高一数学竞赛培训——三角函数(包括答案)-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN高一数学竞赛辅导——三角函数一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数f (x ) ＝ | sin x ＋cos x |的最小正周期是（ ）A ．π4B ．π2C ．πD ．2π 2．若θθθ则角且,02sin ,0cos <>的终边所在象限是（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若函数)sin()(ϕω+=x x f 的图象（部分）如图所示，则ϕω和的取值是（ ） A ．3,1πϕω== B ．3,1πϕω-==C ．6,21πϕω==D ．6,21πϕω-==4．函数]),0[)(26sin(2ππ∈-=x x y 为增函数的区间是（ ）A ． ]3,0[πB ．]65,3[ππC ．]127,12[ππD ． ],65[ππ5．在△ABC 中，若B b A a cos cos =，则△ABC 的形状是（）A ．等腰三角形B ．直角三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形6．在△ABC 中，8b =，c =ABC S ∆=，则A ∠等于（ ）A 、30B 、60C 、30或150D 、60或1207．函数y ＝－xcosx 的部分图象是 ( )8．在△ABC 中，cos cos cos a b cA B C==，则△ABC 一定是 ( ) A 直角三角形 B 钝角三角形C 等腰三角形D 等边三角形9．为了得到函数)62sin(π-=x y 的图象，可以将函数x y 2cos =的图象（ ）A ．向右平移π6个单位长度B ．向右平移π3个单位长度C ．向左平移π6个单位长度D ．向左平移π3个单位长度10．设)(t f y =是某港口水的深度y （米）关于时间t （时）的函数，其中240≤≤t ．下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15．1 12．1 9．1 11．9 14．9 11．9 8．9 12．1的图象．下面的函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是（]24,0[∈t ）（ ）A ．t y 6sin312π+=B ．)6sin(312ππ++=t yC ．t y 12sin312π+=D ． )212sin(312ππ++=t y二、填空题：本大题共5小题，每小题5分5，共25分．把答案填在横线上． 11．在△ABC 中，A ＝60°，B ＝45°，12=+b a ，则a ＝ ． 12．︒︒-︒︒︒+︒8sin 15sin 7cos 8sin 15cos 7sin 的值是 ．13．在△ABC 中，若2cos B sin A ＝sinC ，则△ABC 的形状一定是 ．14．在△ABC 中，()()()6:5:4::=+++b a a c c b ，则△ABC 的最大内角的度数是15．已知a,b,c 分别是△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边，若3A+C=2B,则sinC= .三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（本题满分12分）已知在ABC ∆中，54sin ,135cos =-=B A . （Ⅰ）求C cos 的值； （Ⅱ）设15=BC ，求ABC ∆的面积．17．(本题满分12分)已知在△ABC 中，已知B=45°,D 是BC 边上的一点，AD=10,AC=14,DC=6，求AB 的长.18. （本题满分12分）已知在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，274sin ()cos 222B C A +-=. (1)求角A 的度数； (2)若，b+c=3，求b 和c 的值.19．（本题满分12分）已知1sin cos ,(0,).5βββπ+=∈（1）求tan β的值； （2）求21sin 22cos sin 2βββ++的值．20．(本题满分12分）求函数f (x )=121log cos()34x π+的单调递增区间，21．（本题满分15分）某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，仰角∠ABE=α，∠ADE=β。

(1)该小组已经测得一组α、β的值，tanα=1.24，tanβ=1.20，请据此算出H 的值；(2)该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d（单位：m），使α与β之差较大，可以提高测量精确度。

若电视塔的实际高度为125m，试问d为多少时，α-β最大？（提示：基本不等式+≥）a b ab三角函数参考答案一、选择题(5分×10＝50分)题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C D C B D C D D B A二、填空题(4分×5＝20分)11．61236- ； 12.23; 13.等腰三角形; 14．120°; 153。

三、解答题(共80分) 16.解：（Ⅰ）由54sin ,135cos =-=B A ，得53cos ,1312sin ==B A ． ∵π=++C B A ，∴)cos()](cos[cos B A B A C +-=+-=π6563)sin sin cos (cos =--=B A B A ． （Ⅱ）由6563cos =C ，得6513sin =C ， 由正弦定理得13sin sin =⨯=ABBC AC ． 所以ABC ∆的面积1sin 2S BC AC C =⨯⨯⨯246516131521=⨯⨯⨯=．17．解：在△ADC 中，AD=10,AC=14,DC=6,由余弦定理得222100361961cos 221062AD DC AC ADC AD DC +-+-∠===•⨯⨯∴∠ADC=120°, ∠ADB=60°在△ABD 中，AD=10, ∠B=45°, ∠ADB=60°，由正弦定理得sin sin AB ADADB B =∠,∴00sin 10sin 6056sin sin 45AD ADB AB B •∠=== 18、27:(1)4sin cos 2180,:22B C A A B C +-=++=︒解由及得22272[1cos()]2cos 1,4(1cos )4cos 5214cos 4cos 10,cos ,20180,60B C A A A A A A A A -+-+=+-=-+=∴=︒<<︒∴=︒即22222222(2):cos211cos()3.2223123: 2 :.221b c aAbcb c aA b c a bcbcb c b ba b c bcbc c c+-=+-=∴=∴+-=+===⎧⎧⎧=+==⎨⎨⎨===⎩⎩⎩由余弦定理得将代入上式得由得或19．解：（Ⅰ）由221sin cos,5sin cos1ββββ⎧+=⎪⎨⎪+=⎩得225sin5sin120ββ--=解得43sin sin()55βββπ==-∈或者由于（0，），舍去所以134cos sin,tan553βββ=-=-=-于是（Ⅱ）化简原式2222sin cos2sin cos(sin cos)2cos2sin cos2cos(cos sin)sin cos11tan2cos22ββββββββββββββββ+++==+++==+所以21sin21411()2cos sin22326βββ+=⨯-+=-+20．解：∵f (x)=121log cos()34xπ+令431π+=xt,∴y=tcoslog21,t是x的增函数,又∵0<21<1,∴当y=tcoslog21为单调递增时,cost为单调递减且cost>0,∴2kπ≤t<2kπ+2π (k∈Z),∴2kπ≤431π+x<2kπ+2π (k∈Z) ,6kπ-43π≤x<6kπ+43π(k∈Z),∴f (x)=)431cos(log21π+x的单调递减区间是[6kπ-43π,6kπ+43π) (k∈Z)21．解：[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。

（1）tan tan H H AD AD ββ=⇒=，同理：tan H AB α=，tan h BD β=。

AD —AB=DB ，故得tan tan tan H H hβαβ-=，解得：tan 4 1.24124tan tan 1.24 1.20h H αβα⨯===--。

因此，算出的电视塔的高度H 是124m 。

（2）由题设知d AB =，得tan ,tan H H h H hd AD DB d αβ-====， 2tan tan tan()()1tan tan ()1H H h hd h d d H H h H H h d H H h d d d dαβαβαβ----====--+⋅+-+⋅+()H H h d d-+≥d =取等号）故当d =tan()αβ-最大。

因为02πβα<<<，则02παβ<-<，所以当d =时，α-β最大。

故所求的d是。