677715
663397 648506
7.0064
7.9286 8.9678
533963
525372 514872
15.9039
16.8261
589325
575008
25.9083
637625
17.9317 558781
表2
用数学软件绘图如下
水流量
dV (t ) f (t ) dt
3、由数据（ti,Vi)产生水流量f(t)的方法有： 1.由对水体积的微商数据点直接获得水流量f(t)的近似函数值 2.先获得水体积V(t)的近似函数，再对其求导
39435 （秒） 35.5（英尺） 由 39435-32284=7048 1.958（小时）满足每次约两小时的条件 可推断在32284（秒） 为充水的开始时间, 在39435（秒） 为充水的截 止时间.
第二次充水期的一些数据为
75021（秒） 79154 82649 26.97 27 （英尺）推断在75021(秒) 为充水的开始时间
估计水塔的水流量
三、符号约定及说明
h：水塔中水位的高度，是时间的函数，单位为英尺 V ：水塔中水的体积，是时间的函数，单位为加仑
t：时间，单位为小时
f ：水塔水流量，是时间的函数，单位为加仑小时 p：水泵工作时充水的水流量，是时间的函数，单位为加仑小时
四、问题分析与建模
采用三次样条插值来做曲线逼近，为 形象化，将表中数据描点画图
10619
13937 17921
2994
2947 2892
43318
46636 49953
3445
3350 3260
79154
82649 85968
水泵工作
水泵工作 3475
21240
25223 28543
2850
2797 2752
53936
57254 60574
3167
3087 3012
89953
下面介绍样条插值理论
样条插值
分段插值存在着一个缺点,就是会导致插值函数在子区间的端 点(衔接处)不光滑,即导数不连续,对于一些实际问题,不但要求 一阶导数连续,而且要求二阶导数连续。为了满足这些要求,人 们引入了样条插值的概念。 所谓“样条”(SPLINE)是工程绘图中的一种工具,它是有 弹性的细长木条,绘图时,用细木条连接相近的几个结点,然后 再进行拼接,连接全部结点,使之成为一条光滑曲线,且在结点 处具有连续的曲率。样条函数就是对这样的曲线进行数学模 拟得到的。它除了要求给出各个结点处的函数值外,只需提供 两个边界点处导数信息,便可满足对光滑性的不同要求。
1、样条函数的定义
设f(x)是区间[a,b]上的一个连续可微函数,在区间[a,b]上给 定一组基点: a=x0<x1<x2<<xn=b 设函数s(x)满足条件 (1) s(x)在每个子区间[xi , xi+1](i=0,1,2,,n-1)上是次数不 超过m的多项式; (2) s(x)在区间[a , b]上有m-1阶连续导数; 则称s(x)是定义在[a ,b]上的m次样条函数。x0，x1，x2, 称为样条结点,其中x1,,xn-1称为内结点, x0 , xn 称为边界结 点。当m=3时,便成为最常用的三次样条函数。
水泵工作 水泵工作（补充数据35.5英尺）
85968 （秒） 34.75（英尺）（与35.5英尺相差太多） 但 85968-75021=3.041（小时） 而 82649-75021=7628 2.11889（小时）满足每次约两小时的条件
推断在82649（秒） 为充水的截止时间, 获得一个额外数据.
下面考虑Mi的求法
则由连续性 S'(xi-)= S'(xi+) ,(i=1,2,……,n-1) 得
μ iMi-1+2Mi+λ iMi+1= di
其中
hi ui h h , i i 1 d 6( yi 1 yi yi yi 1 ( h h ) 1 i i i 1 h h i 1 i
Mn M0 n M1 n M n1 2 M n d n
其中
hn u , n n n hn h1 d 6( y1 y0 yn yn1 )(h h ) 1 n 1 n h h 1 n
以上各组条件与方程组(**)联立，可以解出未知参数M0，M1 ,……,Mn，然后代入S(x) 表达式，即可求得样条函数 。 上面构造方法中Mi相应于力学中细梁在xi处截面的弯矩，每 一个方程中又至多出现相邻的三个Mi，通常称为三弯矩法。 总结以上论述，可得求三次样条的步骤为： （1）确定边界条件，判定是第几型插值问题； （2）根据所确定的条件计算各值，形成方程组(**)； （3）解三对角方程组(**)，求得M0， M1 ， M2, Mn ； （4）将求得的Mi值代回S(x)的表达式中， 从而可求得函数y=f(x)在任一点的近似值S(x)。
93270
3397
3340
32284
2697
64554
2927
表1给出了某个真实小镇的真实数据,水塔是一个 圆形柱体，高40英尺，直径57英尺，通常水塔的 水位降至约27英尺时水泵开始向水塔充水，而当 通常水塔的水位升至约35.5英尺时水泵停止向水 塔充水。
一、问题的重述（略）
二、基本假设
1、影响水从水塔流出的流率的唯一因素是公众对水的传统要求。
水位
时间
1、补充充水的开始和截止数据
由假设知水塔的水位降至约27英尺时水泵开始向水塔充水， 水塔的水位升至约35.5英尺时水泵停止向水塔充水， 水泵每天向水塔充水一次或两次，每次约两小时 由表1 ，有第一次充水期的一些数据为
32284（秒）
35932 39332
26.97 27 （英尺）
水泵工作 水泵工作
2 2 ( x x ) ( x x ) i 1 i S' ( x ) M i M i 1 2 hi 2 hi
yi 1 yi M i 1 M i hi hi 6 x [ x i , x i 1 ]
因此，只要能求出所有的{M i}， 就能求出样条插值函数S(x).
, M i+1
三次样条函数的构造
S”(x) M i
构造三次样条插值函数的方法有很多，这里介绍一个常用 的方法：三弯矩插值法 记Mi = S″(xi), f(xi)= fi= yi ,考虑它在任一区间[xi,xi+1]上的 形式.根据三次样条的定义可知 ,S(x)的二阶导数S″(x)在每一个 子区间[xi,xi+1] ( i=0,1,2,,n-1)上都是线性函数. 于是在[xi,xi+1] 上S(x)=Si(x)的二阶导数表示成
4、表中的时间数据准确在一秒以内。 5、水塔水流量与水泵状态独立，不因水泵工作而增加 或减少水流量的大小。 6、水塔水流量曲线可以用一条光滑的曲线来逼近。 对离散数据的处理，可以用数据逼近的方法来解决，本问 题要想到用数值逼近来建模，数值逼近的方法有很多，如 Lagrange插值、分段插值、样条插值、曲线拟合等. 本问题分三步： 1、先决定所给数据点处的水流量。（数据转换即可） 2、找一个水从水塔流出的水流量光滑逼近函数 3、处理水泵工作时的充水水流量及一天该镇的总用水量
2、数据转换
时间 水体积 （小时） （加仑） 0 606125
(V=r2 h )
时间 水体积 时间 水体积 （小时） （加仑） 9.9811 水泵工作 （小时） （加仑） 19.0375 542554
0.9211
1.8431 2.9497
593716
583026 571571
10.9256
10.9542 12.0328
三次样条插值问题加上第i型边界条件称为第i型插值问题（ i＝１，２，３）．可以证明第 i 型插值问题的解是存在且唯 一的。他们对应如下的三对角方程组： 2 λ 0 μ1 2 λ 1 . . . . . . . . . μ n-1 2 λ μ
n
n-1
M0 M1 . . = . Mn-1 Mn
d0 d1 . . . dn-1 dn
2、水塔中水的水位不影响水流量的大小。 （因为物理学的定律指 出：水塔的最大水流量与水位高度的平方 根成正比，由表中数据有 35.5 1
27
说明最高水位和最底水位的两个流量几乎相等） 3、水泵工作的起止时间由水塔的水位决定，水泵工作性能效率总 是一定的，没有工作时需维修、使用次数多影响使用效率问题， 水泵充水量远大于水塔水流量。
表1、某小镇某天的水塔水位
时间 水位 时间 水位 时间 水位
（秒） （0.01英尺） （秒） （0.01英尺） （秒） （0.01英尺）
0
3316 6635
3137
3110 3054
35932
39332 39435
水泵工作
水泵工作 3550
68535
71854 75021
2842
2767 2697
xi 1 x x xi S ( x) Mi M i 1 hi hi
''
x [ xi , xi 1 ]
(1.2)
其中 hi= xi+1–xi . 对S″(x)连续积分两次,并利用插值条件S(xi)= yi ,得到
( x i 1 x ) 3 ( x xi ) 3 S( x ) M i M i 1 6hi 6hi ( yi Mi y M i 1 hi )( x i 1 x ) ( i 1 hi )( x x i ) hi 6 hi 6
(**)
2
对于第一型插值问题，取 λ 0=1，μ n=1,