练习题：
1：计算10
1n 1
1
2.设A
[1,2,3]B,
2
，求
- 1
AB,BA.(ABn),(BA)n, An, Bn.
3 .求 x 和 y,使 2 3 4 1 x y 1 8 0 .
例4
设A0
1
10求Ak.
0 0
1 0 1 0
解
A2 0 10 1
0 0 0 0
42,B12
13,C17
1 2
ABAC150 150,而A0,BC.
例3 计算下列乘积：
1
2 2
1
2
3
解:
2
1
2
1
331
212
21 22 2 21 22 2 31 32 3 2 3
4 4 . 6
2 b1b2b3aa1211
a12 a22
a13b1 a23b2
a31 a32 a33b3
k个
m,k为正整 数
注意:(1) 矩阵不满足交换律，即： AB B,AAkB A kB k.
例 设 A 1 1 B 1 1 1 1 1 1
则 AB 0 0, BA 2 2 ,
0 0
2 2
故AB B.A
但也有例外，比如设
A 2 0, 0 2
B 1 1, 1 1
则有 AB 2 2, 2 2
nn1 n
nn2n1n 1n20
1
0 1,
0 0
n 0 0
n1
0
0
n1n
n1
0
n1nn1
2
n1n
,
n1
所以对于任意的 k都有
k
Ak
0
0
kk1 k
0
kk 1k2
2
kk1
.
k
四、矩阵的其它运算
１、转置矩阵
定义 把矩阵A的行换成同序数的列得到的 新矩阵，叫做 A的转置矩阵，记作 A .
am2 bm2
a1nb1n a2nb2n amnbmn
说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算.
12 3 5 1 8 9 例如 1 9 0 6 5 4
3 6 8 3 2 1
121 38 59 13 11 4 16 95 04 7 4 4 .
33 62 81 6 8 9
三、矩阵与矩阵相乘
１、定义
设 Aaij 是一个m s矩阵，Bbij 是一个
sn矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积
是一个m n 矩阵 Ccij ，其中
s
c ij a i1 b 1 j a i2 b 2 j a ib ss j a ib k kj k 1 i 1 , 2 , m ; j 1 , 2 , , n ,
2、 矩阵加法的运算规律
1 A B B A ;
2 A B C A B C .
a11 a12 a1n
3A
a21
a22
a2n
aij,
am1 am1 amn
称为A 矩 的 负 阵矩 . 阵
4 A A 0 , A B A B .
二、数与矩阵相乘
1
31
２、矩阵乘法的运算规律
1 A C B A B;C
2 A B C A A B , C B C A B C A ;A
3 A A B B A B （其中 为数）;
4 A I I A A ;
5
若A是
A k A
nA阶矩A 阵并，且则A Am A k k 为 AA 的m kk,次A幂mk ，即Am.k
1、定义
数 与A 矩 的阵 乘 A 或 积 A ,规 记 定 作 为
a11 a12 a1n
AAa21
a22
a2n
.
am1 am1 amn
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m n矩阵，,为数）
1 A A ;
2 A A A ; 3 A B A B .
矩阵相加与数乘矩阵合起来,统称为矩阵的线 性运算.
BA 2222 A B B.A此时称A,B为可交换矩阵
(2)两个非零矩阵的乘积可能是零矩阵．
1 1
例
A1 1
110,B11
220
0 0
但
AB 0 0 032
0 0
即 A B 0 不能 A 0 或 推 B 0 。 出
(3)矩阵乘法不满足消去律．即
A B A,C A0不能 B推 C.出
A12
并把此乘积记作 CA.B
例１
C 2 4 2 4
1 2223 622
816?1362 22
例2 设
1 A 1
0
0 1 5
1 3 1
2 0 4
B
0 1 3 1
3 2 1 2
4 1 1
1
解 A a ij3 4, Bbij43,
C cij3 3.
故
1
CAB1
例 A1 2 2, 4 5 8
1 4
AT
2
5 ;
2 8
B186,
BT 18. 6
转置矩阵的运算性质
1ATTA ;
2 A B T A T B T ;
解
b1b2 b3aa1211
a12 a22
a13b1 a23b2
a31 a32 a33b3
b 1
=( a1b1 1a2b1 2a3b1 3 a1b21a2b22a3b23 a1b31a2b32a3b33） b 2
b 3
a 1 b 1 2 1 a 2 b 2 2 2 a 3 b 3 2 3 2 a 1 b 1 b 2 2 2 a 1 b 1 b 3 3 2 a 2 b 2 b 3 . 3
2 2 1 0 2 2 .
0
0
2
2
A3 A2A0
2 2
210
1
0 1
0 0 20 0
3
0
0
k
Ak 0 0
32 3
3 32 0 3
由此归纳出
k k1 k
kk1k2
2
k k1
k2
0
k
用数学归纳法证明
当 k2时，显然成立. 假设 kn时成立，则 kn1时，
n
An1AnA0
第2.2节 矩阵的运算
一.矩阵的加法 二.数与矩阵的乘法 三.矩阵与矩阵的乘法 四.矩阵的其它运算 五.小结 思考题
一、矩阵的加法
１、定义
设有两个m n 矩阵 A a ij,B b ij,那末矩阵
A与 B的和记作AB，规定为
a11b11 ABa21 b21
am1 bm1
a12b12 a22b22
0
0 1 5
1 3 1
4021031
3 2 1 2
4 1 1
1
5 6 7
10 2 6 .
2 17 10
注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 19336
6 0
8 不存在. 123
Байду номын сангаас
1 2 313
3 2
1 3 2 2 3 1 1 1 10.