③ 设幺元为 e
x *e e* x x和e的最小公倍数 x ，则 e 1,即幺元为 1. ④ 对于所有的元素 x I ，都有 x* x x ,所以所有元素都是等幂的。
４．解:设 X n ① 设 f 是 X 上的二元运算，则 f 是一个从 X 2 X 的映射。 求 X 上有多少个二元运算即相当于求这样的映射的个数。 由于 X 2 n2 ，映射 f 的个数为 nn2 ,即 X 上有 nn2 个二元运算。 ② 可交换即 f x, y f y, x
2．
证明：任取 x, y N , x y ，由 x * y x, y * x y x 知, y * x x * y ,*运算不是
可交换的。
任 取 x, y, z N ， 由 (x * y) * z x * z x , x * ( y * z) x * y x 知 ，
(x * y) * z x * ( y * z) ，*运算是可结合的。 任取 x N ， x * x x ,可知 N 中的所有元素都是等幂的。 ＊运算有右么元,任取 x, y N ， x * y x ,知Ｎ中的所有元素都是右么元。
① a1 *a2 a1 a2
a2 *a1 a2 a1 a1 a2 a1 *a2
对于任意的 a1, a2 R 都有 a2 * a1 a1 * a2 ,故二元运算*是可交换的。
a1 * a2 * a3 a1 a2 * a3 a1 a2 a3
a1 *(a2 * a3) a1 *( a2 a3 ) a1 a2 a3
*运算没有左么元。
证明:采用反证法。假定 e 为*运算的左么元，取 b N,b e ,由*的运算公式知 e *b e ， 由么元的性质知, e *b b ,得 e b ,这与 b e 相矛盾,因此，*运算没有左么元。
3．解:
① 任取 x, y I, x y x * y x和y的最小公倍数 y * x y和x的最小公倍数 x和y的最小公倍数 因此对于任意的 x, y I, x y 都有 x * y y * x ，即二元运算*是可交换的。 ② 任取 x, y, z I , （x * y）* z (x和y的最小公倍数 )* z x, y, z的最小公倍数 x *（y * z) x *( y和z的最小公倍数 ) x, y, z的最小公倍数 因此对于任意的 x，y，z ,都有（x * y）* z x *（y * z) ,即二元运算*是可结合的。
g(g(x, y), z) (x* y)* z (x y xy) * z x y xy z (x y xy)z x y z xy xz yz xyz g(x, g( y, z))
因此,运算＊是可结合的。 该运算的么元是 0，0 的逆元是 0，2 的逆元是 2,其余元素没有逆元。
幺元为 2,3,４时同理， N4 4 49 C41 4(41)2 因此集合 X {1,2,3,4} 上有 N4 4 49 C41 4(41)2 个有单位元素的二元运算。 推广到 X 有 n 个元素时,具有单位元素的二元运算的个数为 Nn Cn1 n(n1)2 。
5.解：任取 a1, a2 , a3 R
1,4 , 4,1
2,3 , 3,2
1
2,4 , 4,2
2
3,4 , 4,3
3
1,4
A
此时映射 f 的个数 N4 464 4C42 4 推广到 X 有 n 个元素时,映射 f 的个数 Nn nCn2 n
③ 单位元素即幺元,若存在必唯一。
设集合 X {1,2,3,4} ,若幺元为 1，则有
② a1 * a2 a1 a2 / 2 a2 * a1 a2 a1/ 2 a1 a2 / 2 a1 * a2
对于任意的 a1, a2 R 都有 a2 * a1 a1 * a2 ，故二元运算*是可交换的。
a1 * a2 * a3
a1
a2 / 2* a3
a1
a2 2
2
a3
a1
a2 4
第六章 代数系统
6．1 第 1２9 页
１. 证明:
任取 x, y I , g( y, x) y * x y x yx x y xy g(x, y) ,因此,二元运算*
是可交换的；
任取 x, y, z I ，
g(x, g( y, z)) x*(y * z) x * ( y z yz) x y z yz x( y z yz) x y z xy xz yz xyz
1,1 1 1,2 , 2,1 2 1,3 , 3,1 3 1,4 , 4,1 4
此时的二元运算的个数相当于求映射 f : A X 的个数，其中：
A
2,2
3,3
4,4
X
2,3
1
3,2
2
2,4
3
4,2
4
3,4
4,3
映射 f : A X 的个数为 N 49 4(41)2
2a3
a1 *(a2 * a3) a1 *a2 a3 / 2
a1
a2
2
a3
2
2a1 a2 a3 4
a1 a2 2a3 4
故二元运算＊是不可结合的。
不存在这样 e 使得任意的 x R 都有 x *e (x e) / 2 x ,
设集合 X {1,2,3,4} ,要求 X 上可交换的二元运算的个数，即相当于求映射 f 的个
数, f : A X ,其中： A { 1,2 , 1,3 1,4 2,3 2,4 3,4 , 1,1 2,2 3,3 4,4 }
具体如下图所示:
1,2 , 2,1
1,3 , 3,2
若 a1 1, a2 3, a3 2
a1 * a2 * a3 6 , a1 * (a2 * a3 ) 0 ,此时 a1 * a2 * a3 a1 * (a2 * a3 )
故二元运算*是不可结合的。
不存在这样 e 使得任意的 x R 都有 x *e x e x ,
因此，二元运算＊不含幺元。