB CD 与的距离。
S B A C D zxyDCBAA 1D 1C 1B 1A1C BC D1A 1B lAC BD2、如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD=DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点.（Ⅰ）求证：EF ⊥CD ；（Ⅱ）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论； （Ⅲ）求DB 与平面DEF 所成角的大小.3、如图, 在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB=90°，CB=1,CA=3, AA 1=6,M 为侧棱CC 1上一点, 1AM BA ⊥．（1）求证: AM 平面1A BC ； （2）求二面角B －AM －C 的大小； （3）求点C 到平面ABM 的距离．4、如图，1111ABCD A B C D -是正四棱柱，侧棱长为3，底面边长为2，E 是棱BC 的中点。
（Ⅰ）求证：1BD 1C DE 1C DE C --1BB P CP ⊥1C DE 1C （I ）证明：AB 1⊥BC 1；（II ）求点B 到平面AB 1C 1的距离. （III ）求二面角C 1—AB 1—A 1的大小 6、( 2006年湖南卷）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD 与Q-ABCD 的高分别为1和2,AB=4.(Ⅰ)证明PQ ⊥平面ABCD;(Ⅱ)求异面直线AQ 与PB 所成的角; (Ⅲ)求点P 到平面QAD 的距离.ABCA 1B 1C 1M7、（2006年全国卷II ）如图，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ，D 、E 分别为BB 1、AC 1的中点．（Ⅰ）证明：ED 为异面直线BB 1与AC 1的公垂线；（Ⅱ）设AA 1＝AC ＝2AB ，求二面角A 1－AD －C 1的大小．参考答案：例1：解：设平面ABC 的法向量(,,),0,0n x y z n AB n AC =•=•=r r u u u r r u u u rQ ，所以(,,)(2,2,1)0(,,)(4,0,6)0x y z x y z •-=⎧⎨•=⎩，32202460x y z x zx z y z ⎧-+==-⎧⎪∴⎨⎨+=⎩⎪=-⎩ 2,(3,2,2)z n =-=-r 则，cos ,n AD ∴<>=r u u u r所以设D 到平面ABC 的距离为d，cos ,17d AD n AD =•<>==u u u r r u u u u u r Q P A DCB图4AB CD E A 1B 1C 1例2：解：建立如图所示空间直角坐标系.O xyz -(1,0,0),(0,1,0),(0,1,1),F BC (1AM AC ==u u u u r u u u r,(1,0)BN BF AN AB AF a a ==+=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r,0,MN AN AM a a =-=u u u u r u u u r u u u ur MN ∴=u u u u r p(2)由MN =u u u u rmin 22a MN ==u u u u r （3）1(1,01),22a MN ==-u u u ur Q 又11(0,1,1),(0,1,1)22MA MB =--=-u u u r u u u r 所以可求得平面MNA 与平面MNB 的法向量分别为12(1,1,1),(1,1,1)n n =--=u r u u r，所以121cos ,3n n <>==-u u r u u r ，所以1arccos 3θπ=-例3：解：如图建立坐标系，则111(1,0,0),(1,0,1),(1,1,1),(0,1,1)A A B C111(0,1,1),(1,1,0)AB AC ∴==-u u u r u u u u r ，设MN 是直线11A C 与1AB1111(0,,),(,,0)AN AB AM uAC u u λλλ=+==-u u u r u u u r u u u u r u u u u r则11(,,0)(0,0,1)(0,,)(,MN MA AA AN u u u λλλ=++=--++=u u u u r u u u u r u u u r u u u r11120203,21103MN A C u u MN AB u λλλ⎧=-⎪⎧•=-=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-=-•=⎩⎪⎪⎩=-⎪⎩u u u u r u u u u r u u u ur u u u r ，111(,,)333MN =-u u u ur 例4：解：111111//,,//BC AD AD ACD BC ACD ⊂∴Q 平面平面，同理11//,A B ACD 平面又11,A B BC B =∴I 111平面A BC //平面ACD ，建立直角坐标系D xyz -，14,3,2AB BC CC ===Q ，11(3,0,2),(3,4,0),(0,4,2)A B C11(0,4,2),(3,0,2)A B BC ∴=-=-u u u r u u u u r,设(,,)n x y z =r 为平面11A BC x yyA向量，则110,420,n A B n A B y z ⊥⇒•=⇒-=r u u u r r u u u r由110320n BC n BC x z ⊥⇒•=⇒-+=r u u u u r r u u u u r， 不妨设12211,,,(,,1)2332z y x n =∴==∴=r二、利用向量知识求线线角，线面角，二面角的大小。