大数定律与中心极限定理
第二节 中心极限定理
一、中心极限定理的意义
在实际问题中许多随机变量是由相互独立 随机因素的综合（或和）影响所形成的.
例如，炮弹射击的落点与目标的偏差，就受 着许多随机因素（如瞄准，空气阻力，炮弹或炮身结 构等）综合影响的. 每个随机因素对弹着点（随机 变量和）所起的作用都是很小的. 那么弹着点服从 怎样分布？
i 1 n
的分布情况.
D( Xi )
i 1
讨论Yn的极限分布是否为标准正态分布. 在概率论中，习惯于把和的分布收敛于正
态
分布这一类定理都叫做中心极限定理.
二、李雅普诺夫中心极限定理
1. 李雅普诺夫(Lyapunov)定理
设随机变量序列{Xi }(i 1, 2,L )相互独立，
EX i

i ,
100
依题意， E( X ) E( Xi ) E( Xi ) 200
i 1
i 1
100
100
D( X ) D( Xi ) D( Xi ) 169
i 1
i 1
三、勒维中心极限定理
例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.

e 2 dt ( x)
2
二、李雅普诺夫中心极限定理
注意：
n
近似
n
n

Xi
~
N (
i，

2 i
)
i 1
i 1
i 1
n
n
Xi i 近似
~ i 1
i 1
n
N (0，1)

2 i
i 1
二、李雅普诺夫中心极限定理
对于李雅普诺夫定理中的随机变量序列， 将其约束条件改为独立同分布，即

i 1
i 1 n



D( Xi ) i 1

n
n
Xi E( Xi )
Yn i1
i 1 n
D( Xi )
i 1
1
n
n
n
[E( Xi ) E( Xi )] 0
D( Xi )
i 1
i 1
i 1
n
n

Xi E( Xi )
DX i


2 i

,
i
1, 2,L
，则
n
n

n
n


lim
n
P

i 1
Xi
E(
i 1 n
Xi )


x


lim
n
P

i 1
Xi
n
i
i 1


x

D( Xi )



2 i


i 1


i 1

1
x t2
DYn

D

i 1
i 1 n


1
n
n
n
D[ Xi E( Xi )] 1

D( Xi ) i 1
D( Xi )

i 1
i 1
i 1
一、中心极限定理的意义
n
所以，欲求随机变量 X Xi 的分布，先求 i 1
n
n
Xi E( Xi )
标准化因子Yn i1
EXi , DXi 2 , i 1, 2,L ，则


lim
n
P


n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1



x




lim P n

n i 1
Xi n n 2


x
一、中心极限定理的意义
自从高斯指出测量误差服从 正态 分布之后，人们发现，正态分布在
高斯
自然界中极为常见.
如果一个随பைடு நூலகம்变量是由大量相互独立的随
机因素的综合影响所造成，而每一个别因素对这种
综合影响所起的作用不大，则这种随机变量一般都 服从或近似服从正态分布.
一、中心极限定理的意义
如果将研究对象的整体设为X，影响因素为X

n i 1
n
Xi E( Xi )
i 1
n
D( Xi )
i 1



x




lim P n

n i 1
Xi n n 2


x
1
x t2

e 2 dt ( x)
2
三、勒维中心极限定理
三、勒维中心极限定理
三、勒维中心极限定理
20 20
解：设Xi -第i次运算中产生的误差，i=1,2, …,100
则诸Xi 独立，服从
Xi
:
U[ 1 , 1] ，
22
100次运算的平均误差为
X

1 100
100 i 1
Xi
三、勒维中心极限定理
依题意，
E(X
)

E

1 100
( x)
林德贝尔格—勒维 中心极限定理
三、勒维中心极限定理
2. 林德贝尔格－勒维（Lindeberg-Levy）定理
设随机变量序列{ Xi }(i 1, 2,L )独立同分布，
EXi , DXi 2 , i 1, 2,L ，则


lim
n
P

，
i
根据因素间独立与共同作用的本质属性，可以得出
n
X Xi. i 1
现在我们就来研究独立随机变量之和所
特有的规律性问题.
当n无限增大时，这个和的极限分布是什么
呢？
在什么条件下极限分布会是正态的呢？
一、中心极限定理的意义
考虑利用标准化因子
n
n

Xi E( Xi )
EYn

E
13
SUCCESS
THANK YOU
2020/1/10
三、勒维中心极限定理
例2 计算机在进行数学计算时，遵从四舍五入原则.
为简单计，现从小数点后第一位进行舍入运算，设
误差 X : U[ 1 , 1] . 若一项计算中进行了100次数字运 算，求平均误2差2落入 [ 3 , 3 ] 上的概率.
近似
由中心极限定理, X ~ N (200,169)
于是，
P(180 X 220) P(180 200 X 200 220 200)
13
13
13
P( 20 X 200 20) ( 20) ( 20) 0.87644
13 13 13
13
例1 对敌人的防御地段进行100次轰炸，每次轰炸命中 目标的炸弹数目是随机变量，其期望为2，方差为1.69. 求在100次轰炸中有180颗至220颗炸弹命中目标的概率.
解：设Xi -第i次轰炸命中目标的炸弹数，i=1,2, …,10
100
则100次轰炸命中目标的炸弹总数为 X Xi
i 1
100