Bn
例
设
A
=
⎛1
⎜⎜⎝
2 3
⎞ ⎟⎟⎠
,B
=
⎛⎜⎝1
1 2
C 1
3
⎞ ⎟⎠
,
C
=
AB
求：
n
又如
⎡0 1 1 1⎤
A
=
⎢⎢1 ⎢0
0 1
0 0
0⎥⎥ 0⎥
,
⎢⎣1 0 1 0⎥⎦
⎡2 1 1 0⎤
1
4
A2 = ⎢⎢0 1 1 1⎥⎥ .
⎢1 0 0 0⎥
2
3
⎢⎣0 2 1 1⎥⎦
则 A2 表示从 i 市经一次中转到 j 市的单向航线的条数
第一章：矩阵
1. 矩阵的概念 2. 矩阵的运算 3. 方阵的行列式及其性质 4. 初等变换与矩阵的秩 5. 初等矩阵与逆矩阵 6. 分块矩阵
第一章
1
矩阵的概念－－实际问题的表示
• 例1：四个城市A, B, C, D之间的航线如图
所示： A
B
C
D
通常可以用一个数表来表示上述航线情况：
进
港
A
B
C
D
A0 1 1 1
C = A B m×n
m×s s×n
如果 m＝1，n＝1时
AB= BA=
(a1, a2 ,
⎛b1 ⎞
⎜⎜b2
⎟ ⎟
(a1,
⎜⎝bs ⎟⎠
, a2 ,
as
)⎜⎜⎛bb12
⎜⎝bs
, as
⎞ ⎟ ⎟ ⎟⎠
)
s
∑ = aibi i =1
一个数， 一般不写为矩阵
=(cij )s×s S阶方阵
=biaj
几个例题
它们统称为梯形阵
⎛ 1 0 0 0 0⎞
⎜ ⎜
−9
6
0
0
0
⎟ ⎟
⎜ 1 2 3 0 0⎟
⎜ ⎝
5
2
3
3
0
⎟ ⎠
⎜⎛1 2 3 4 5⎟⎞ ⎜0 0 7 8 0⎟ ⎜⎝0 0 0 0 0⎟⎠
上阶梯阵
下阶梯矩阵
⎜⎛ 0 0 0 0⎟⎞ ⎜1 0 0 0⎟ ⎜⎝ 2 2 0 0⎟⎠
⎜⎛ 5 7 0 12 3⎟⎞
A0 = E Ak+l = Ak Al
( AB)k ≠ Ak B k
问题
( AB)k
=
Ak Bk 成立的
条件?
如果 AB=BA 那么有关的因式分解成立 AB=BA
( A + B)2 = A2 + 2 AB + B2
( A + B)n = An + Cn1 An−1B +
C n−1 n
AB n −1
+
k = 1 A k = −1 − A 1A = A oA=O
k(lA) = (kl) A,(k + l) A = kA + lA,
k( A + B) = kA + kB
结论：矩阵与数的线性结构相似
矩阵的乘法
{y 1 y2
=a x +a x
11 1
12 2
=a x +a x
21
A
1
=
⎜⎜⎝⎛
a22 11
2.对角阵
Λ
=
⎛ ⎜ ⎜⎝
a11
记： Λ = diag{a11, a22 ,
, ann}
0⎞ 0 ⎟⎟⎠
⎞ ⎟ ann ⎟⎠
3.数量阵
⎛k A = ⎜⎜⎝
记： A = diag{k , k ,
⎞ k ⎟⎟⎠ , k}
4.单位阵
⎛1
⎞
En = ⎜⎜⎝
1⎟⎟⎠
记： En = diag{1,1, ,1}
⎧
ax 11 1
+a x 12 2
+
⎪⎪ ⎨
ax 21 1
+
ax 22 2
+
⎪
⎪⎩a
m1
x 1
+
ax m2 2
+
+a x =b
1n n
1
+a x =b
2n n
2
+a x =b
mn n
m
系数排成一个矩形数表
⎜⎛ a11 a12 ⎜ a21 a22 ⎜ ⎜⎜⎝ am1 am2
a1n ⎟⎞
这就是 矩阵
a2n ⎟
构成的矩阵.
可换矩阵
设 A、B 均为n阶方阵，若 AB = BA ，则称是可换的.
例设
A
=
⎡1 ⎢⎣1
2⎤ −1⎥⎦
,
B
=
⎡a ⎢⎣ 3
b⎤ 2⎥⎦ .
若矩阵 A与 B 可交换，求 a ,b 的值 . 解 由于 AB = BA ，即
⎡1 ⎢⎣1
2 ⎤ ⎡a −1⎥⎦ ⎢⎣3
b⎤ 2⎥⎦
=
⎡a ⎢⎣ 3
( a 21 b11
+a b 12 22
+ a22b21
+ a b )t 13 32 2
+ a b23 31 )t1
+
⎪⎪⎩
(a b21 12 + a b 22 22 + a23b32 )t2
B= ⎜⎛ b11 ⎜ b21 ⎜⎝ b31
b12 ⎟⎞ b22 ⎟ b32 ⎟⎠
⎜⎜⎝⎛
a 11
a 21
时,称矩阵为方阵。
⎜⎜⎝ an1
a n2
主对角线
a1n ⎟⎞
a 2n
⎟
⎟
a nn
⎟⎟⎠
矩阵的应用—方便表示
1. 坐标变换－－线性函数 例 1 在平面上建立直角坐标系. (1)将平面上每个点P绕原点 向逆时针方向旋转角α到点P'. 写出点P的坐标(x,y)与点P'的 坐标(x',y')之间的函数关系式.
a 12
a 22
a 13
a 23
⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛
b11 b21 b31
⎜⎜⎝⎛
ab 11 11
ab 21 11
+ +
ab 12 21
ab 22 21
+ +
ab 13 31
ab 23 31
b12 ⎟⎞
b22 ⎟ b32 ⎟⎠
=
C
= (cij ) =
ab 11 12
ab 21 12
+ +
ab 12 22
a 21
2
+a
13
+
a
a23
12
a 22
xx3aa3 与1233 ⎟⎟⎠⎞⎪⎩⎪⎨⎧
x1 x2 x3
= = =
b11t1 b21t1 b31t1
+ b12t2 + b22t2 + b32t2
⎧ ⎪
y 1
=
(a b 11 11
+a b 12 21
+
a b )t 13 31 1
+
⎪⎪ ⎨ ⎪
y2
=
(a b 11 12
ab 22 22
+ +
ab 13 32
ab 23 32
⎟⎟⎠⎞
引入求和记号 ∑
n
∑ xi = x1 + x2 +
i =1
+ xn
mn
nm
∑ ∑ aij = ∑ ∑ aij
i=1 j=1
j=1 i=1
n
= ∑xj j =1
双重求和号 连写
可以交换顺序
则
3
∑ cij = aikbkj (i, j = 1, 2) k =1
• 解 设原点O到P的距离|OP|=r, 由射线OX(即x
轴正方向) 到OP所成的角
则
|OP'|=|OP|=r, x=rcosθ, y=rsinθ.
• x'=rcos(θ+α)
•
=rcosθcosα-rsinθsinα
•
=xcosα-ysinα
• y'=rsin(θ+α)
•
=rcosθsinα+rsinθcosα
一般地，有
A = (aij )m×s
B
=
(b ij
) s×n
C = AB = (cij )m×n
⎜⎛b1j ⎟⎞
cij = (ai1 ai2
ais )
⎜b2j ⎟ ⎜⎟
⎜⎜⎝ bsj ⎟⎟⎠
∑ c = a b + a b + + a b ij
i1 1 j
i2 2 j
s
is sj = aikbkj
k =1
若 f (x) = am xm + am−1xm−1 + a1x + a0 为 x的多项式
则 f ( A) = am Am + am−1Am−1 + a1A + a0En 为A的多项式
如果 g( A) = bs As + bs−1As−1 + b1A + b0En
显然 f ( A)g( A) = g( A) f ( A) ？
−A= −a ij m×n
显然 A+B=B+A (A+B)+C=A+(B+C)
A+O=O+A=A A+(-A)=(-A)+A=O
3.数乘运算
⎜⎛
ka 11