罗默《高级宏观经济学》（第3版）第2章 无限期界与世代交叠模型跨考网独家整理最全经济学考研真题，经济学考研课后习题解析资料库，您可以在这里查阅历年经济学考研真题，经济学考研课后习题，经济学考研参考书等内容，更有跨考考研历年辅导的经济学学哥学姐的经济学考研经验，从前辈中获得的经验对初学者来说是宝贵的财富，这或许能帮你少走弯路，躲开一些陷阱。

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2.1 考虑N 个厂商，每个厂商具有规模报酬不变的生产函数()Y F K AL =，，或者（利用密集形式）()Y ALf k =。

设()·0f '>，()()***1c s f k =-。

设所有厂商以工资wA 雇用工人，以成本r 租借资本，并且拥有相同的A 值。

（a ）考虑一位厂商试图以最小成本生产Y 单位产出的问题。

证明k 的成本最小化水平()()()**1001t t t f c c k cs f k n g k L n L αδ*+⎛⎫"==-=++=+ ⎪⎝⎭＜唯一地被确定并独立于Y ，所有厂商因此选择相同的k 值。

（b ）证明N 个成本最小化厂商的总产出等于具有相同生产函数的一个单个厂商利用N 个厂商所拥有的全部劳动与资本所生产的产出。

证明：（a ）题目的要求是厂商选择资本K 和有效劳动AL 以最小化成本rK wAL +，同时厂商受到生产函数()Y ALf k =的约束。

这是一个典型的最优化问题。

().mi . n s t w Y ALf k AL rK = +本题使用拉格朗日方法求解，构造拉格朗日函数： 求一阶条件：用第一个结果除以第二个结果：上式潜在地决定了最佳资本k 的选择。

很明显，k 的选择独立于Y 。

上式表明，资本和有效劳动的边际产品之比必须等于两种要素的价格之比，这便是成本最小化条件。

（b ）因为每个厂商拥有同样的k 和A ，下面是N 个成本最小化厂商的总产量关系式：单一厂商拥有同样的A 并且选择相同数量的k ，k 的决定独立于Y 的选择。

因此，如果单一厂商拥有L 的劳动人数，则它也会生产()Y AL f k =的产量。

这恰好是N 个厂商成本最小化的总产量。

2.2 相对风险厌恶不变的效用条件下的替代弹性。

考虑一个寿命为两个时期且效用由教材中方程（2.43）给定的个人。

（2.43）设1P 与2P 表示两个时期的消费价格，W 表示个人终生收入值，因此预算约束为1122PC P C W +=。

（a ）给定1P 、2P 与W ，效用最大化个人的1C 与2C 的选择是什么？（b ）两个时期的消费的替代弹性是()()()()12121212//////P P C C C C P P -∂∂⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，或者()()2211ln //ln /C C P P -∂∂。

证明在效用函数为教材中方程（2.43）的条件下，1C 与2C 之间的替代弹性是1θ。

答：（a ）这是一个效用最大化的优化问题。

（1）1122..s t PC P C W += （2）求解约束条件：2112//C W P C P P =- （3）将方程（3）代入（1）中，可得：（4） 这样便将一个受约束的最优化问题转变为一个无约束问题。

在方程（4）两边对1C 求一阶条件可得：再简化为：()()1/1/12121/C P P C θθρ=+ （5）将方程（5）代入（3），则有：()()()()()1/1/1/1/22212122212/1//11//C W P P P C P P C P P W P βββββρρ-⎡⎤=-+++=⎣⎦再简化为：Born to win经济学考研交流群 <<<点击加入985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解（6）将方程（6）代入（5）中，则有：（7）（b ）由方程（5）可知第一时期和第二时期的消费之比为：()()1/1/1221/C 1/C P P ββρ=+ （8）对方程（8）两边取对数可得：()()()()()1221ln /C 1/ln 11/ln /C P P θρθ=++ （9）则消费的跨期替代弹性为：因此，θ越大，表明消费者越愿意进行跨期替代。

2.3 （a ）设人们预先知道，在某个0t 时刻，政府将把每个家庭所持有的财富没收一半。

在该时刻消费发生非连续的变化吗？如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？（b ）设人们预先知道，在0t 时刻，政府将在该时刻把每个家庭相当于其平均所持有的一半的财富没收。

在0t 时刻，消费发生非连续的变化吗?如果是，为什么（联结0t 时刻前的消费与0t 时刻后的消费的条件是什么）？如果不是，为什么？答：（a ）考虑两个时期的消费，比如在一个极短的时期t ∆内，从()0t ε-到()0t ε+。

考虑家庭在()0t ε-时期减少每单位有效劳动的消费为c ∆。

然后他在()0t ε+投资并消费这一部分财富。

如果家庭在最优化他一生的财富，则他的这一财富变化对一生的效用没有影响。

这一变化有一效用成本()u c c '∆前，在()0t ε+会有一收益()r t n g te c --⎡⎤∆⎣⎦∆，财富的回报率为()r t ，不过，此刻有一半的财富会被没收。

此时的效用收益为[]()()1/2r t n g tu c e c --∆⎡⎤⎣⎦'∆后。

总之，对于效用最大化的消费路径来说，必须满足下列条件：在0c ∆≠时，有下式：因此，当政府对财富没收一半后，消费会不连续的变化，消费会下降。

征收前，消费者会减少储蓄以避免被没收，之后会降低消费。

（b ）从家庭的角度讲，他的消费行为将不会发生不连续的变化。

家庭事先会预测到自己一半的财富会被政府没收，为了最优化他一生的效用，家庭不会使自己的消费发生不连续的变化，他还是希望平滑自己的消费的。

2.4 设教材中方程（2.1）瞬时效用函数()u C 为ln C 。

考虑一个在方程（2.6）约束下旨在最大化方程（2.1）的家庭的问题。

给出在每一时刻由初始财富与劳动收入现值之和、()r t 的路径与效用函数参数表示的C 的表达式。

注意：（2.1）（2.1）中，()C t 是在£时刻家庭每个成员的消费。

()u 是瞬时效用函数——它给出了既定时刻家庭每个成员的效用。

()L t 是经济的总人口，()/L t H 因此是每个家庭的成员人数。

故()()()u C t L t H ／是t 时刻家庭的总瞬时效用。

最后，ρ是贴现率。

ρ越大，则相对于现期消费，家庭对未来消费的估价越小。

由于每个家庭有()/L t H 个成员，在t 时刻其劳动总收入为()()W t L t H ／，并且其消费支出为()()C t L t H ／。

在0时刻，家庭的初始财富是经济总初始财富的1/H ，或等于()0/K H 。

因此，家庭预算为：（2.6）答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用。

（1）（2）令建立拉格朗日方程：Born to win经济学考研交流群 <<<点击加入985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解求一阶条件：抵消()/L t H 项得：()()1R t t e C t eρλ---= （3）可以推出：()()1R t t C t e e ρλ--= （4）将其代入预算约束方程：（5）将()()0nt L t e L =代入上式：（6）只要0n ρ->，则积分项收敛，为()1/n ρ-，则：（7）将方程（7）代入（4）：（8）因此，初始消费为：（9）个人的初始财富为()/0W L H ⎡⎤⎣⎦／，方程（9）说明消费是初始财富的一个不变的比例。

()n ρ-为个人的财富边际消费倾向。

可以看出，这个财富边际消费倾向在均衡增长路径上是独立于利率的。

对于折现率ρ而言，ρ越大，家庭越厌恶风险，越会选择多消费。

2.5 考虑一个其效用由教材中方程和方程给定的家庭。

设真实利率不变，并且W 表示家庭的初始财富与其终生劳动收入现值之和教材中方程的右边，给定r 、W 与效用函数的参数，求出C 的效用最大化路径。

答：本题目是在家庭的预算约束下最大化一生的效用，即：（1）（2）W 代表家庭的初始财富加上家庭一生劳动收入的现值，利率r 是常数。

建立拉格朗日方程如下：求一阶条件，可得：抵消()/L t H ，得：()t t e C t e ρθγλ---= （3）两边对时间t 求导，可得：得到下面的方程：（4）将方程（3）代入（4），可得：抵消t e γλ-然后求消费的增长率()()/C t C t ，可得：（5）Born to win经济学考研交流群 <<<点击加入985/211历年真题解析,答案,核心考点讲义,你想要的都在这→ 经济学历年考研真题及详解由于利率r 是常数，所以消费的增长率为常数。

如果r ρ>，则市场利率超过贴现率，则消费会增加；反之，如果r ρ<，则市场利率小于贴现率，则消费会减少。

如果r ρ>，则θ决定了消费增长的幅度。

θ值越低，也就是替代弹性越高，1/θ越高，即消费增长的越快。

重写方程（5），得：（6）对方程（6）积分，积分区间是从时间0τ=到时间t τ=，可得：上式可以简化为：[][]()/0/lnC t C r t ρθ=- （7）对方程（7）两边取指数，可得：()()[]//0r t C t C e ρθ-=（），整理得：()()[]/ 0r tC t C e ρθ-=（） （8）下面求解初始消费，将方程（8）代入（2），可得：将()()0nt L t L e =代入上式，可得：（9）只要[]/0r r n ρθθ-+->（），从而保证积分收敛，则求解方程（9）可得：（10）将方程（10）代入（9）中，求解()0C ：（11）将方程（11）代入（8），求解()C t ：（12）上式便是C 的效用最大化路径。

2.6 生产力下降与储蓄。

考虑一个正处在其均衡增长路径上的拉姆齐—卡斯—库普曼经济，并且设g 永久性地下降。

（a ）如果这个变动影响0k =曲线，它将怎样影响？ （b ）如果这个变动影响0c =曲线，它将怎样影响？（c ）在变动时刻，c 会发生什么事情？（d ）找出g 的边际变化对正处在均衡增长路径上的产出的储蓄份额产生影响的表达式。

人们可否说明这种表达式为正还是为负？（e ）对于生产函数是柯布—道格拉斯的情形，即()k k α=，请重新写出用ρ、n 、g 、θ与α表示的（d ）的答案。

（提示：利用事实()*f k g ρθ'=+。