H L
二、问题分析
流量是单位时间内流出水的体积.由于水塔是正圆柱形,截面 面积是常数, 所以,流量很容易根据水位相对时间的变化率算出。 水泵不工作时段的用水量可以由测量记录直接得到: 由表1中 记录的水位下降高度乘以水塔的截面面积就是这一时段的用水量. 这个数值可以用来检验数据插值或拟合结果的准确性。 问题的难点在于:如何估计水泵供水时段的流量。 水泵供水时段的流量只能靠供水 时段前后的流量经插值或拟合得到. 而作为用于插值或拟合的原始数据, 我们希望水泵不工作时段的流量数 据越准确越好. L
数值实验： 下表给出的是21个数据点(x, y), 尝试用MATLAB数学 软件的相关命令进行数据拟合、数据插值实验．
x y x y x y 0 9.01 7 11.18 14 9.15 1 2 3 4 8.95 7.96 7.96 8.02 8 9 10 11 12.26 13.28 13.32 12.61 15 16 17 18 7.90 7.95 8.86 9.81 5 9.05 12 11.29 19 10.80 6 10.13 13 10.22 20 10.93
v( x 0 ) = (3 y 0 − 4 y1 + y 2 ) /( x 2 − x 0 )
v ( x n ) = ( − 3 y n + 4 y n −1 − y n − 2 ) /( x n − x n − 2 )
经过计算，得到时间与流速之间的关系数据表3 表 3
时间(h) 0 0.46 1.38 2.395 3.41 4.425 5.44 6.45 7.465 8.45 8.97 9.98 10.93 10.95 11.49 流速(cm/h) 29.89 21.74 18.48 16.22 16.30 15.32 13.04 15.45 13.98 16.35 19.29 水泵开动 水泵开动 33.50 29.63 时间(h) 12.49 13.42 14.43 15.44 16.37 17.38 18.49 19.50 20.40 20.84 22.02 22.96 23.88 24.43 25.45 25.91 流速(cm/h) 31.52 29.03 26.36 26.09 24.73 23.64 23.42 25.00 23.86 22.17 水泵开动 水泵开动 27.09 21.62 18.48 13.30
2 (4) 水塔截面面积为 (57 × 0.3048) × π = 237.8 平方米。 4
3.2 流量估计方法
由表2给出的数据，用MTALAB软件做出时间—水位散点图1：
11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 0 5 10 15 20 25 30
为了计算水箱水流量与时间的关系，最简单的方法就是： 根据给出的散点数据图，将数据分为三段，然后对每一 段数据用数据插值或者数据拟合的方法得到流量与时间的近 似函数关系。
实验十四
水塔水流量的估计
实验十四
实验目的:
水塔水流量的估计
1. 掌握四种经典的插值方法：拉格朗日插值法、牛顿 插值法、分段插值法、三次样条插值法。 2. 学会用MATLAB软件进行数据插值计算. 3. 学会用数据插值、数据拟合方法建立数学模型并求解.
实验内容:
1. 数据插值、数据拟合理论方法． 2. 熟悉使用MATLAB软件进行数据插值，数据拟合． 3. 简单的数据建模实验：水塔水流量的估计．
H
二、问题分析
流量大体上可由两种方法计算: (1) 直接对表1中的用水量用数值插值方法算出各时段的流量, 用它们拟合其它时刻或连续时间的流量; (2)先用表中数据拟合水位--时间函数,求导数即可得到连续 时间的流量. 有了任何时刻的流量,就不难计算一天的总用水量.
H L
三、问题求解
为了表示方便， 将所给表1中的数据全部化为国际标准单位， 时间用小时(h),高度用米(m). 表2 一天内水塔水位记录
数据表3对应的时间--流速散点图如下： 图2 35 30 25 20 15 10 0 5 10 15 20 25 30
11 10.5 10 9.5 9 8.5 8 0
5
10
15点图如下： 图2 35 30 25 20 15 0 5 10 15 20 25 30 (1) 数据插值法 采用拉格朗日、分段线性和三次样条三种数据插值方法。 根据表3的数据，对水泵不工作时段1,2通过采取数据插值 方法可以得到任意时刻的流速，从而知道任意时刻的流量. 对于水泵工作时段1，应用前后时期的流速进行插值。 由于最后水泵工作时段2的数据太少，我们将它与水泵不工 作时段2合并，一同进行数据插值处理（简称混合时段） 10
3.1 模型假设
(1) 流量只取决于水位差,与水位本身无关. (2) Torricelli定律：从小孔流出液体的流速正比于液面高度 的平方根。 在假设出口的水位为零的前提下，题目给出水塔的最低和最 高水位分别是8.1648m(27×0.3024) 和 10.7352m(35.50×0.3024). 因为： sqrt(10.7352/8.1648)=1.1467≈1 所以,可忽略水位对流速的影响。 (3) 流量可以看作是时间的连续函数。因此，为了计算简单， 不妨将流量定义成单位时间流出水的高度，即水位对时间变化率 的绝对值。
以第 1 未供水时段数据为例分别用三种方法算出流量函数和用水 量（用水高度）。 t=[0,0.46,1.38,2.395,3.41,4.425,5.44,6.45,7.465,8.45,8.97]; v=[29.89,21.74,18.48,16.22,16.30,15.32,13.04,15.45,13.98,16.35,19.27]; t0=0:0.1:8.97; lglr=lglrcz(t,v,t0); lglrjf=0.1*trapz(lglr) fdxx=interp1(t,v,t0); fdxxjf=0.1*trapz(fdxx) scyt=interp1(t,v,t0,'spline'); sancytjf=0.1*trapz(scyt) plot(t,v,'*',t0,lglr,'r',t0,fdxx,'g',t0,scyt,'b') gtext('lglr') gtext('fdxx') gtext('scyt')
水塔水流量的估计
一． 实验问题
某一地区的用水管理机构要求各社区提供每小时以加仑计的 用水量以及每天所用水的总量。由于许多社区没有测量流入或流 出水塔的水量装置，所以他们只能通过测量水塔每小时的水位高 度来代替每小时的用水量(误差不超过0.05)。当水塔中的水位下降 到最低水位L (27.00ft)时水泵就自动启动向水塔输水, 当水塔水位 达到限定最高水位H (35.00ft)时，水泵停止供水。水泵供水期间 无法测量水泵的供水量。水泵每天输水一次或两次,每次约二小时。
时间(h) 0 0.92 1.84 2.95 3.87 4.98 5.90 7.00 7.93 8.97 9.98 10.93 10.95 12.03 水位(m) 时间(h) 9.68 12.95 9.45 13.88 9.31 14.98 9.13 15.90 8.98 16.83 8.81 17.93 8.69 19.04 8.52 19.96 8.39 20.84 8.22 22.02 水泵开动 22.96 水泵开动 23.88 10.82 24.99 10.50 25.91 水位(m) 10.21 9.94 9.65 9.41 9.18 8.92 8.66 8.43 8.22 水泵开动 水泵开动 10.59 10.35 10.18
H L
已知某一小镇的水塔是一高为40ft，直径为57ft的正圆柱，下 表记录的是某一天水塔水位的真实数据(1ft=0.3024米(m))。 试估计任何时刻(包括水泵正在输水时间)从水塔流出的水流量 和一天的用水总量 表1 已记录的水位高度
时间/s 水位/0.01ft 0 3175 3316 3110 6635 3054 10619 2994 13937 2947 17921 2892 21240 2850 25223 2795 28543 2752 32284 2697 35932 水泵开动 39332 水泵开动 39435 3550 43318 3445 时间/s 46636 49953 53936 57254 60574 64554 68535 71854 75021 79254 82649 85968 89953 93270 水位/0.01ft 3350 3260 3167 3087 3012 2927 2842 2767 2697 水泵开动 水泵开动 3475 3397 3340
回顾:
数据插值方法：拉格朗日插值法、牛顿插值法 如何用MATLAB软件进行数据插值、数据拟合计算
讲解:
简单的数据建模实验：水塔水流量的估计．
基本理论方法回顾：
x
x0
y0
x1
y1
x2
y2
L
L
xn
yn
y
多项式插值：满足条件 Pn ( x i ) = y i , i = 0 ,1, 2 , L , n
MATLAB软件实现数据插值
yb=interp1(x,y,xb,'method') zb=interp2(x,y,z,xb,yb,'method') vb=interp3(x,y,z,v,xb,yb,zb,'method') yb=spline(x,y,xb) yb=interp1(x,y,xb,'cubic')
2 n
的n次多项式 Pn ( x ) = a 0 + a1 x + a 2 x + L + a n x 唯一存在。 方法： 拉格朗日插值多项式，牛顿插值多项式 数据拟合： 选定基函数 寻找待定参数 充分小。