∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ABC＝90°， ∵CE＝CB， ∴∠CAE＝∠CAB， ∵∠BCD＝∠CAE， ∴∠CAB＝∠BCD， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠OCB+∠BCD＝90°， ∴∠OCD＝90°， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）∵∠BAC＝∠CAE，∠ACB＝∠ACF＝90°，AC＝AC， ∴△ABC≌△AFC（ASA）， ∴CB＝CF， 又∵CB＝CE，
∵BP⊥AM， ∴∠BPM＝∠ABM＝90°， ∵∠BAM+∠AMB＝90°，∠CBH+∠BMP＝90°， ∴∠BAM＝∠CBH， ∵CH∥AB， ∴∠HCB+∠ABC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠ABM＝∠BCH＝90°， ∵AB＝BC， ∴△ABM≌△BCH（ASA）， ∴BM＝CH， ∵CH∥BQ， ∴＝＝．
，AM＝m
，
∴PN＝BP＝
，
∵∠BPQ＝∠CPN，
∴tan∠BPQ＝tan∠CPN＝ ＝
＝．
5．（2019•十堰）如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，点 E 为 C 延长线 上一点，且∠CDE＝ ∠BAC． （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若 AB＝3BD，CE＝2，求⊙O 的半径．
∴OA2＝AD•BC， ∴（ AB）2＝AD•BC，
∴AB2＝4AD•BC； （2）解：连接 OD，OC，如图 2 所示： ∵∠ADE＝2∠OFC， ∴∠ADO＝∠OFC， ∵∠ADO＝∠BOC，∠BOC＝∠FOC， ∴∠OFC＝∠FOC， ∴CF＝OC， ∴CD 垂直平分 OF， ∴OD＝DF，
在△COD 和△CFD 中，
②解：如图 3 中，作 CH∥AB 交 BP 的延长线于 H，作 CN⊥BH 于 N．不妨设 BC＝2m，则 AB＝ 2mn．
则 BM＝CM＝m，CH＝ ，BH＝ ∵ •AM•BP＝ •AB•BM，
∴PB＝
，
∵ •BH•CN＝ •CH•BC，
∴CN＝
，
∵CN⊥BH，PM⊥BH， ∴MP∥CN，∵CM＝BM，
在 Rt△BDH 中，sin∠BDH＝ ＝ ＝ ，
∴∠BDH＝60°， 而 OB＝OD， ∴△OBD 为等边三角形， ∴∠BOD＝60°，OB＝BD＝6， ∴∠BOC＝120°， ∴优弧 的长＝
∴CE＝CF； （3）∵∠BCD＝∠CAD，∠ADC＝∠CDB，
ห้องสมุดไป่ตู้
∴△CBD∽△DCA，
∴
，
∴
，
∴DA＝2， ∴AB＝AD﹣BD＝2﹣1＝1，
设 BC＝a，AC＝ a，由勾股定理可得：
，
解得：a＝ ，
∴
．
7．（2019•宜昌）如图，点 O 是线段 AH 上一点，AH＝3，以点 O 为圆心，OA 的长为半径作⊙O， 过点 H 作 AH 的垂线交⊙O 于 C，N 两点，点 B 在线段 CN 的延长线上，连接 AB 交⊙O 于点 M， 以 AB，BC 为边作▱ ABCD． （1）求证：AD 是⊙O 的切线； （2）若 OH＝ AH，求四边形 AHCD 与⊙O 重叠部分的面积；
+；
在 Rt△ABH 中，AH＝3，BH＝ +1＝ ，则 AB＝ ，
在 Rt△ACH 中，AH＝3，CH＝NH＝1，得 AC＝ ， 在△BMN 和△BCA 中， ∠B＝∠B，∠BMN＝∠BCA， ∴△BMN∽△BCA，
∴ ＝ 即 ＝ ＝，
∴MN＝ ， ∴OH＝ ，MN＝ ．
8．（2019•十堰）如图 1，△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α，D 为△ABC 内一点，将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 α 得到△CBE，点 A，D 的对应点分别为点 B，E，且 A，D，E 三点在同一直 线上．
（3）若 NH＝ AH，BN＝ ，连接 MN，求 OH 和 MN 的长．
解：（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∵∠AHC＝90°， ∴∠HAD＝90°，即 OA⊥AD， 又∵OA 为半径， ∴AD 是⊙O 的切线； （2）解：如右图，连接 OC， ∵OH＝ OA，AH＝3，
解：（1）如图①，直线 m 即为所求 （2）如图②，直线 n 即为所求
2．（2019•武汉）已知 AB 是⊙O 的直径，AM 和 BN 是⊙O 的两条切线，DC 与⊙O 相切于点 E，分 别交 AM、BN 于 D、C 两点． （1）如图 1，求证：AB2＝4AD•BC； （2）如图 2，连接 OE 并延长交 AM 于点 F，连接 CF．若∠ADE＝2∠OFC，AD＝1，求图中阴影 部分的面积．
，
∴△COD≌△CFD（SSS）， ∴∠CDO＝∠CDF， ∵∠ODA+∠CDO+∠CDF＝180°， ∴∠ODA＝60°＝∠BOC， ∴∠BOE＝120°， 在 Rt△DAO，AD＝ OA，
Rt△BOC 中，BC＝ OB， ∴AD：BC＝1：3， ∵AD＝1， ∴BC＝3，OB＝ ，
∴图中阴影部分的面积＝2S△OBC﹣S 扇形 OBE＝2× × ×3﹣
∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝5 ， ∴∠CAB＝∠ABC＝45°，AB＝10 ∵∠ACB＝90°＝∠AGB ∴点 C，点 G，点 B，点 A 四点共圆 ∴∠AGC＝∠ABC＝45°，且 CE⊥AG ∴∠AGC＝∠ECG＝45° ∴CE＝GE
∵AB＝10，GB＝6，∠AGB＝90°
∴AG＝
＝8
∵AC2＝AE2+CE2， ∴（5 ）2＝（8﹣CE）2+CE2， ∴CE＝7（不合题意舍去），CE＝1 若点 G 在 AB 的下方，过点 C 作 CF⊥AG， 同理可得：CF＝7 ∴点 C 到 AG 的距离为 1 或 7． 9．（2019•襄阳）如图，点 E 是△ABC 的内心，AE 的延长线和△ABC 的外接圆⊙O 相交于点 D，过 D 作直线 DG∥BC． （1）求证：DG 是⊙O 的切线；
（1）证明：如图 1 中，延长 AM 交 CN 于点 H．
∵AM⊥CN， ∴∠AHC＝90°， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAM+∠AMB＝90°，∠BCN+∠CMH＝90°， ∵∠AMB＝∠CMH， ∴∠BAM＝∠BCN， ∵BA＝BC，∠ABM＝∠CBN＝90°， ∴△ABM≌△CBN（ASA）， ∴BM＝BN． （2）①证明：如图 2 中，作 CH∥AB 交 BP 的延长线于 H．
∴DE 是⊙O 的切线； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD， ∵AB＝3BD， ∴AC＝3DC，
设 DC＝x，则 AC＝3x，
∴AD＝
＝2 x，
∵∠CDE＝∠CAD，∠DEC＝∠AED，
∴△CDE∽△DAE，
∴
＝ ，即 ＝
＝
∴DE＝4 ，x＝ ， ∴AC＝3x＝14， ∴⊙O 的半径为 7．
＝3 ﹣π．
3．（2019•天门）如图，E，F 分别是正方形 ABCD 的边 CB，DC 延长线上的点，且 BE＝CF，过点 E 作 EG∥BF，交正方形外角的平分线 CG 于点 G，连接 GF．求证： （1）AE⊥BF； （2）四边形 BEGF 是平行四边形．
证明：（1）∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB＝BC，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∴∠ABE＝∠BCF＝90°，
（1）证明：连接 OC、OD，如图 1 所示： ∵AM 和 BN 是它的两条切线， ∴AM⊥AB，BN⊥AB， ∴AM∥BN， ∴∠ADE+∠BCE＝180° ∵DC 切⊙O 于 E， ∴∠ODE＝ ∠ADE，∠OCE＝ ∠BCE，
∴∠ODE+∠OCE＝90°， ∴∠DOC＝90°， ∴∠AOD+∠COB＝90°， ∵∠AOD+∠ADO＝90°， ∴∠AOD＝∠OCB， ∵∠OAD＝∠OBC＝90°， ∴△AOD∽△BCO， ∴＝，
2019 年全国各地中考数学压轴题汇编（湖北专版） 几何综合
参考答案与试题解析
一．解答题（共 22 小题） 1．（2019•天门）请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹．
（1）如图①，四边形 ABCD 中，AB＝AD，∠B＝∠D，画出四边形 ABCD 的对称轴 m； （2）如图②，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠A＝∠D，画出 BC 边的垂直平分线 n．
解：（1）∵将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 α 得到△CBE ∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝α ∴CD＝CE ∴∠CDE＝ 故答案为： （2）AE＝BE+ CF 理由如下：如图，
∵将△CAD 绕点 C 按逆时针方向旋转角 60°得到△CBE ∴△ACD≌△BCE ∴AD＝BE，CD＝CE，∠DCE＝60° ∴△CDE 是等边三角形，且 CF⊥DE ∴DF＝EF＝ ∵AE＝AD+DF+EF ∴AE＝BE+ CF （3）如图，当点 G 在 AB 上方时，过点 C 作 CE⊥AG 于点 E，
在△ABE 和△BCF 中，
，
∴△ABE≌△BCF（SAS）， ∴AE＝BF，∠BAE＝∠CBF， ∵EG∥BF， ∴∠CBF＝∠CEG， ∵∠BAE+∠BEA＝90°， ∴∠CEG+∠BEA＝90°， ∴AE⊥EG， ∴AE⊥BF； （2）延长 AB 至点 P，使 BP＝BE，连接 EP，如图所示： 则 AP＝CE，∠EBP＝90°， ∴∠P＝45°， ∵CG 为正方形 ABCD 外角的平分线， ∴∠ECG＝45°， ∴∠P＝∠ECG， 由（1）得∠BAE＝∠CEG，
6．（2019•黄石）如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 在 AB 的延长线上，C、E 是⊙O 上的两点，CE＝ CB，∠BCD＝∠CAE，延长 AE 交 BC 的延长线于点 F． （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）求证：CE＝CF； （3）若 BD＝1，CD＝ ，求弦 AC 的长．