二项式定理
一．二项式定理
1.右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式
2.各项的系数r n C 叫做二项式系数
3.式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，它是二项展开式的第1r +项，即
1(0,1,2,,).r n r r r n T C a b r n -+==L
4.二项展开式特点：共1r +项；按字母a 的降幂排列，次数从n 到0递减；二项式系数r n C 中r 从0到
n 递增，与b 的次数相同；每项的次数都是.n
二．二项式系数的性质
性质1 ()n a b +的二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即m n m n n C C -=
性质2 二项式系数表中，除两端以外其余位置的数都等于它肩上两个数之和，即11m m m n n n C C C -++=
性质3 ()n
a b +的二项展开式中，所有二项式系数的和等于2n ，即012.n n n n n C C C +++=L （令1a b ==即得，或用集合的子集个数的两种计算方法结果相等来解释）
性质4 ()n
a b +的二项展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项
的二项式系数的和，即
022132112.r r n n n n n n n C C C C C C +-++++=++++=L L L L （令1,1a b ==-即得）
性质5 ()n a b +的二项展开式中，当n 为偶数时，中间一项的二项式系数2n n C 取得最大值；当n 为奇数时，中间两项的二项式系数12,n n C -12n n C +相等，且同时取得最大值.（即中间项的二项式系数最大）
【题型精讲】
题型一、展开式中的特殊项
1．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则n = B ．4 C ．5 D ．6 2.在()()1n x n N *
+∈的二项展开式中，若只有5x 的系数最大，则n = A ．8 B. 9 C. 10 3．如果2323n x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（ ） Ａ．3
Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．10
题型二、展开式的系数和 1.已知()()()()1002100
01210012111.x a a x a x a x +=+-+-++-L 求：（1）0a ；（2）012100a a a a ++++L （3）13599a a a a ++++L ；
2.（江西理4）已知33n
x x ⎛⎫+ ⎪⎝
⎭展开式中，各项系数的和与其各项二项式系数的和之比为64，则n 等于（ ）
Ａ．4 Ｂ．5 Ｃ．6 Ｄ．7 3.（江西文5）设2921101211(1)(21)(2)(2)(2)x x a a x a x a x ++=+++++++L ，则01211a a a a ++++L 的值为
（ ）
Ａ．2-
Ｂ．1- Ｃ．1 Ｄ．2 4.(安徽文12)已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++, ())(531420a a a a a a ++++ 的值等
于 .
题型三、一项展开:拆成两项
除以9的余数是（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
题型四、多项展开：
1.（|x |＋|
|1x －2）3展开式中的常数项是（ ） A ．12 B ．－12 C ．20 D ．－20
2.求()()()2111n x x x ++++++L 展开式中3x 项的系数.
二项式定理
1、展开式中的特殊项
1．解．21()n x x -的展开式中，常数项为15，则223331()()15n n n n C x x -=，所以n 可以被3整除，当n=3时，13315C =≠，当n=6时，2615C =，选D 。

2.答案】C 解析】只有5x 的系数最大，5x 是展开式的第6项，第6项为中间项，展开式共有11项，故n=10
3．答案：选Ｂ
解析：由展开式通项有()21323r
n r r r n T C x x -+⎛⎫=- ⎪⎝⎭()2532r r n r n r n C x --=⋅⋅-⋅ 由题意得()52500,1,2,,12n r n r r n -=⇒=
=-L ，故当2r =时，正整数n 的最小值为5，故选Ｂ 2、展开式的系数和
1.1003、1005、2
15100- 2.解析：展开式中，各项系数的和为4n ，各项二项式系数的和为2n ，由已知得2n =64，所以n=6，选C
3.解析：令2x +=1，右边为01211a a a a ++++L ；左边把1x =-代入
299(1)(21)2(1)2x x ++=-=-，01211 2.a a a a ∴++++=-L 选A.
4.解析：已知45235012345(1)x a a x a x a x a x a x -=+++++,
∴024135()16a a a a a a ++=-++= 则
())(531420a a a a a a ++++=－256
3、一项展开:拆成两项
1解析：1111101192111011111011111133C 9C 9C 9C 9C )19(82-+-+-=-==Λ-=10
0119(C 9
)1C 9C 9C 9(C 91)C 9C 9C 101182119111100111011821191
11-+-+-=-+-+ΛΛ,8+ 故余数为8，选D ．
4、多项展开：1.解法一：∵63)||1||()2||1|(|x x x x -=-+
∴展开式的通项为
r r r x T -+=661)||(C ·r r r x )1(C )||1(6-=-·r x 26)||(- 令6－2r ＝0，得r ＝3
∴T 4＝36C （－1）3＝－20 ∴所求常数项为－20．
解法二：∵（|x |＋|
|1x －2）3＝36|||)|1(x x - ∴（1－|x |）6中|x |3的系数A ＝3
6C （－1）3＝－20就是展开式的常数项． 评注：此题也可把其中的某两项看作一项对待，然后用二项式定理展开，但较繁，以上两种转化方式是比较实用的．
2.33433n C C C ⋅⋅⋅⋅⋅⋅++。