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】2019年各省市中考数学压轴题合辑（五）1．（2019•长沙）如图，抛物线26(y ax ax a =+为常数，0)a >与x 轴交于O ，A 两点，点B 为抛物线的顶点，点D 的坐标为(t ，0)(30)t -<<，连接BD 并延长与过O ，A ，B 三点的P e 相交于点C ． （1）求点A 的坐标；（2）过点C 作P e 的切线CE 交x 轴于点E ． ①如图1，求证：CE DE =；②如图2，连接AC ，BE ，BO ，当3a =，CAE OBE ∠=∠时，求11OD OE-的值．2．（2019•长沙）已知抛物线22(2)(2020)(y x b x c b =-+-+-，c 为常数）． （1）若抛物线的顶点坐标为(1,1)，求b ，c 的值；（2）若抛物线上始终存在不重合的两点关于原点对称，求c 的取值范围； （3）在（1）的条件下，存在正实数m ，n （m ＜n ），当m ≤x ≤n 时，恰好≤≤，求m ，n 的值．3．（2019•长沙）根据相似多边形的定义，我们把四个角分别相等，四条边成比例的两个凸四边形叫做相似四边形．相似四边形对应边的比叫做相似比．（1）某同学在探究相似四边形的判定时，得到如下三个命题，请判断它们是否正确（直接在横线上填写“真”或“假”)．①四条边成比例的两个凸四边形相似；(命题）②三个角分别相等的两个凸四边形相似；(命题）③两个大小不同的正方形相似．(命题）（2）如图1，在四边形ABCD和四边形1111A B C D中，111ABC A B C∠=∠，111BCD B C D∠=∠，111111AB BC CDA B B C C D==．求证：四边形ABCD与四边形1111A B C D相似．（3）如图2，四边形ABCD中，//AB CD，AC与BD相交于点O，过点O作//EF AB分别交AD，BC于点E，F．记四边形ABFE的面积为1S，四边形EFCD的面积为2S，若四边形ABFE与四边形EFCD相似，求21SS的值．4．（2019•株洲）已知二次函数2(0)y ax bx c a =++> （1）若1a =，2b =-，1c =- ①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数2(0)y px qx r p =++≠，满足方程y x =的x 的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数2y ax bx c =++有两个不同的“不动点”． （2）设312b c =，如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别相交于不同的两点1(A x ，0)，2(B x ，0)，其中10x <，20x >，与y 轴相交于点C ，连结BC ，点D 在y 轴的正半轴上，且OC OD =，又点E 的坐标为(1,0)，过点D 作垂直于y 轴的直线与直线CE 相交于点F ，满足AFC ABC ∠=∠．FA 的延长线与BC 的延长线相交于点P ，若2551PC PA a =+，求二次函数的表达式．5．（2019•株洲）四边形ABCD 是O e 的圆内接四边形，线段AB 是O e 的直径，连结AC 、BD ．点H 是线段BD 上的一点，连结AH 、CH ，且ACH CBD ∠=∠，AD CH =，BA 的延长线与CD 的延长线相交与点P ．（1）求证：四边形ADCH 是平行四边形；（2）若AC BC =，5PB PD =，2(51)AB CD +=+ ①求证：DHC ∆为等腰直角三角形； ②求CH 的长度．6．（2019•株洲）如图所示，在平面直角坐标系Oxy 中，等腰OAB ∆的边OB 与反比例函数(0)my m x=>的图象相交于点C ，其中OB AB =，点A 在x 轴的正半轴上，点B 的坐标为(2,4)，过点C 作CH x ⊥轴于点H ． （1）已知一次函数的图象过点O ，B ，求该一次函数的表达式；（2）若点P 是线段AB 上的一点，满足3OC AP =，过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连结OP ，记OPQ ∆的面积为OPQ S ∆，设AQ t =，2OPQ T OH S ∆=- ①用t 表示T （不需要写出t 的取值范围）； ②当T 取最小值时，求m 的值．7．（2019•湘潭）如图一，抛物线2y ax bx c =++过(1A -，0)(3.0)B 、(0,3)C 三点 （1）求该抛物线的解析式；（2）1(P x ，1)y 、2(4,)Q y 两点均在该抛物线上，若12y y …，求P 点横坐标1x 的取值范围； （3）如图二，过点C 作x 轴的平行线交抛物线于点E ，该抛物线的对称轴与x 轴交于点D ，连结CD 、CB ，点F 为线段CB 的中点，点M 、N 分别为直线CD 和CE 上的动点，求FMN ∆周长的最小值．8．（2019•湘潭）如图一，在射线DE的一侧以AD为一条边作矩形ABCD，53AD=，CD=，点M是线段AC上一动点（不与点A重合），连结BM，过点M作BM的垂线交5射线DE于点N，连接BN．（1）求CAD∠的大小；（2）问题探究：动点M在运动的过程中，①是否能使AMN∆为等腰三角形，如果能，求出线段MC的长度；如果不能，请说明理由．②MBN∠的大小；若改变，请说明理由．∠的大小是否改变？若不改变，请求出MBN（3）问题解决：如图二，当动点M运动到AC的中点时，AM与BN的交点为F，MN的中点为H，求线段FH的长度．9．（2019•衡阳）如图，二次函数2y x bx c =++的图象与x 轴交于点(1,0)A -和点(3,0)B ，与y 轴交于点N ，以AB 为边在x 轴上方作正方形ABCD ，点P 是x 轴上一动点，连接CP ，过点P 作CP 的垂线与y 轴交于点E ．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P 在线段OB （点P 不与O 、B 重合）上运动至何处时，线段OE 的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M ，连接MN 、MB ．请问：MBN ∆的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M 的坐标；若不存在，请说明理由．10．（2019•衡阳）如图，在等边ABC=，动点P从点A出发以1/cm s的速度AB cm∆中，6沿AB匀速运动．动点Q同时从点C出发以同样的速度沿BC的延长线方向匀速运动，当点P到达点B时，点P、Q同时停止运动．设运动时间为()t s．过点P作PE AC⊥于E，连接PQ交AC边于D．以CQ、CE为边作平行四边形CQFE．（1）当t为何值时，BPQ∆为直角三角形；（2）是否存在某一时刻t，使点F在ABC∠的平分线上？若存在，求出t的值，若不存在，请说明理由；（3）求DE的长；（4）取线段BC的中点M，连接PM，将BPM'，连接AB'，∆沿直线PM翻折，得△B PM当t为何值时，AB'的值最小？并求出最小值．11．（2019•邵阳）如图1，已知Oe外一点P向Oe作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交Oe于点B，连接AO并延长交Oe于点C，过点C作CD PB⊥，分别交PB于点E，交Oe于点D，连接AD．（1）求证：~APO DCA∆∆；（2）如图2，当AD AO=时①求P∠的度数；②连接AB，在Oe上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出PQ CQ的值；若不存在，请说明理由．12．（2019•邵阳）如图，二次函数213y x bx c =-++的图象过原点，与x 轴的另一个交点为(8,0)（1）求该二次函数的解析式；（2）在x 轴上方作x 轴的平行线1y m =，交二次函数图象于A 、B 两点，过A 、B 两点分别作x 轴的垂线，垂足分别为点D 、点C ．当矩形ABCD 为正方形时，求m 的值；（3）在（2）的条件下，动点P 从点A 出发沿射线AB 以每秒1个单位长度匀速运动，同时动点Q 以相同的速度从点A 出发沿线段AD 匀速运动，到达点D 时立即原速返回，当动点Q 返回到点A 时，P 、Q 两点同时停止运动，设运动时间为t 秒(0)t >．过点P 向x 轴作垂线，交抛物线于点E ，交直线AC 于点F ，问：以A 、E 、F 、Q 四点为顶点构成的四边形能否是平行四边形．若能，请求出t 的值；若不能，请说明理由．13．（2019•岳阳）操作体验：如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、BC上，将矩形ABCD沿直线EF折叠，使点D恰好与点B重合，点C落在点C'处．点P为直线EF上一动点（不与E、F重合），过点P分别作直线BE、BF的垂线，垂足分别为点M和N，以PM、PN为邻边构造平行四边形PMQN．（1）如图1，求证：BE BF=；（2）特例感知：如图2，若5CF=，当点P在线段EF上运动时，求平行四边形DE=，2PMQN的周长；（3）类比探究：若DE a=．=，CF b①如图3，当点P在线段EF的延长线上运动时，试用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系，并证明；②如图4，当点P在线段FE的延长线上运动时，请直接用含a、b的式子表示QM与QN之间的数量关系．（不要求写证明过程）14．（2019•岳阳）如图1，AOB ∆的三个顶点A 、O 、B 分别落在抛物线2117:33F y x x =+的图象上，点A 的横坐标为4-，点B 的纵坐标为2-．（点A 在点B 的左侧） （1）求点A 、B 的坐标；（2）将AOB ∆绕点O 逆时针旋转90︒得到△A OB ''，抛物线22:4F y ax bx =++经过A '、B '两点，已知点M 为抛物线2F 的对称轴上一定点，且点A '恰好在以OM 为直径的圆上，连接OM 、A M '，求△OA M '的面积；（3）如图2，延长OB '交抛物线2F 于点C ，连接A C '，在坐标轴上是否存在点D ，使得以A 、O 、D 为顶点的三角形与△OA C '相似．若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．15．（2019•常德）在等腰三角形ABC⊥交AB于点M，BN AC⊥=，作CM AB∆中，AB AC交AC于点N．（1）在图1中，求证：BMC CNB∆≅∆；（2）在图2中的线段CB上取一动点P，过P作//PF AC交BNPE AB交CM于点E，作//于点F，求证：PE PF BM+=；（3）在图3中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作//PE AB交CM的延长线于点E，作//g g g．+=PF AC交NB的延长线于点F，求证：AM PF OM BN AM PE16．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为(1,4)A，与坐标轴交于B、C、D 三点，且B点的坐标为(1,0)-．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使PNC∆的面积是矩形MNHG面积的916？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．17．（2019•张家界）已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠过点(1,0)A ，(3,0)B 两点，与y 轴交于点C ，3OC =．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）过点A 作AM BC ⊥，垂足为M ，求证：四边形ADBM 为正方形；（3）点P 为抛物线在直线BC 下方图形上的一动点，当PBC ∆面积最大时，求点P 的坐标； （4）若点Q 为线段OC 上的一动点，问：12AQ QC +是否存在最小值？若存在，求岀这个最小值；若不存在，请说明理由．18．（2019•郴州）如图1，矩形ABCD 中，点E 为AB 边上的动点（不与A ，B 重合），把ADE ∆沿DE 翻折，点A 的对应点为1A ，延长1EA 交直线DC 于点F ，再把BEF ∠折叠，使点B 的对应点1B 落在EF 上，折痕EH 交直线BC 于点H ． （1）求证：△1A DE ∽△1B EH ；（2）如图2，直线MN 是矩形ABCD 的对称轴，若点1A 恰好落在直线MN 上，试判断DEF ∆的形状，并说明理由； （3）如图3，在（2）的条件下，点G 为DEF ∆内一点，且150DGF ∠=︒，试探究DG ，EG ，FG 的数量关系．19．（2019•郴州）已知抛物线23y ax bx =++与x 轴分别交于(3,0)A -，(1,0)B 两点，与y 轴交于点C ．（1）求抛物线的表达式及顶点D 的坐标； （2）点F 是线段AD 上一个动点．①如图1，设AF k AD =，当k 为何值时，12CF AD =？ ②如图2，以A ，F ，O 为顶点的三角形是否与ABC ∆相似？若相似，求出点F 的坐标；若不相似，请说明理由．20．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt AOB ∆，O 为坐标原点，1OB =，tan 3ABO ∠=，将此三角形绕原点O 顺时针旋转90︒，得到Rt COD ∆，二次函数2y x bx c =-++的图象刚好经过A ，B ，C 三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P 的坐标；（2）过定点Q 的直线:3l y kx k =-+与二次函数图象相交于M ，N 两点． ①若2PMN S ∆=，求k 的值；②证明：无论k 为何值，PMN ∆恒为直角三角形；③当直线l 绕着定点Q 旋转时，PMN ∆外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．21．（2019•怀化）如图，A 、B 、C 、D 、E 是O e 上的5等分点，连接AC 、CE 、EB 、BD 、DA ，得到一个五角星图形和五边形MNFGH ． （1）计算CAD ∠的度数；（2）连接AE ，证明：AE ME =； （3）求证：2ME BM BE =g ．22．（2019•娄底）如图，点E、F、G、H分别在矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA（不包括端点）上运动，且满足AE＝CG，AH＝CF．（1）求证：△AEH≌△CGF；（2）试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．（3）请探究四边形EFGH的周长一半与矩形ABCD一条对角线长的大小关系，并说明理由．23．（2019•娄底）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣1，0），点B（3，0），与y轴交于点C，且过点D（2，﹣3）．点P、Q是抛物线y＝ax2+bx+c上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P在直线OD下方时，求△POD面积的最大值．（3）直线OQ与线段BC相交于点E，当△OBE与△ABC相似时，求点Q的坐标．24．（2019•永州）（1）如图1，在平行四边形ABCD中，∠A＝30°，AB＝6，AD＝8，将平行四边形ABCD分割成两部分，然后拼成一个矩形，请画出拼成的矩形，并说明矩形的长和宽．（保留分割线的痕迹）（2）若将一边长为1的正方形按如图2－1所示剪开，恰好能拼成如图2－2所示的矩形，则m的值是多少？（3）四边形ABCD是一个长为7，宽为5的矩形（面积为35），若把它按如图3－1所示的方式剪开，分成四部分，重新拼成如图3－2所示的图形，得到一个长为9，宽为4的矩形（面积为36）．问：重新拼成的图形的面积为什么会增加？请说明理由．25．（2019湘西州）如图，抛物线y＝ax2＋bx（a＞0）过点E（8，0），矩形ABCD的边AB 在线段OE上（点A在点B的左侧），点C、D在抛物线上，∠BAD的平分线AM交BC 于点M，点N是CD的中点，已知OA＝2，且OA：AD＝1：3．（1）求抛物线的解析式；（2）F、G分别为x轴，y轴上的动点，顺次连接M、N、G、F构成四边形MNGF，求四边形MNGF周长的最小值；（3）在x轴下方且在抛物线上是否存在点P，使△ODP中OD边上的高为？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（4）矩形ABCD不动，将抛物线向右平移，当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点K、L，且直线KL平分矩形的面积时，求抛物线平移的距离．26．（2019•益阳）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的边4AB=，6BC=．若不改变矩形ABCD的形状和大小，当矩形顶点A在x轴的正半轴上左右移动时，矩形的另一个顶点D始终在y轴的正半轴上随之上下移动．（1）当30OAD∠=︒时，求点C的坐标；（2）设AD的中点为M，连接OM、MC，当四边形OMCD的面积为212时，求OA的长；（3）当点A移动到某一位置时，点C到点O的距离有最大值，请直接写出最大值，并求此时cos OAD∠的值．27．（2019•益阳）在平面直角坐标系xOy 中，顶点为A 的抛物线与x 轴交于B 、C 两点，与y 轴交于点D ，已知(1,4)A ，(3,0)B ．（1）求抛物线对应的二次函数表达式；（2）探究：如图1，连接OA ，作//DE OA 交BA 的延长线于点E ，连接OE 交AD 于点F ，M 是BE 的中点，则OM 是否将四边形OBAD 分成面积相等的两部分？请说明理由；（3）应用：如图2，(,)P m n 是抛物线在第四象限的图象上的点，且1m n +=-，连接PA 、PC ，在线段PC 上确定一点N ，使AN 平分四边形ADCP 的面积，求点N 的坐标．提示：若点A 、B 的坐标分别为1(x ，1)y 、2(x ，2)y ，则线段AB 的中点坐标为12(2x x+，12)2y y +．。