1．1 探究动量变化与冲量的关系[学习目标] 1.理解冲量和动量的定义、公式、单位及矢量性.2.理解动量定理及其表达式.3.能够利用动量定理解释有关现象，解决有关实际问题．一、动量和冲量[导学探究] 在激烈的橄榄球赛场上，一个较瘦弱的运动员携球奔跑时迎面碰上高大结实的对方运动员，自己被碰的人仰马翻，而对方却几乎不受影响…….这说明运动物体产生的效果不仅与速度有关，而且与质量有关．(1)若质量为60 kg的运动员(包括球)以5 m/s的速度向东奔跑，他的动量是多大？方向如何？若他以大小不变的速率做曲线运动，他的动量是否变化？(2)若这名运动员与对方运动员相撞后速度变为零，他的动量的变化量多大？动量的变化量方向如何？答案(1)动量是300 kg·m/s，方向向东；做曲线运动时他的动量变化了，因为方向变了．(2)—300 kg·m/s，方向向西．[知识梳理] 动量和动量的变化量1．动量(1)定义：物体的质量m和速度v的乘积mv.(2)公式：p＝mv.单位：kg·m/s.(3)动量的矢量性：动量是矢(填“矢”或“标”)量，方向与速度的方向相同．(4)动量是状态量：进行运算时必须明确是哪个物体在哪一状态(时刻)的动量．(5)动量具有相对性：由于速度与参考系的选择有关，一般以地球为参考系．2．冲量(1)冲量的定义式：I＝Ft.(2)冲量是过程(填“过程”或“状态”)量，反映的是力在一段时间内的积累效应，求冲量时一定要明确是哪一个力在哪一段时间内的冲量．(3)冲量是矢(填“矢”或“标”)量，若是恒力的冲量，则冲量的方向与力F的方向相同．[即学即用] 判断下列说法的正误．(1)质量大的物体的动量一定大．( ×)(2)动量相同的物体，运动方向一定相同．( √)(3)质量和速率都相同的物体的动量一定相同．( × )(4)冲量是矢量，其方向与合外力的方向相同．( √ )(5)力越大，力对物体的冲量越大．( × )(6)不管物体做什么运动，在相同的时间内重力的冲量相同．( √ )二、动量定理[导学探究] 1.在日常生活中，有不少这样的事例：跳远时要跳在沙坑里；跳高时在下落处要放海绵垫子；从高处往下跳，落地后双腿往往要弯曲；轮船边缘及轮渡的码头上都装有橡胶轮胎……这样做的目的是为了什么？答案 为了缓冲以减小作用力．2．如图1所示，假定一个质量为m 的物体在碰撞时受到另一个物体对它的力是恒力F ，在F 的作用下，经过时间t ，物体的速度从v 变为v ′，应用牛顿第二定律和运动学公式推导物体的动量改变量Δp 与恒力F 及作用时间t 的关系．图1答案 该物体在碰撞过程中的加速度a ＝v ′－v t ① 根据牛顿第二定律F ＝ma ②由①②得F ＝m v ′－v t整理得：Ft ＝m (v ′－v )＝mv ′－mv即Ft ＝Δp .[知识梳理]1．内容：物体所受合力的冲量等于物体的动量变化．2．公式：I ＝Ft ＝Δp .其中F 为物体受到的合外力．[即学即用] 判断下列说法的正误．(1)若物体在一段时间内，其动量发生了变化，则物体在这段时间内的合外力一定不为零．( √ )(2)物体受到的合力的冲量越大，它的动量变化量一定越大．( √ )(3)动量变化量为正，说明它的方向与初始时动量的方向相同．( × )一、动量的理解1．动量p ＝mv, 描述物体运动状态的物理量．是矢量，方向与速度的方向相同．2．动量p ＝mv 与动能E k ＝12mv 2的区别 (1)动量是矢量，而动能是标量．(2)当速度发生变化时，物体的动量发生变化，而动能不一定发生变化．例1 羽毛球是速度较快的球类运动之一，运动员扣杀羽毛球的速度可达到100 m/s ，假设球飞来的速度为50 m/s ，运动员将球以100 m/s 的速度反向击回．设羽毛球的质量为10 g ，试求：(1)运动员击球过程中羽毛球的动量变化量；(2)运动员击球过程中羽毛球的动能变化量．答案 (1)1.5 kg·m/s，方向与羽毛球飞来的方向相反(2)37.5 J解析 (1)以羽毛球飞来的方向为正方向，则p 1＝mv 1＝10×10－3×50 kg·m/s＝0.5 kg·m/s.p 2＝mv 2＝－10×10－3×100 kg·m/s＝－1 kg·m/s所以动量的变化量Δp ＝p 2－p 1＝－1 kg·m/s－0.5 kg·m/s＝－1.5 kg·m/s.即羽毛球的动量变化量大小为1.5 kg·m/s，方向与羽毛球飞来的方向相反．(2)羽毛球的初动能：E k ＝12mv 21＝12.5 J ，羽毛球的末动能：E k ′＝12mv 22＝50 J ．所以ΔE k ＝E k ′－E k ＝37.5 J.动量与动能的区别与联系(1)区别：动量是矢量，动能是标量，质量相同的两个物体，动量相同时动能一定相同，但动能相同时，动量不一定相同．(2)联系：动量和动能都是描述物体运动状态的物理量，大小关系为E k ＝p 22m或p ＝2mE k . 二、冲量及冲量的计算1．求冲量大小时，一定要注意是哪一个力在哪一段时间内的冲量，只要力不为零，一段时间内的冲量就不为零．2．公式I ＝Ft 只适合于计算恒力的冲量，若是变力的冲量，可考虑用以下方法求解：(1)用动量定理I ＝mv ′－mv 求冲量．(2)若力随时间均匀变化，则可用平均力求冲量．图2(3)若给出了力F随时间t变化的图像，可用F－t图像与t轴所围成的面积求冲量．如图2所示，力F在1 s内的冲量I1＝F1t1＝20×1 N·s＝20 N·s力F在6 s内的冲量I＝(20×1－10×5) N·s＝－30 N·s例2在倾角为37°、足够长的斜面上，有一质量为5 kg的物体沿斜面滑下，物体与斜面间的动摩擦因数μ＝0.2，求物体下滑2 s的时间内，物体所受各力的冲量．(g取10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8)答案见解析解析物体沿斜面下滑的过程中，受重力、支持力和摩擦力的作用．冲量I＝Ft，是矢量．重力的冲量I G＝Gt＝mgt＝5×10×2 N·s＝100 N·s，方向竖直向下．支持力的冲量I N＝Nt＝mg cos α·t＝5×10×0.8×2 N·s＝80 N·s，方向垂直于斜面向上．摩擦力的冲量I f＝ft＝μmg cos α·t＝0.2×5×10×0.8×2 N·s＝16 N·s，方向沿斜面向上．1．在求力的冲量时，首先明确是求哪个力的冲量，是恒力还是变力，如果是恒力，可用I ＝Ft进行计算，如果是变力，可考虑根据动量定理求冲量．2．注意不要忘记说明冲量的方向．三、动量定理的理解和应用1．对动量定理的理解(1)动量定理反映了合外力的冲量是动量变化的原因．(2)动量定理的表达式是矢量式，运用动量定理解题时，要注意规定正方向．(3)公式中的F是物体所受的合外力，若合外力是变力，则F应是合外力在作用时间内的平均值．2．应用动量定理定量计算的一般步骤选定研究对象，明确运动过程→进行受力分析，确定初、末状态→选取正方向，列动量定理方程求解图3例3 如图3所示，用0.5 kg 的铁锤把钉子钉进木头里，打击时铁锤的速度为4.0 m/s ，如果打击后铁锤的速度变为0，打击的作用时间是0.01 s ，那么：(1)不计铁锤受到的重力，铁锤钉钉子时，钉子受到的平均作用力是多大？(2)考虑铁锤受的重力，铁锤钉钉子时，钉子受到的平均作用力又是多大？(g 取10 m/s 2)(3)比较(1)和(2)，讨论是否要忽略铁锤的重力．答案 (1)200 N ，方向竖直向下(2)205 N ，方向竖直向下(3)见解析解析 (1)以铁锤为研究对象，不计重力时，铁锤只受到钉子的平均作用力，方向竖直向上，设为F 1，取竖直向上为正，由动量定理可得F 1t ＝0－mv所以F 1＝－0.5×(－4.0)0.01N ＝200 N ，方向竖直向上． 由牛顿第三定律知，铁锤钉钉子时，钉子受到的平均作用力为200 N ，方向竖直向下．(2)若考虑重力，设此时铁锤受钉子的平均作用力为F 2，对铁锤应用动量定理，取竖直向上 为正．则(F 2－mg )t ＝0－mv F 2＝－0.5×(－4.0)0.01N ＋0.5×10 N＝205 N ，方向竖直向上． 由牛顿第三定律知，此时铁锤钉钉子时钉子受到的平均作用力为205 N ，方向竖直向下．(3)比较F 1与F 2，其相对误差为|F 2－F 1|F 1×100%＝2.5 %，可见本题中铁锤的重力可忽略．用动量定理进行定量计算时应注意：(1)列方程前首先选取正方向；(2)分析速度时一定要选取同一参考系，一般选地面为参考系；(3)公式中的冲量应是合外力的冲量，求动量的变化量时要严格按公式，且要注意动量的变化量是末动量减去初动量．例4 (多选)对下列几种物理现象的解释，正确的是( )A ．击钉时，不用橡皮锤仅仅是因为橡皮锤太轻B．跳远时，在沙坑里填沙，是为了减小冲量C．易碎品运输时，要用柔软材料包装，船舷常常悬挂旧轮胎，都是为了延长作用时间以减小作用力D．在车内推车推不动，是因为合外力冲量为零答案CD解析击钉时，不用橡皮锤是因为橡皮锤与钉子的作用时间长；跳远时，在沙坑里填沙，是为了延长人与地的接触时间，所以A、B不正确；据动量定理Ft＝Δp知，当Δp相同时，t 越长，作用力越小，故C项正确；车能否移动或运动状态能否改变取决于外力的作用，与内部作用力无关，所以D项正确．针对训练从高处跳到低处时，为了安全，一般都是让脚尖先着地，这样做是为了( ) A．减小冲量B．减小动量的变化量C．增大与地面的冲击时间，从而减小冲力D．增大人对地面的压强，起到安全作用答案 C解析脚尖先着地，接着逐渐到整个脚着地，延缓了人落地时动量变化所用的时间，由动量定理可知，人落地时的动量变化量为定值，这样就减小了地面对人的冲力，故C项正确．利用动量定理解释现象的问题主要有三类：(1)Δp一定，t短则F大，t长则F小．(2)F一定，t短则Δp小，t长则Δp大．(3)t一定，F大则Δp大，F小则Δp小．1．(多选)恒力F作用在质量为m的物体上，如图4所示，由于地面对物体的摩擦力较大，没有被拉动，则经过时间t，下列说法正确的是( )图4A．拉力F对物体的冲量大小为零B．拉力F对物体的冲量大小为FtC．拉力F对物体的冲量大小是Ft cos θD．合力对物体的冲量大小为零答案BD2．篮球运动员通常要伸出两臂迎接传来的篮球．接球时，两臂随球迅速收缩至胸前，这样做可以( )A．减小球对手的冲量B．减小球对人的冲击力C．减小球的动量变化量D．减小球的动能变化量答案 B解析篮球运动员接球的过程中，手对球的冲量等于球的动量的变化量，接球时，两臂随球迅速收缩至胸前，并没有减小球对手的冲量，也没有减小球的动量变化量，更没有减小球的动能变化量，而是延长了手与球的作用时间，从而减小了球对人的冲击力，B正确．一、选择题(1～9题为单选题，10题为多选题)1．关于动量，以下说法正确的是( )A．做匀速圆周运动的质点，其动量不随时间发生变化B．悬线拉着的摆球在竖直面内摆动时，每次经过最低点时的动量均相同C．匀速飞行的巡航导弹巡航时动量始终不变D．做平抛运动的质点在竖直方向上的动量与运动时间成正比答案 D解析做匀速圆周运动的物体，其速度方向时刻发生变化，故动量时刻发生变化，A项错；单摆的摆球相邻每次经过最低点时动量大小相等，但方向相反，故B项错；巡航导弹巡航时虽速度不变，但由于燃料不断燃烧(导弹中燃料占其总质量的一部分，不可忽略)，从而使导弹总质量不断减小，导弹动量减小，故C项错；做平抛运动物体在竖直方向上的分运动为自由落体运动，在竖直方向的分动量p竖＝mv y＝mgt，故D项正确．2．放在水平桌面上的物体质量为m，用一个大小为F的水平推力推它t秒，物体始终不动，那么t秒内，推力对物体的冲量大小是( )A．F·t B．mg·tC．0 D．无法计算答案 A解析根据冲量的定义，推力对物体的冲量大小是推力与其作用时间的乘积，与重力无关，故A正确．3．从某高处落下一个鸡蛋，分别落到棉絮上和水泥地上，下面结论正确的是( )A．落到棉絮上的鸡蛋不易破碎，是因为它的动量变化小B．落到水泥地上的鸡蛋易碎，是因为它受到的冲量大C．落到棉絮上的鸡蛋不易破碎，是因为它的动量变化率大D．落到水泥地上的鸡蛋易碎，是因为它的动量变化快答案 D解析落到棉絮上的鸡蛋不易碎，而落到水泥地上的鸡蛋易碎，不是其动量大小和冲量大小的原因，而是其动量变化快，所受的冲力大造成的，故只有D正确4．质量为0.5 kg的物体，运动速度为3 m/s，它在一个变力的作用下速度变为7 m/s，方向和原来方向相反，则这段时间内动量的变化量为( )A．5 kg·m/s，方向与原运动方向相反B．5 kg·m/s，方向与原运动方向相同C．2 kg·m/s，方向与原运动方向相反D．2 kg·m/s，方向与原运动方向相同答案 A解析以原来的运动方向为正方向，由定义式Δp＝mv′－mv得Δp＝(－7×0.5－3×0.5) kg·m/s＝－5 kg·m/s，负号表示Δp的方向与原运动方向相反．5．如图1所示甲、乙两种情况中，人用相同大小的恒定拉力拉绳子，使人和船A均向右运动，经过相同的时间t，图甲中船A没有到岸，图乙中船A没有与船B相碰，则经过时间t( )图1A．图甲中人对绳子拉力的冲量比图乙中人对绳子拉力的冲量小B．图甲中人对绳子拉力的冲量比图乙中人对绳子拉力的冲量大C．图甲中人对绳子拉力的冲量与图乙中人对绳子拉力的冲量一样大D．以上三种情况都有可能答案 C解析甲、乙两种情况下人对绳子的拉力相等，由冲量的定义式I＝Ft可知，两冲量相等，只有选项C是正确的．6．一质量为60 kg的建筑工人不慎从高空跌下，幸好弹性安全带的保护使他悬挂起来．已知弹性安全带的缓冲时间是1.5 s，安全带自然长度为5 m，g取10 m/s2，则安全带所受的平均冲力的大小为( )A．500 N B．1 100 NC．600 N D．1 000 N答案 D解析 建筑工人下落5 m 时速度为v ，则v ＝2gh ＝2×10×5 m/s ＝10 m/s ，设安全带所受平均冲力大小为F ，则由动量定理得：(mg －F )t ＝－mv ，所以F ＝mg ＋mv t ＝60×10 N＋60×101.5N ＝1 000 N ，故D 对，A 、B 、C 错．7．质量为1 kg 的物体做直线运动，其速度—时间图像如图2所示．则物体在前10 s 内和后10 s 内所受合外力的冲量分别是( )图2A ．10 N·s,10 N·sB ．10 N·s，－10 N·sC ．0,10 N·sD ．0，－10 N·s 答案 D解析 由图像可知，在前10 s 内初、末状态的动量相同，p 1＝p 2＝5 kg·m/s，由动量定理知I 1＝0；在后10 s 内末状态的动量p 3＝－5 kg·m/s，由动量定理得I 2＝p 3－p 2＝－10 N·s，故正确答案为D.8．物体在恒定合力F 的作用下做直线运动，在时间Δt 1内速度由0增大到v ，在时间Δt 2内速度由v 增大到2v .设F 在Δt 1内做的功是W 1，冲量是I 1；在Δt 2内做的功是W 2，冲量是I 2.那么( )A ．I 1＜I 2，W 1＝W 2B ．I 1＜I 2，W 1＜W 2C ．I 1＝I 2，W 1＝W 2D ．I 1＝I 2，W 1＜W 2 答案 D解析 在Δt 1内，I 1＝F Δt 1＝mv －0＝mv ，在Δt 2内，I 2＝F Δt 2＝2mv －mv ＝mv ，所以I 1＝I 2，又因为W 1＝12mv 2，W 2＝12m (2v )2－12mv 2＝32mv 2，所以W 1＜W 2，选项D 正确．图39．如图3所示，一铁块压着一纸条放在水平桌面上，当以速度v 抽出纸条后，铁块掉到地面上的P 点，若以速度2v 抽出纸条时，铁块仍能掉到地面上，则铁块落地点( )A ．仍在P 点B ．在P 点左侧C ．在P 点右侧不远处D ．在P 点右侧原水平位移的2倍处答案 B解析 当以2v 速度抽出纸条时，纸条对铁块的作用时间减少，而纸条对铁块的作用力相同，故与以速度v 抽出纸条时相比，纸条对铁块的冲量I 减小，铁块平抛的初速度减小，水平射程减小，故落在P 点的左侧，B 正确．10．一粒钢珠在空中由静止状态开始自由下落，然后陷入泥潭中．若把它在空中自由下落的过程称为Ⅰ，进入泥潭直到停止的过程称为Ⅱ，不计空气阻力，则以下说法正确的是( )A ．过程Ⅰ中钢珠动量的改变量等于重力的冲量B ．过程Ⅱ中钢珠所受阻力的冲量大小等于过程Ⅰ中重力冲量的大小C ．Ⅰ、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零D ．过程Ⅱ中钢珠的动量改变量在数值上等于过程Ⅰ中重力的冲量答案 ACD解析 钢珠在空中自由下落只受重力，由动量定理，过程Ⅰ中钢珠动量的改变量等于重力的冲量，选项A 正确；过程Ⅱ中钢珠受到的阻力和重力作用，所以过程Ⅱ中钢珠所受阻力的冲量大小等于过程Ⅰ和Ⅱ中重力冲量的大小，选项B 错误；由动量定理可知，Ⅰ、Ⅱ两个过程中合外力的总冲量等于零，选项C 正确；过程Ⅱ中钢珠的动量改变量在数值上等于过程Ⅰ中钢珠动量的改变量，也等于过程Ⅰ中重力的冲量，选项D 正确．二、非选择题11．有一质量为m ＝1 kg 的小球，将其从距水平地面高h ＝5 m 处以v 0＝10 m/s 的水平速度抛出，不计空气阻力，g 取10 m/s 2.求：(1)抛出后0.4 s 内重力对小球的冲量；(2)平抛运动过程中小球动量的增量Δp ；(3)小球落地时的动量p ′.答案 (1)4 N·s，方向竖直向下(2)10 N·s，方向竖直向下 (3)10 2 kg·m/s，方向与水平方向的夹角为45°解析 由于平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，故h ＝12gt 2，落地时间t ＝2h g＝1 s. (1)重力是恒力，0.4 s 内重力对小球的冲量 I ＝mgt ′＝1×10×0.4 N·s＝4 N·s，方向竖直向下．(2)小球飞行过程中只受重力作用，所以合外力的冲量为I ＝mgt ＝1×10×1 N·s＝10 N·s，方向竖直向下．由动量定理得Δp ＝I ＝10 N·s，方向竖直向下．(3)小球落地时竖直分速度为v y ＝gt ＝10 m/s.如图，落地速度v ＝v 20＋v 2y ＝102＋102 m/s ＝10 2 m/s ，11 设v 0与v 的夹角为θ，则tan θ＝v y v 0＝1，所以小球落地时的动量大小为p ′＝mv ＝10 2 kg·m/s，与水平方向的夹角为45°.12．质量为m 的物体静止在足够大的水平面上，物体与水平面间的动摩擦因数为μ，有一水平恒力作用于物体上，并使之加速前进，经时间t 1后去掉此恒力，求物体运动的总时间t .答案 Ft 1μmg解析 方法一：物体的运动可分为两个阶段，水平方向，第一阶段受两个力F 、f 的作用，时间为t 1，物体由A 运动到B 速度达到v 1；第二阶段物体只受f 的作用，时间为t 2，由B 运动到C ，速度由v 1变为0.设前进方向为正方向，据动量定理，第一阶段：(F －f )t 1＝mv 1－0＝mv 1第二阶段：－f ·t 2＝0－mv 1＝－mv 1两式相加：F ·t 1－f (t 1＋t 2)＝0因为f ＝μmg ，代入上式，可求出t 2＝(F －μmg )t 1μmg所以t 总＝t 1＋t 2＝Ft 1μmg. 方法二：把两个阶段当成一个过程来看：F 作用了t 1时间，μmg 则作用了t 总时间，动量变化Δp ＝0. F ·t 1－μmgt 总＝0，t 总＝Ft 1μmg.。