高二同步之每日一题【X2305】
二项式定理【2】
X2-3051.9()a b c ++的展开式有 项.
解:由于在9()a b c ++的展开式中,每一项均由x y z a b c 的形式构成,其 中,,x y z 均为自然数,且满足9x y z ++=,
因此9
()a b c ++的展开式的项数等价于方程9x y z ++=的自然数 解的组数.
方程9x y z ++=的自然数解的组数等价于方程'''12x y z ++=的 正整数解的组数,其中'1,'1,'1x x y y z z =+=+=+.
方程'''12x y z ++=的正整数解的组数等价于将12个相同的小球 分割成3堆,即是在这些小球的11个间隙中插入2个档板即可.
总上所知,答案为21155C =.
X2-3052.在9()a b c ++的展开式中,项234a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++⋅++⋅
⋅++的展开 式中,因此项234a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了2个a ,再从余
下的7个()a b c ++中选取了3个b ,最后从余下的4个()a b c ++中都
选取c .所以,项234a b c 的系数为2349741260C C C ⋅⋅=.
X2-3053.在9()a b c -+的展开式中,项333a b c 的系数为 . 解:由于在9()()()()a b c a b c a b c a b c ++=++⋅++⋅
⋅++的展开 式中,因此项333a b c 的构成是从9个()a b c ++中选取了3个a ,再从余
下的6个()a b c ++中选取了3个b -,最后从余下的3个()a b c ++中
都选取c .所以,项333a b c 的系数为3333963(1)1680C C C ⋅⋅⋅-=-.
X2-3054.在34
(12)(1)x x +-展开式中,2x 项的系数为 . 解:由于在34
(12)(1)x x +-的展开式中2x 项有如下三种构成方式: (1)由3(12)x +的常数项×4(1)x -的二次项可得,此时2
x 项的系数
为32234(1)6C C ⋅-=； (2)由3(12)x +的一次项×4(1)x -的一次项可得,此时2
x 项的系数
为1111342(1)24C C ⋅-=-； (3)由3(12)x +的二次项×4(1)x -的常数项可得,此时2
x 项的系数
为22034212C C ⋅=； 综上可知,2
x 项的系数为624126-+=-.
X2-3055.在102(2)(2)x x +-的展开式中,10x 项的系数为 . 解:由于在)1()2(210-+x x 的展开式中10x 项有如下两种构成方式:
(1)由10(2)x +的10x 项×2
(2)x -的常数项可得,此时10x 项的系数 为010(2)2C ⋅-=-；
(2)由10(2)x +的8x 项×2
(2)x -的二次项可得,此时10x 项的系数 为221021180C ⋅=；
综上可知,2
x 项的系数为2180178-+=.
X2-3056.在10109910102)1()1()1(++++++=+x a x a x a a x x 的展 开式中9a = .
解:首先,等式两边10x 项的系数应相等,而等式右边10x 项的系数为10a , 因此101a =；
其次,等式两边9x 项的系数应相等,而等式左边9
x 项的系数为0,等
式右边9x 项的系数为191010a a C +.
因此9101010a a =-⋅=-.
X2-3057.在10109910102)1()1()1(++++++=+x a x a x a a x x 的展
开式中3a = .
解:令1x t +=,则1x t =-,故原等式即为
21091001910(1)(1)t t a a t a t a t -+-=++++.
于是,等式两边3t 项的系数应相等.
故由77
310(1)a C =-可得3120a =-.。