见微知著，闻弦歌而知雅意 2019-2020 届备考
青霄有路终须到，金榜无名誓不还！ 2019-2020 年备考 类比、拓展探究题 17 年）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠A=90°，AB=AC， 点 D，E 分别在边 AB，AC 上，AD=AE，连接 DC，点 M， P，N 分别为 DE，DC，BC 的中点． （1）观察猜想 图 1 中，线段 PM 与 PN 的数量关系是 PM=PN ，位置关系是 （2）探究证明 把△ADE 绕点 A 逆时针方向旋转到图 2 的位 置，连接 MN，BD，CE，判断△PMN 的形状，并说明 理由； （3）拓展延伸 把△ ADE 绕点 A 在平面内自由旋转，若 AD=4，AB=10，请直接写出△PMN 面积的最大值． PM⊥PN ；
BD
14 年） （1）问题发现 如图 1，△ACB 和△DCE 均为等边三角形，点 A、D、 E 在同一直线上，连接 BE 填空： （1）∠AEB 的度数为 （2） 线段 BE 之间的数量关系是 ； 。
【分析】（1）利用三角形的中位线得出 PM= CE， PN= BD，进而判断出 BD=CE，即可得出结论，另为 利用三角形的中位线得出平行线即可得出结论； （2）先判断出△ABD≌△ACE，得出 BD=CE，同（1） 的方法得出 PM= BD，PN= BD，即可得出 PM=PN，同 （1）的方法即可得出结论； （3）先判断出 MN 最大时，△PMN 的面积最大，进而 求出 AN，AM，即可得出 MN 最大=AM+AN，最后用面积 公式即可得出结论． 【解答】解：（1）∵点 P，N 是 BC，CD 的中点， ∴PN∥BD，PN= BD， ∵点 P，M 是 CD，DE 的中点， ∴PM∥CE，PM= CE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴BD=CE， ∴PM=PN， ∵PN∥BD， ∴∠DPN=∠ADC， ∵PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCA， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC+∠ACD=90°，
当△EDC 旋转至 A，D，E 三点共线时，直接写出 线段 BD 的长．
(3)4 5或 10 分
12 5 …………………………………… 5
【提示】当△EDC 在 BC 上方，且 A,D,E 三点共 线时， 四边形 ABCD 为矩形， ∴BD＝AC＝ 4 5 ;当△EDC 在 BC 下方，且 A，E，D 三点共线时，△ADC 为直角 22．(1)① ②
5 ;………………1 分 2
三角形，由勾股定理可求得 AD＝8，∴AE＝6，根据
AE 5 12 5 . 可求得 BD＝ BD 2 5
考点：三角形综合题.
5 .……2 分 2
（2）无变化． （注：若无判断，但后续证明正 确，不扣分）…………………．3 分 在图 1 中,∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE//AB．∴ 15 年）如图 1，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，BC＝2AB ＝8，点 D，E 分别是边 BC，AC 的中点，连接 DE．将 △EDC 绕点 C 按顺时针方向旋转，记旋转角为α （1）问题发现 ①当α ＝0°时， 180°时， AE
∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCA+∠ADC=90°， ∴PM⊥PN， 故答案为：PM=PN，PM⊥PN，
（2）由旋转知，∠BAD=∠CAE， ∵AB=AC，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）， ∴∠ABD=∠ACE，BD=CE， 同（1）的方法，利用三角形的中位线得，PN= BD， PM= CE， ∴PM=PN， ∴△PMN 是等腰三角形， 同（1）的方法得，PM∥CE， ∴∠DPM=∠DCE， 同（1）的方法得，PN∥BD， ∴∠PNC=∠DBC， ∵∠DPN=∠DCB+∠PNC=∠DCB+∠DBC， ∴∠MPN=∠DPM+∠DPN=∠DCE+∠DCB+∠DBC =∠BCE+∠DBC=∠ACB+∠ACE+∠DBC =∠ACB+∠ABD+∠DBC=∠ACB+∠ABC， ∵∠BAC=90°， ∴∠ACB+∠ABC=90°，
2
在 Rt△ABC 中，AB=AC=10，AN=5 =7 ，
2
连接 CD，BE. 知，当点 N 在 BA 的延长线上时，NB 有最大值（如备 ）=
2
∴S△PMN 最大= PM =ห้องสมุดไป่ตู้× MN = ×（7
．
①请找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； 用图） 。易得△APN 是等腰直角三角形，AP=2， ②直接写出线段 BE 长的最大值. ∴AN= 2 2 ，∴AM=NB=AB+AN=3+ 2 2 ;过点 P 作 PE⊥x （3）拓展 轴于点 E，PE=AE= 2 ,又 A（2，0）∴ P（2- 2 ， 2 ） 如图 3， 在平面直角坐标系中， 点 A 的坐标为 （2 , 0） ， 点 B 的坐标为（5 , 0） ，点 P 为线段 AB 外一动点， 且 PA=2，PM=PB，∠BPM=90°.请 直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐标.
∴∠MPN=90°， ∴△PMN 是等腰直角三角形， 16 年） （1）发现 （3）如图 2，同（2）的方法得，△PMN 是等腰直角 三角形， ∴MN 最大时，△PMN 的面积最大， ∴DE∥BC 且 DE 在顶点 A 上面， ∴MN 最大=AM+AN， 连接 AM，AN， 在△ADE 中，AD=AE=4，∠DAE=90°， ∴AM=2 ， ， 如图 1，点 A 为线段 BC 外一动点， 且 BC= a ，AB= b . 填空：当点 A 位于__________________时， 【答案】 （1）CB 的延长线上，a+b； （2）①DC=BE, 线段 AC 的长取得最大值， 且最大值为_____________. 理由见解析；②BE 的最大值是 4.（3）AM 的最大值 （用含 a ， b 的式子表示） 是 3+2 2 ，点 P 的坐标为（2- 2 ， 2 ）. （2）应用 点 A 为线段 BC 外一动点，且 BC=3，AB=1. 如图 2 所示，分别以 AB，AC 为边， 作等边三角形 ABD 和等边三角形 ACE， （ 3）如图 3，构造△BNP≌△MAP,则 NB=AM,由（1） ∴MN 最大=2 +5