椭圆的性质▓椭圆的围 椭圆上的点都位于直线x=±a 和y=±b 围成的矩形，所以坐标满足|x|≤a ，|y|≤b. ▓椭圆的离心率 ①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作22c ce a a==。

②因为a ＞c ＞0，所以e 的取值围是0＜e ＜1。

e 越接近1，则c 就越接近a ，从而22b a c =-越小，因此椭圆越扁；反之，e 越接近于0，c 就越接近0，从而b 越接近于a ，这时椭圆就越接近于圆。

当且仅当a=b 时，c=0，这时两个焦点重合，图形变为圆，方程为x 2+y 2=a 2。

▓椭圆12222=+b y a x 的图象中线段的几何特征（如下图）：（1）122PF PF a +=，1212||||||||PF PF e PM PM ==，2122||||a PM PM c+=；（2）12BF BF a ==，12OF OF c ==，2221A B A B a b ==+；（3）1122A F A F a c ==-,1221A F A F a c ==+，c a PF c a +≤≤-1；▓椭圆标准方程中的三个量a 、b 、c 的几何意义 椭圆标准方程中，a 、b 、c 三个量的大小与坐标系无关，是由椭圆本身的形状大小所确定的，分别表示椭圆的长半轴长、短半轴长和半焦距长，均为正数，且三个量的大小关系为：a ＞b ＞0，a ＞c ＞0，且a 2=b 2+c 2。

▓椭圆的焦点总在长轴上，因此已知标准方程，判断焦点位置的方法是：看x 2、y 2的分母的大小，哪个分母大，焦点就在哪个坐标轴上。

▓平面点与椭圆的位置关系 椭圆将平面分成三部分：椭圆上、椭圆、椭圆外，因此，平面上的点与椭圆的位置关系有三种，任给一点M （x,y ），若点M （x,y ）在椭圆上，则有22221x y a b +=(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆，则有22221x y a b +<(0)a b >>；若点M （x,y ）在椭圆外，则有22221x y a b+>(0)a b >>. ▓直线与椭圆的相交弦 设直线y kx b =+交椭圆22221x y a b+=(0)a b >>于点111222(,),(,),P x y P x y 两点，则22121212||()()PP x x y y =-+-=22121212()[1()]y y x x x x --+-=2121||k x x +-同理可得121221||1||(0)PP y y k k =+-≠这里12||,x x -12||,y y -的求法通常使用韦达定理，需作以下变形：2121212||()4x x x x x x -=--;2121212||()4y y y y y y -=--▓例 1. 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且2cos 3OFA ∠=，求椭圆的方程。

【解析】椭圆的长轴长为6，2cos3OFA∠=，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|=c，||3AF a====，233c=，所以c=2，b2=32－22=5，故椭圆的方程为22195x y+=或22159x y+=。

▓【变式3】在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心为原点，焦点12,F F在x轴上，离心率为2．过点1F的直线l交C于A，B两点，且2ABF∆的周长为16，那么C的方程为______ 【答案】221168x y+=。

▓例2.（1的两段，求其离心率；（2）已知椭圆的一个焦点到长轴两端点的距离分别为10和4，求其离心率。

【解析】（1）由题意得()()a c a c+-=∶即11ee+=-解得5e=-（2）由题意得104a ca c+=⎧⎨-=⎩，解得73ac=⎧⎨=⎩，故离心率37cea==。

▓【变式1】椭圆的一个顶点与两焦点构成等边三角形，则此椭圆的离心率是（）11...5432A B C D【答案】D▓【变式2】椭圆22221x ya b+=上一点到两焦点的距离分别为12d d、，焦距为2c，若122d c d、、成等差数列，则椭圆的离心率为＿＿＿＿＿【答案】12▓例3. 设M为椭圆22221(0)x ya ba b+=>>上一点，F1、F2为椭圆的焦点，若∠MF1F2=75°，∠MF2F1=15°，求椭圆的离心率。

【解析】在△MF1F2中，由正弦定理得12122112||||2sin sin sinMF MFcF MF MF F MF F==∠∠∠即12||||2sin90sin15sin75MF MFc==︒︒︒∴2|1||2|2sin90sin15sin75sin15sin75c MF MF a+==︒︒+︒︒+︒，∴1sin15sin75cea===︒+︒。

▓【变式1】以椭圆两焦点为直径的圆交椭圆于四个不同点，顺次连结这四个点和两个焦点，恰好围成一个正六边形，则这个椭圆的离心率等于＿＿＿＿。

1▓【变式2】已知椭圆22221(0,0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点A ，上顶点为B ，若BF ⊥BA ，求离心率____。

【解析】 根据题意，|AB 2|=a 2+b 2，|BF|=a ，|AF|=a+c ，所以在Rt △ABF 中，有(a+c)2=a 2+b 2+a 2，化简得c 2+ac ―a 2=0，等式两边同除以a 2，得e 2+e ―1=0，解得e =。

又∵0＜e ＜1，∴e =。

▓例4．已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>，F 1，F 2是两个焦点，若椭圆上存在一点P ，使1223F PF π∠=，求其离心率e 的取值围。

【解析】△F 1PF 2中，已知1223F PF π∠=，|F 1F 2|=2c ，|PF 1|+|PF 2|=2a ，由余弦定理：4c 2=|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|cos120°①又|PF 1|+|PF 2|=2a ②联立① ②得4c 2=4a 2-|PF 1||PF 2|，∴2212|PF ||PF |4a 4c =-2222222122a |PF ||PF |()a 4a 4c a 3a 4c 02≤=⇒-≤⇒-≤c e 1a ⇒≥⇒≤< ▓【变式】已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>，以a ，b ，c 为系数的关于x 的方程20ax bx c ++=无实根，求其离心率e 的取值围。

【答案】由已知，240b ac ∆=-<，所以22()40a c ac --<，即2240c ac a +->，不等式两边同除2a 可得2410e e +->，解不等式得2e <或2e >.由椭圆的离心率(0,1)e ∈，所以所求椭圆离心率2,1)e ∈.▓例6. 已知椭圆1222=+y x ，求过点⎪⎭⎫⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 【解析】解法一：设所求直线的斜率为k ，则直线方程为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-2121x k y ．代入椭圆方程，并整理得 ()()0232122212222=+-+--+k k x k k x k ．由韦达定理得22212122k k k x x +-=+．∵P 是弦中点，∴121=+x x ．故得21-=k ．所以所求直线方程为0342=-+y x ． 解法二：设过⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 的直线与椭圆交于()11y x A ，、()22y x B ，，则由题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=+=+=+=+④1.③1②12①12212122222121y y x x y x y x ，，， ①－②得0222212221=-+-y y x x ．将③、④代入⑤得212121-=--x x y y ，即直线的斜率为21-．所求直线方程为0342=-+y x ．▓【变式1】已知点P （4，2）是直线l 被椭圆221369x y +=所截得线段的中点，求直线l 的方程. 【答案】直线l 的方程为x+2y －8=0▓【变式2】若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，数m 的取值围。

【答案】51≠≥m m 且时，直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点 ▓ 椭圆（2013高考题）▓▓（2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆2222:1x y C a b+=(0)a b >>的左、右焦点分别为12,F F ，P 是C 上的点，212PF F F ⊥，1230PF F ∠=，则C 的离心率为（ ）B.13C.12【解析】选 D. 因为21212,30PF F F PF F ⊥∠=,所以2122tan 30,33PF c c PF c ===。

又1223PF PF a +==，所以3c a ==3，选D. ▓(2013·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:13422=+y x 的左、右顶点分别为1A ,2A ,点P 在C 上且直线2PA 斜率的取值围是[]2,1--,那么直线1PA 斜率的取值围是 ( ) A.1324⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B.3384⎡⎤⎢⎥⎣⎦， C.112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，D.314⎡⎤⎢⎥⎣⎦， 【解析】选B.设),(00y x P ，则2200143x y ，2002-=x y k PA ，2001+=x y k PA1PA k 222002203334444PA x yk x x ，故1PA k 2143PA k -=.因为]1,2[2--∈PA k ,所以]43,83[1∈PA k ▓（2013·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F 1（-1,0）,F 2（1,0）是椭圆C 的两个焦点,过F 2且垂直于x 轴的直线交于A,B 两点,且错误!未找到引用源。

=3,则C 的方程为 ( )A.2212x y += B.22132x y += C.22143x y += D.22154x y += 【解析】选 C.设椭圆得方程为)0(12222>>=+b a b y a x ，由题意知232=a b ，又1222=-=b a c ，解得2=a 或21-=a （舍去），而32=b ，故椭圆得方程为13422=+y x . ▓（2013·高考文科·Ｔ9）从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点1F ，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且//AB OP （O 是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A.4B. 12C. 2D. 2【解析】选C ，根据题意可知点P 0(,)c y ，代入椭圆的方程可得222202b c y b a =-，根据//AB OP ，可知11PF BO F O OA =，即0y b c a =，解得0bc y a=，即2222222b c b c b a a -=，解得2c e a ==，故选C.▓（2013·高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，离心率等于21，则C 的方程是（ ） A ．14322=+y x B ．13422=+y x C ．12422=+y x D ．13422=+y x 【解析】选 D.设C 的方程为222210x y a b a b ，（），则11,,2,2c c e a b a =====，C 的方程是13422=+y x . ▓（2013·高考文科·Ｔ11）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=45,则C 的离心率为 ( ) A.35 B.57 C.45 D.67【解析】选B.在三角形ABF 中，由余弦定理得2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又410,8,cos 5AB BF ABF ==∠=解得 6.AF =在三角形ABF 中，2222221086AB BF AF ==+=+，故三角形ABF 为直角三角形.设椭圆的右焦点为F '，连接,AF BF '',根据椭圆的对称性，四边形AFBF '为矩形，则其对角线10,FF AB '==且8BF AF '==，即焦距210,c =又据椭圆的定义，得2AF AF a '+=，所以26814a AF AF '=+=+=.故离心率25.27c c e a a === ▓(2013·高考数学科·T12) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为【解析】由原点到直线BF 的距离为1d 得1bcd a =，因F 到l 的距离为2d 故22a d c c =-，又126d d =所以2222226616a bc bc b c a c e e c a a a -=⇒-=⇒-=又21b e a=-解得33e =▓（2013·高考文科·T12）与（2013·高考理科·T9）相同 设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4π=∠CBA .若AB=4，BC=2，则Γ的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a b a C a 代入椭圆标准方程得，把6342=⇒c ▓（2013·高考理科·Ｔ14）相同 椭圆Γ: 22221(0)+=>>x y a b a b的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=错误!未找到引用源。