4. 求下列积分:
提示:
(1)
2 2 1 1 1 1 ( x ) x 2 2 2 2 2 2 x 1 x x (1 x ) x (1 x )
1 sin 2 x cos 2 x (2) 2 2 sin x cos x sin 2 x cos 2 x
sec x csc x
根据牛顿第二定律, 加速度
A 因此问题转化为: 已知 v(t ) sin t , 求 v(t ) ? m
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定义 1 . 若在区间 I 上定义的两个函数 F (x) 及 f (x) 满足 则称 F (x) 为f (x) 在区间 I 上的一个原函数 . 问题: 1. 在什么条件下, 一个函数的原函数存在 ? 2. 若原函数存在, 它如何表示 ?
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定理. 存在原函数 . 初等函数在定义区间上连续
初等函数在定义区间上有原函数
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定理.
原函数都在函数族 ( C 为任意常数 ) 内 .
定义 2.
在区间 I 上的原函数全体称为
其中
上的不定积分, 记作
— 积分号;
— 积分变量;
— 被积函数;
— 被积表达式. 常数C不能丢掉
注: 当
时
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例2. 求
解:
1 dx 2 x)2 a 1 (a x 1 令 u , 则 du d x a a 1 1 du arctan u C 2 a a 1 u
du 1 u2 arctan u C
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例3. 求
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例5. 求
2 (sec x 1)dx 解: 原式 =
sec 2 xdx dx tan x x C
例6. 求
x (1 x 2 ) dx 解: 原式 = 2 x(1 x ) 1 1 arctan x ln x C d x d x x 1 x2
则
n
推论: 若
ki f i ( x)dx f ( x)dx i 1
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例4. 求
解: 原式 =
[(2e)
x
x
5 2 )dx
x
(2e) 2x C 5 ln(2e) ln 2
x e 5 x 2 C ln 2 1 ln 2
公式
f (u )du
即
u ( x)

f [ ( x)] ( x)dx f ( ( x))d ( x)
(也称配元法 , 凑微分法)
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例1. 求
解: 令 u a x b , 则 d u adx , 故 原式 = u
m
1 1 1 m 1 du u C a a m 1
d( x a ) 1 d( x a ) xa 2a x a
1 ln x a ln x a 2a
1 xa C C ln 2a x a
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(6) (7 )
(8)
x x f ( e )e dx
(2)
F ( x) dx F ( x) C
或 d F ( x) F ( x) C
二、 基本积分表 p170-171
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例2. 求
例3. 求
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三、不定积分的性质
1.
k f ( x) dx k f ( x)dx (k 0) 2. [ f ( x) g ( x)] dx f ( x)dx g ( x) d x

1 f (ln x) dx x
f (tan x)sec 2 xdx
dtan x
de
x
dln x
例6. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
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例7. 求

e3
x
x
dx .
3 x
x
解: 原式 = 2 e
解:
a
dx
x)2 1 (a

x) d (a x )2 1 (a

du 1 u2
arcsin u C
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例4. 求 解:
sin x dcos x cos xdx cos x
类似
cos x dx d sin x sin x sin x
f ( x ) e C0 1 f (ln x) C0 x f (ln x) 1 C0 2 x x x
x
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3. 若
是( B ).
的导函数为
则
的一个原函数
( A) 1 sin x ; (C ) 1 cos x ;
提示: 已知 求 即
x x x
ln(1 e ) ln[e (e 1)] 两法结果一样
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例10. 求
cos x d sin x dx 2 cos x 1 sin 2 x 1 1 1 d sin x 2 1 sin x 1 sin x 1 ln 1 sin x ln 1 sin x C 2 1 1 sin x ln C 2 1 sin x
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例11. 求
x3 (x2 a2 )
3 2
dx .
1 1 (x2 a2 ) a2 2 x 2 dx 2 dx 解: 原式 = 3 3 2 ( x2 a2 ) 2 2 (x2 a 2 ) 2 1 2 2 2 2 12 ( x a ) d( x a ) 2 a2 2 2 2 2 3 2 d ( x a ) (x a ) 2
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dx . 例9. 求 x 1 e 解法1 x x x d ( 1 e ) (1 e ) e dx d x x 1 ex 1 e x x ln(1 e ) C
解法2
e x d(1 e x ) dx x x 1 e 1 e ln(1 e x ) C
dF [ ( x)] f [ ( x)] ( x)dx F [ ( x)] C F (u ) C
f (u )du
u ( x )
u ( x )
第一类换元法 第二类换元法
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一、第一类换元法
定理1. 设 f (u ) 有原函数 , u ( x) 可导 , 则有换元
若
则
( C 为任意常数 )
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不定积分的几何意义: 的原函数的图形称为 的积分曲线 . 的所有积分曲线组成 的平行曲线族.
f ( x) dx 的图形
y
o
x0
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x
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例1. 设曲线通过点( 1 , 2 ) ,且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.

B 1 x2
( A B) 2 Ax
1 x2 A B 0 2A 1
A 1 2 1 B 2
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第三节 换元积分法
一、第一类换元法 二、第二类换元法
第四章
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基本思路
设 F (u ) f (u ) , 可导, 则有
2 3 e 3
2 3 x d x e d(3 x ) 3 C
例8. 求 sec 6 xdx .
2 tan xd x 解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d sec
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
1. 若
x
2
f (ln x) d x
1 2 x C 2
x e 提示: 1 ln x f (ln x) e x
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2. 若

是 e x 的原函数 , 则 1 f (ln x) C0 ln x C d x x x
提示: 已知 f ( x) e x
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例5. 求 解:
1 ( x a) ( x a) 1 1 1 1 ( ) 2 2 2a ( x a)( x a ) 2a x a x a x a
1 dx dx ∴ 原式 = 2a x a xa

cos x dx