辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第6.5.1页
§5 子空间的运算 教学目的 通过2学时的讲授，使学生理解子空间交、和的定义与性质，基本掌握子空间直和的刻画定理及初步应用． 教学内容 为了进一步把握向量空间的结构，本节学习向量空间的子空间的交与和两种运算，以及子空间和的重要特况：直和．
5.1 交与和 命题6.5.1 设W1，W2都是数域F上向量空间V的子空间，则W1∩W2也是V的子空间，叫做W1与W2的交． 证 因为∈W1∩W2，所以W1∩W2≠．设α，β∈W1∩W2，则α，β∈Wi，i=1，2．因为Wi是子空间，所以α+β∈W i；kα∈Wi，k∈F；i=1,2．于是α+β∈W1∩W2，kα∈W1∩W2，k∈F．因此，W1∩W2是V的子空间． 由集合的交的定义可得出，子空间的交适合下列运算规则： 1)交换律 W1∩W2= W2∩W1； 2)结合律 (W1∩W2)∩W3= W1∩(W2∩W3)． 由结合律，我们得到多个子空间的交：
tiitWWWW121，
且由归纳法易见，tiiW1也是V的子空间． 注 类似命题6.5.1的证明可得，设I是任一指标集，若i∈I，Wi是V的子空间，则IiWWiIii,也是V的子空间．
向量空间V的两个子空间W1与W2的并集一般不是V的子空间．例如，在V3中，取W1，W2是通过原点的两个不同的平面，它们都是V3的子空间．W1∪W2对加法一般不封闭，因此W1∪W2不是V3的子空间．若我们想构造一个包含W1∪W2的子空间，则这个子空间应当包含W1中的任一向量α1与W2中的任一向量α2的和α1+α2 ．由此受到启发．我们来证明 命题6.5.2 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个子空间，则集合 },{221121WW (1)
是V的一个子空间，叫做W1和W2的和，记作W1+W2． 证 把集合(1)记作W．显然∈W(因为 = + )．在W中任取两个向量α，β，可设
21， 21，
其中α1，β1∈W1，α2，β2∈W2，则 )()(2211． 由于W1，W2是V的子空间，所以α1+β1∈W1，α2+β2∈W2，从而α+β∈W． 辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第6.5.2页 类似可证任取k∈F，，，，221121WWW则Wk．因此W是V的一个子空间． 对于W1中任一向量α1，有α1=α1+θ．因此W1W1+W2．同理，W2W1+W2．从而W1∪W2W1+W2．所以W1+W2是包含W1∪W2的子空间． 设U是V的子空间，且W1∪W2U，则对于任意αi∈Wi，i=1，2，有αi∈U．从而α1+α2∈U．由此看出W1+W2U．这表明W1+W2是V中含W1∪W2的最小的子空间． 由命题6.5.2知道 W1+W2=},{221121VV． (2) 从(2)式容易看出，子空间的和适合下列运算规则： 1)交换律 W1+W2= W2+W1 2)结合律 (W1+W2)+W3=W1+(W2+W3)． 由结合律，我们可以定义t(t≥2)个子空间的和：
tiitWWWW121，
用归纳法易证，tiiW1仍是V的子空间，并且 tWWW21=},,1{21tiWiit，． (3) 命题6.5.3 设r,,1与s,,1是数域F上向量空间V的两个向量组，则 trtrLLL，，1111,,,,,,． (4)
证 从(2)式得出 trLL,,11，=Flkllkkjitrrr,1111
=trL,,,,11． 在V3中，设W1是过原点O的一个平面，W2是过O的另一个平面，它们相交于一条直线L．则W1，W2，L都是V3的子空间，并且W1∩W2=L．由于V3中每个向量α可以表示成W1中一个向量与W2中一个向量的和(注意表法不唯一)，所以W1+W2=V3．由于dimW1=dimW2=2，dimL=1,dimV3=3，因此在本例中，有 212121dimdimdimdimWWWWWW．
这个公式对于任一向量空间的任意两个有限维子空间都成立，即有 定理6.5.1(维数公式) 若W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则W1∩W2与W1+W2也都是有限维的，并且 212121dimdimdimdimWWWWWW． (5)
证 因为W1是有限维的，而W1∩W2是W1的子空间，所以W1∩W2也是有限维的．设W1,W2
的维数分别是n1，n2，W1∩W2的维数是m．取W1∩W2的一个基m,,1，并将它分别扩充成
W1的一个基m,,1，mn1,1，，扩充成W2的一个基m,,1，mn2,1，．据(4)式，我们有 W1+W2=L(m,,1，mn1,1，)+L(m,,1，mn2,1，) 辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第6.5.3页 =L(m,,1，mn1,1，，mn2,1，) (6) 于是W1+W2是有限维的．若能证明m,,1，mn1,1，，mn2,1线性无关，则它就是W1+W2的一个基，从而有dim(W1+W2) =m+(n1－m)+(n2－m)= n1+ n2－m=dim W1+dimW2－dim(W1
∩W2)，即维数公式成立．于是，设
mnmnmmppkk111111mnmnqq2211， 则
mnmnmmppkk111111
mnmnqq2211． (7)
由(7)的第一个等式知道α∈W1，由第二个等式知道α∈W2．于是α∈W1∩W2．因此α可由
m,,1线性表出，令
mmll11． (8) 由(7)的第二式以及(8)式得 mnmnmmqqll221111．
因为m,,1，mn2,1线性无关，所以 0211mnmqqll．
从而α=θ．再由(7)的第一式便得到 mnmnmmppkk111111．
因为m,,1，mn1,1，线性无关，所以 0111mnmppkk，
这证明了m,,1，mn1,1，，mn2,1线性无关． 推论6.5.1 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则 dim(W1+W2)= dimW1+dimW2=W1∩W2=0， 这里0表示V的零子空间． 下面举一个例子说明在Fn中如何具体求两个子空间的和与交的基及维数． 例1 设V=F4，W1=L(α1，α2，α3)，W2=L(β1，β2)，其中 α1=(1，2，1，0)，α2=(1，1，1，1)，α3=(0，3，2，1)，
β1=(2，1，0，1)，β2=(1，1，3，7)．
分别求W1与W2的和与交的基及维数． 解 因为 W1+W2= L(α1,α2,α3)+ L(β1,β2)= L(α1,α2,α3,β1,β2)， 所以向量组α1,α2,α3,β1,β2的一个极大线性无关组所含向量的个数是W1+W2的维数．按照第三章的方法，把α1,α2,α3,β1,β2写成列向量，构成矩阵A，对A作一系列初等行变换，化成阶梯形矩阵：
0000031000401101010171110302111131212011
A (9)
由此得出α1，α2，β1是W1+W2的一个基，故dim(W1+W2)=3．同时也知道，β2可经α1，α2，辽 东 学 院 教 案 纸 课程：高等代数 第6.5.4页 β1线性表示，其系数应当是线性方程组
x1α1+x2α2+x3β1=β2 的解，且从上述A及其化简得到的阶梯形矩阵的第1，2，4，5列可以看出，此方程组的解是(－1，4，3)．因而β2=－α1+4α2+3β1，故3β1－β2∈W1∩W2．又由维数公式易得 dim(W1∩W2)=2+2－3=1． 所以α1－4α2=(5，－2，－3，－4)是W1∩W2的一个基．
5.2 直和 考察推论6.5.1成立的情形，下面引入 定义1 设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间．若和W1+ W2中每个向量α都能唯一地表示为 α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2， (10)
则称W1+W2为直和，记作W1W2． 定理6.5.2 设W1，W2是数域F上向量空间V的子空间，则下列陈述彼此等价： 1)和W1+W2是直和； 2)和W1+W2中零向量的表法唯一，即若α1+α2＝θ，α1∈W1，α2∈W2，则α1=α2＝θ； 3)W1∩W2=0． 证 1) 2) 显然． 2) 3) 设α∈W1∩W2，则零向量可表为 =α+(－α)，α∈W1，－α∈W2．
故由2)得α=．因此W1∩W2=0． 3) 1) 任取α∈W1+W2，假设α有两种表法： α=α1+α2，α1∈W1，α2∈W2
α=β1+β2，β1∈W1，β2∈W2
则α1－β1=β2－α2∈W1∩W2．因为W1∩W2=0，所以α1=β1，α2=β2．因此，和W1+W2是直
和． 定理6.5.3 设W1，W2是数域F上向量空间V的两个有限维子空间，则下列陈述彼此等价： 1)和W1+W2是直和； 2)dim(W1+W2)=dimW1+dimW2； 3)W1的一个基与W2的一个基合并起来是W1+W2的一个基． 证 由定理6.5.2和推论6.5.1立即得到1) 2)． 3)2)是显然的．现在证2)3)：设s,,1是W1的一个基，r,,1是W2的一个基，则 W1+W2=L(s,,1)+L(r,,1)=L(s,,1,r,,1) 因为dim(W1+W2)=dimW1+dimW2=s+r，所以向量组s,,1，r,,1的秩等于s+r，从而是线性无关的，因此它是W1+W2的一个基． 推论6.5.2 设V是数域F上的有限维向量空间，U是V的一个子空间，则存在V的一个子空间W，使得