3 2 1 2
4 ?? 1? ? 1?? 1?
??? 5 6 7 ??
? ?10 2 ? 6?.
??? 2 17 10??
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注意 只有当第一个矩阵的列数等于第二个矩阵 的行数时，两个矩阵才能相乘 .
２、矩阵乘法的运算规律
?1??AB?C ? A?BC ?;
? ? ? ?2?A?B ? C ?? AB ? AC, ?B ? C ?A ? BA? CA;
第二节 矩阵的计算
一、 矩阵的加法 二、数与矩阵相乘 三、矩阵与矩阵相乘 四、 矩阵转置 五、方阵的行列式 六、 共轭矩阵 七、矩阵的应用
BG
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一、矩阵的加法
１、定义
?? ? ? 设有两个 m ? n 矩阵
A 与 B 的和记作 A ?
AB，? 规a定ij ,为B
?
bij
, 那么矩阵
?3? ?A?B ? ? A?B ? A? B? （其中 ? 为数）;
注意 矩阵乘积一般不满足交换律
例 设 A ? ?? 1 1 ?? B ? ?? 1 ? 1??
?? 1 ? 1?
?? 1 1 ?
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则
AB ? ??0 ?0
?? a11 ? b11
a12 ? b12 ?
A?
B
?
? ?
a 21 ? ?
b21
a 22 ? b22 ?
?
?
???a m1 ? bm1 a m2 ? bm 2 ?
a1n ? b1n ?? a 2n ? b2n ?
?? a mn ? bmn ???
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说明 只有当两个矩阵是同型矩阵时，才能进 行加法运算 .
?
?? 0
?1
? ?
3
?? 1
3 2 1 2
4 ??
1?
?
1
? ?
1?
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? ? ? ? 解
?
A?
a ij
,
3? 4
B ? bij 4?3,
?? ?
C?
cij
.
3? 3
故
?? 1
C ? AB ? ?? 1
?? 0
0 1 5
?1 3 ?1
402 ??????????? ?1301
? ? ?
? ? ?
y1 y2
? ?
ax11 axΒιβλιοθήκη 11 ? ax12 1 ? ax22
2 ? ax13 2 ? ax23
3 3
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那么变量t1,t2到变量y1, y2的线性变换为：
? (Ш)?
?
y1 y2
? ?
a11 (b11t1 a 21 (b11t1
? ?
b12t2 ) ? b12t2 ) ?
21b1a2 ?
22b2a2 ?
23b32
? ?
BG
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C
?
? ? ?
a11b1a1 a21b1a1
? ?
12b2a1 ? 22b2a1 ?
13b31 23b3a1
a11b1a2 ? 21b1a2 ?
12b2a2 ? 22b2a2 ?
13b32 23b32
? ? ?
矩阵C是由矩阵A与B按照某种运算得到的，
这就是下面要给出的矩阵乘法。
１、定义
? ? ? ? 设 A ? aij 是一个m ? s 矩阵，B ? bij 是一个
s ? n 矩阵，那末规定矩阵 A与矩阵 B的乘积
? ? 是一个m ? n 矩阵 C ? cij ，其中
s
cij ? a bi1 1 j ? a b i 2 2 j ? ? ? a bis sj ? ? a bik kj k?1
例如
??12 3 ? 5?? ??1 8 9??
? 1 ? 9 0 ?? ?6 5 4?
?? 3 6 8 ?? ??3 2 1??
??12 ? 1 3 ? 8 ? 5 ? 9?? ??13 11 4?? ? ? 1 ? 6 ? 9 ? 5 0 ? 4 ? ? ? 7 ? 4 4?.
?? 3 ? 3 6 ? 2 8 ? 1 ?? ?? 6 8 9??
a12 (b21t1 a 22 (b21t1
? ?
b22t2 ) ? b22t2 ) ?
a13 (b31t1 ? a 23 (b31t1 ?
b32t2 ) b32t2 )
即
? ? ?
y1a ? y2a ?
( (
b 11 11 ? a12b21 ? a b 13 31 )t1 ? (a b 11 12 ? a b 12 22 ? a b 13 32 )t2 b 21 11 ? a b 22 21 ? a b 23 31 )t1 ? (a b 21 12 ? a b 22 22 ? a 23b32 )t2
?A ?
A?
?
?? ?
?a11 ? a 21
? ???
?
?a
m
1
?a12 ? a 22
?
?am1
? ? ? ?
?a1n ?a2n
?
?amn
?? ??. ???
2、数乘矩阵的运算规律
（设 A、B为 m ? n 矩阵，? ,? 为数）
?1?????A ? ???A?;
? ? ? ? ?2?? ? ?A ? A ? A; ? ? ? ?3? ?A ? B?? A ? B.
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? ? ? ? ? ? 矩阵 与 的差规定为 ? ?? ??记为 ?
2、矩阵加法的运算规律
?1? A ??B? B A; ?2??A ? B ?? C ? A ? ?B ? C ?.
二、数与矩阵相乘
? ? ? 1、定义
数 与矩阵A的乘积记作 A或A ,规定为
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并把此乘积记作 C ? AB.
例１
C ? ??? 2 4 ?? ?? 2 ? 1 ? 2 ?2?2? ? 3
例2 设
4 ?? ?
? 6 ?2? 2
??? ?
16 8
?
?
32?? 16?
2
?
2
?? 1 A ? ?? 1
?? 0
0 1 5
?1 3 ?1
2 ?? 0? 4 ??
B
令
A
=
? a11
? ?
a
21
a12 a 22
a13 ?
a
23
? ?
B
=
? ? ???
b11 b21 b31
b12 b22 b32
? ? ???
C
?
? a11b1a1
? ?
a21b1a1
? ?
12b2a1 ? 22b2a1 ?
13b31 23b3a1
a11b1a2 ? 12b2a2 ? 13b32 ?
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矩阵相加与数乘矩阵合起来 ,统称为矩阵的 线性运算 .
三、矩阵与矩阵相乘
设变量t1, t2到变量x1, x2 , x3的线性变换为
???
?
x1
=
b11t1
+
b12t2
I ? x2 = b21t1 + b22t2
?? x3 = b31t1 + b32t2
变量x1, x2 , x3到变量y1, y2的线性变换为：