高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量一、三角函数部分1．(集训试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且AC ， AB sin sin 都是方程log bx=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ）A ．是等腰三角形，但不是直角三角形B ．是直角三角形，但不是等腰三角形C ．是等腰直角三角形D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由log b x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ，因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ， ∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A=41，而sinA>0，∴sinA=21. 因此A=30°,B=90°,C=60°。

故选B 。

2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4．（2006年南昌市）若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A ．sin θ=11+-b ab B ．cos θ=11+-a abC ．tan cot θθ+=)1)(1(21)1(2++-+++b a abb a D ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a5．（2006安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间，∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若33sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是(C)A ．[0,]4πB ．[,]4ππ C ．5[,]44ππ D ．3[,)42ππ7．（2006年江苏）在△ABC 中，1tan 2A =，310cos 10B =．若△ABC 的最长边为1，则最短边的长为 （D ）A ．455B ．355C ．255D ．558．(2005年浙江)设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x xx f 2cos 2sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ B ）A ．1B ．2C ．3D ．4【解】： 2)(1=x f 是以任何正实数为周期的周期函数；)(2x f 不是周期函数。

因为x sin 是以π21=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以222π=T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。

)(3x f 不是周期函数。

因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以222π=T 为周期的周期函数,而221=T T ，故)(3x f 是周期函数.24sin )(x x f =不是周期函数.因此共有2个周期函数. ∴选 【 B 】 9．(2005年浙江)若1sin sin =+y x ，则y x cos cos +的取值范围是 （ ）A ．]2 ,2[-B ．]1 ,1[-C ．]3,0[D ．]3,3[-【解】：设 t y x =+cos cos ， ∴ 222cos cos cos 2cos t y y x x =++。

又由 1sin sin =+y x ，故1sin sin sin 2sin 22=++y y x x 。

因此有 1)sin sin cos (cos 22+=+t y x y x ，即 1)cos(22+=-t y x由于1)cos(1≤-≤-y x ，所以有 32≤t ，即33≤≤-t 。

∴选 【 D 】 10． (2005全国)ABC ∆内接于单位圆，三个内角A 、B 、C 的平分线延长后分别交此圆于1A 、1B 、1C 。

则CB AC CC B BB A AA sin sin sin 2cos 2cos 2cos111++⋅+⋅+⋅的值为 （ ）A ．2B ．4C ．6D ．8 解：如图，连1BA ，则12sin()2sin()2222A ABC B C AA B ++=+=+-2cos().22B C =-111111cos2cos()cos cos cos cos()cos()22222222sin sin ,cos sin sin ,cos sin sin ,cos 2222(sin sin sin )cos cos 2(sin sin sin ),22sin sin sin A B C A A B C A C B AA C B B C AC B BB A C CC A B AA BB B C A B C CC A B C A B Cππ+-+-∴=-=+=-+-=+=+=+∴+⋅+++=++∴==++同理原式 2..A 选11（2006陕西赛区预赛）已知θ为锐角，且cos 31cos 3θθ=，则sin 3sin θθ= 7/3 12（2004年浙江省预赛）设,,,),,2,1(R n i R a i ∈=∈+γβα 且，0=++γβα 则对任意R x ∈，=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++∑=+++ni x i x i x i x i x i x ia a a a a a 1)( )()(111111γαγγβββαα n . 解：x i x i x i x i xix i a a a a a a )( )()(111111γαγγβββαα+++++++++++ 11111)( )()()(=++++++++=++++xix i x i x i x i x i x i x i a a a a a a a a γαγγαγαγγαγγ， 所以，.1111111)( )()(n a a a a a a ni x i x i x i x i x i x i =⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++++∑=+++γαγγβββαα 13（2006年浙江省预赛）设b a ,是非零实数，R x ∈，若，2224241cos sin b a b x a x +=+则=+2006200820062008cos sin b xa x 100322)(1b a + 解：已知 ，2224241c o s s i n b a b x a x +=+ ……………… （1） 将（1）改写成 x ba x ab x x 42242244c o s s i n c o s s i n 1+++=.而 x x x x x x 2244222cos sin 2cos sin )cos (sin 1++=+=.所以有 0c o s c o s s i n 2s i n 42222422=+-x ba x x x ab .即0cos sin 222=⎪⎭⎫ ⎝⎛-x b a x a b , 也即 ，4444cos sin b x a x = 将该值记为C 。

则由（1）知， 22221b a C b C a +=+。

于是有，222)(1b a C +=. 而10032210042222502250222006200820062008)(1)(1)(cos sin b a b a b a C b C a b x a x +=++=+=+. 14（200 6天津）在ABC Rt ∆中，c ，r ，S 分别表示它的斜边长，内切圆半径和面积，则Scr的取值范围是 )1,222[- ．15（200 6天津）已知)sin 3,cos 2(ααA ，)sin 3,cos 2(ββB ，)0,1(-C 是平面上三个不同的点，且满足关系式BC CA λ=，则实数λ的取值范围是331≤≤λ ． 16（2006年江苏）设2cos 23ϑ=，则44cos sin ϑϑ+的值是 1118 ．172006吉林预赛）若41)12(sin )12(sin 22-=--+ππx x ，且)43,2(ππ∈x ，则tanx 的值为__________.18（2006年南昌市）已知sin cos θθ+=52,(2π＜θ＜π),则tan cot θθ-=_8623-____.19．（2006年上海）设(2)n n ≥是给定的整数，12,,,n x x x 是实数，则1223sin cos sin cos x x x x ++1sin cos n x x + 的最大值是 2n．20．（2004 全国）在平面直角坐标系xoy 中，函数()sin cos (0)f x a ax ax a =+>在一个最小正周期长的区间上的图像与函数2()1g x a =+的图像所围成的封闭图形的面积是________________.解：21()1sin(),arctanf x a ax aϕϕ=++=其中，它的最小正周期为2a π，振幅为21a +。

由()f x 的图像与()g x 的图像围成的封闭图形的对称性，可将这图形割补成长为2aπ、宽为21a +的长方形，故它的面积是221a aπ+。

21．(2005全国)设α、β、γ满足πγβα20<<<<，若对于任意++++∈)cos()cos(,βαx x R x ,0)cos(=+γx 则=-αγ.34π解：设),cos()cos()cos()(γβα+++++=x x x x f 由R x ∈，0)(≡x f 知， ,0)(,0)(=-=-γαf f ,0)(=-βf 即+--=-+-)cos(,1)cos()cos(βααγαβ 1)cos(-=-βγ，.1)cos()cos(-=-+-γβγα =-=-=-∴)cos()cos()cos(αγβγαβ,20πγβα<<<< },34,32{,,ππβγαγαβ∈---∴又<--<-βγαγαβ,.αγ- 只有.32πβγαβ=-=-.34παγ=-∴另一方面，当,32πβγαβ=-=-有,,34,32R x ∈∀+=+=παγπαβ记θα=+x ， 由于三点),34(cos()),32sin(),32(cos(),sin ,(cos πθπθπθθθ+++))34sin(πθ+构成 单位圆122=+y x 上正三角形的三个顶点.其中心位于原点，显然有.0)34cos()32cos(cos =++++πθπθθ即.0)cos()cos()cos(=+++++γβαx x x 二、向量部分1．(集训试题)已知a =(cos32π, sin 32π), b a OA -=, b a OB +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（ ） A ．1B ．21C ．2D ．23解：设向量b =(x, y)，则⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-+||||0))((b a b a b a b a ，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-++=++-=+---⋅+-2222)23()21()23()21(023,21()23,21(y x y x y x y x ，即⎪⎩⎪⎨⎧==+yx y x 3122. ∴)21,23(=b 或)21,23(-，∴S △AOB =21||||b a b a -+=1。