《高等数学》考研辅导练习4 不定积分 1． 求()x
f x e
-=在R 上的一个原函数。

2． 已知2
2
2
(sin )cos tan f x x x '=+，求()01f x x <<。

3． 设
2
()f x dx x
C =+⎰，则2(1)xf x dx -=⎰ 。

4．
计算
3。

5。

计算。

6． 计算
71
(2)
dx x x +⎰。

7。

计算。

8． 计算
21
13sin dx x +⎰。

9。

计算172
2
1sin cos dx x x
⎰。

10． 计算
()
2
2
sin cos x dx x x x +⎰。

11． 计算
()()2
ln ()ln ()()()()f x f x f x f x f x dx ''''++⎰。

12． 设()arcsin xf x dx x C =+⎰
，则
1
()
dx f x =⎰。

13． 设2
2
2(1)ln 2
x f x x -=-，且(())ln f x x ϕ=，求()x dx ϕ⎰。

14． 计算arctan 23/2(1)x xe dx x +⎰。

15．
计算x。

16． 计算
1sin 22sin dx x x +⎰。

17． 计算ln t tdt α
⎰。

18． 计算()ln n x dx ⎰。

《高等数学》考研辅导练习5 定积分
1．设02
()2
l kx x f x l c x l ⎧
≤≤⎪⎪=⎨⎪<≤⎪⎩，求0
()()x x f t dt Φ=⎰。

2． 设1
()2()f x x f x dx =+⎰
，则()f x = 。

3． 计算
{}2
23
min 2,x dx -⎰。

4． 已知()f x 连续，且满足()()1f x f x -=，则
2
2cos 1()x
dx f x π
π-+⎰＝ 。

5． 计算
101020
sin cos 4sin cos x x dx x x
π
---⎰
，并求20sin cos sin cos m m
n n x x
dx a x x π---⎰，这里的a 为任意的常数，
,m n 为正整数。

6．
计算
2
⎰。

7． 计算2
(sin )
(cos )(sin )
f x dx f x f x π
+⎰。

8． 计算2008
2
200820080sin sin cos x
dx x x π+⎰。

9． 计算20
ln tan tdt π⎰。

10． 计算
2cos cos 33
()x x e e dx ππ
---⎰。

11． 计算131
1
x x
dx e e +∞
+-+⎰。

12． 已知()()f x g x '=，()g x 连续，()(0)2f f π==，求
()20
()()11g x f x dx x x π
⎛⎫
- ⎪ ⎪++⎝⎭
⎰。

13． 由
2(1)
()x x f t dt x +=⎰
，求连续函数()f x 在2x =处的值。

14． 设2
2
()x t F x e dt -=⎰
，则3
22()x F x dx -'=⎰ 。

15． 求定积分
2
2
sin arctan x x e dx π
π
-
⎰的值。

16． 计算2
sin 1cos x x
dx x
π+⎰。

17． 设()22
32102()011x x x x x f x xe x e ⎧+-≤<⎪⎪
=⎨≤≤⎪⎪+⎩
，求1
()()x x f t dt -Φ=⎰。

18． 已知()f x
满足方程1
20
()3()f x x f x dx =，求()f x 。

19． 设函数()f x 连续，满足()0
3()1()2x
f t dt f x +=+⎰，求(0)f '。

20． 计算
()
2
21x
dx x +∞
+⎰。

21．
4
20
32x x dx -+=⎰。

22． 设函数()f x 连续，证明
()
()()()x u
x
f t dt du x u f u du =-⎰⎰
⎰。

23． 计算
2
(1)f x dx -⎰
，1
01
()101x
x x f x x e ⎧≥⎪⎪+=⎨⎪<⎪+⎩。

24． 由
2
2
1y
x t e dt +=⎰
⎰
，确定y 为x 的函数，求y '。

25． 已知11()1()(0)x
f x f t dt x x
=+>⎰，求()f x 。

26． 设()f x 连续，0
()1cos x
tf x t dt x -=-⎰
，求20
()f x dx π
⎰的值。

27． 证明：（1）10
()()(())b
a
f x dx b a f a b a x dx =-+-⎰
⎰；
（2）
220
(cos )4(cos )f x dx f x dx π
π
=⎰
⎰；
（3）22
00
1
cos sin cos 2
n
n
n n
x xdx xdx ππ
=⎰⎰
，n 为正整数。

《高等数学》考研辅导练习6 常微分方程
1． 三个线性无关函数123(),(),()y x y x y x 均为方程()()()y p x y q x y f x '''++=的解，则方程的通解可表示为： 。

2． 方程()()y p x y Q x '+=有两个解12(),()y x y x ，则方程的通解为： 。

3． 212x x x
y C e C e xe -=++是二阶常系数线性微分方程 的通解。

4． 求2
1sin y y x x ''+=++的特解的估计表示形式可写为 。

5． ()y y x =由方程2
0()()ln(1)t x x t y y t u du =⎧
⎪
⎨==+⎪⎩
⎰确定，()x x t =是初值问题 020
|0x
t dx te dt
x -=⎧-=⎪⎨⎪=⎩
的解，求22d y dx 。

6． 求微分方程2
6(9)1y y a y ''''''+++=的通解(0)a >。

7． 已知0
()sin ()()x
f x x x t f t dt =-
-⎰
，求()f x 。

8． 求323x y y y e -'''+-=的通解。

9． f 具有二阶连续的导数，(0)1,(0)0f f '==，且
()()2()()()0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=
为一全微分方程，求()f x ，并求此方程的通解。

10． 求
3
1
dy dx x yx =+的通解。

11． 求微分方程2
()0yy y '''+=满足初始条件001
|1,|2
x x y y =='==
的特解。

12． 有一个平底容器，其内侧壁是由曲线()(0)x y y ϕ=≥绕y 轴旋转而成的旋转曲面。

容器的底面半径为2米，根据设计要求，当以每分3立方米的数率想容器内注入液体时，液面的面积将以每分π平方米的数率均匀扩大（假设注入液体前容器内无液体） （1） 根据t 时刻液面的面积写出t 与()y ϕ之间的关系式； （2） 求曲线()
(0)x y y ϕ=≥的方程。

13．22
2420(0)d y dy
x x y x dx dx
++=>的通解为 。

14． 解方程1
sin x y y xe x x
'''=
+。

15． 解方程2
12y y y
'+''=。

16． 解方程2
2
ln yy y y y '''-=。