中考数学二次函数存在性问题 及参考答案 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线. 所得抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与轴交于点C，顶点为D. （1）写出的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由.
2.如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标；
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PMx轴，垂足为M，是否存在点P，使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线与双曲线相交于点A，B．已知点B的坐标为（－2，－2），点A在第一象限内，且tan∠AOX＝4．过点A作直线AC∥轴，交抛物线于另一点C． （1）求双曲线和抛物线的解析式； （2）计算△ABC的面积； （3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABC的面积．若存在，请你写出点D的坐标；若不存在，请你说明理由．
4.如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上， 其中A（－2,0），B（－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD段上是否存在点Q使三角形BDQ的面积最大，若有，求出点Q的坐标，若没有，请说明理由。
三、二次函数中直角三角形的存在性问题 5.如图,△ABC是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线经过A，B两点， 抛物线的顶点为D． （1）求b,c的值； （2）点E是直角三角形ABC斜边AB上一动点(点A、B除外)，过点E作x轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF的长度最大时，求点E的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面积；②在抛物线上是否存在一点P，使△EFP是以EF为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点P的坐标；若不存在，说明理由.
四、二次函数中等腰三角形的存在性问题 6.如图，直线交轴于A点，交轴于B点，过A、B两点的抛物线交轴于另一点C（3,0）. ⑴ 求抛物线的解析式; ⑵ 在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ABQ是等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由.
五、二次函数中等腰梯形、直角梯形的存在性问题 7．如图，二次函数y= x2axb的图像与x轴交于A(，0)、B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断△ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。
六、二次函数中菱形的存在性问题 8．如图，已知抛物线经过原点O和x轴上一点A（4，0），抛物线顶点为E，它的对称轴与x轴交于点D．直线y=﹣2x﹣1经过抛物线上一点B（﹣2，m）且与y轴交于点C，与抛物线的对称轴交于点F． （1）求m的值及该抛物线对应的解析式； （2）P（x，y）是抛物线上的一点，若S△ADP=S△ADC，求出所有符合条件的点P的坐标； （3）点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速度匀速运动，设点M的运动时间为t秒，是否能使以Q、A、E、M四点为顶点的四边形是菱形？若能，请直接写出点M的运动时间t的值；若不能，请说明理由．
1、【答案】解：（1）∵由平移的性质知，的顶点坐标为Ｄ（－１，－４）， ∴。 （2）由（1）得. 当时，． 解之，得 。 ∴. 又当时，， ∴C点坐标为（0，－3）。 又抛物线顶点坐标D（－1，－4），
作抛物线的对称轴交轴于点E，DF⊥ 轴于点F。易知 在Rt△AED中，AD2=22+42=20，在Rt△AOC中，AC2=32+32=18， 在Rt△CFD中，CD2=12+12=2， ∴AC2＋ CD2＝AD2。∴△ACD是直角三角形。 （3）存在．作OM∥BC交AC于M，Ｍ点即为所求点。 由（2）知，△AOC为等腰直角三角形，∠BAC＝450，AC。 由△AOM∽ △ABC，得。即。 过M点作MG⊥AB于点G，则AG=MG=， OG=AO－AG=3－。又点M在第三象限，所以M（－，－）。
2、【答案】解：（1）设抛物线的解析式为， ∵抛物线过A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0）可得，解得。 ∴抛物线的解析式为。 （2）①当AE为边时，∵A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，∴DE=AO=2， 则D在轴下方不可能，∴D在轴上方且DE=2，则D1（1，3），D2（﹣3，3）。②当AO为对角线时，则DE与AO互相平分。 ∵点E在对称轴上，且线段AO的中点横坐标为﹣1， 由对称性知，符合条件的点D只有一个，与点C重合，即C（﹣1，﹣1）。 故符合条件的点D有三个，分别是D1（1，3），D2（﹣3，3），C（﹣1，﹣1）。 （3）存在，如图：∵B（﹣3，3），C（﹣1，﹣1），根据勾股定理得： BO2=18，CO2=2，BC2=20，∴BO2+CO2=BC2．∴△BOC是直角三角形。 假设存在点P，使以P，M，A为顶点的 三角形与△BOC相似，
设P（，），由题意知＞0，＞0，且， ①若△AMP∽△BOC，则。 即 +2=3（2+2）得：
1=，2=﹣2（舍去）． 当=时，=，即P（，）。 ②若△PMA∽△BOC，则，。 即：2+2=3（+2）得：1=3，2=﹣2（舍去） 当=3时，=15，即P（3，15）． 故符合条件的点P有两个，分别是P（，）或（3，15）。 3、【答案】解：（1）把点B（－2，－2）的坐标代入得，，∴＝4。 ∴双曲线的解析式为：。 设A点的坐标为（m，n）．∵A点在双曲线上，∴mn＝4。
又∵tan∠AOX＝4，∴＝4，即m＝4n。∴n2＝1，∴n＝±1。 ∵A点在第一象限，∴n＝1，m＝4。∴A点的坐标为（1，4）。 把A、B点的坐标代入得，，解得，＝1，＝3。 ∴抛物线的解析式为：。 （2）∵AC∥轴，∴点C的纵坐标y＝4， 代入得方程，，解得1＝－4，2＝1（舍去）。 ∴C点的坐标为（－4，4），且AC＝5。
又∵△ABC的高为6，∴△ABC的面积＝×5×6＝15。 （3）存在D点使△ABD的面积等于△ABC的面积。理由如下： 过点C作CD∥AB交抛物线于另一点D，此时△ABD的面积等于△ABC的面积（同底：AB，等高：CD和AB的距离）。
∵直线AB相应的一次函数是：，且CD∥AB， ∴可设直线CD解析式为， 把C点的坐标（﹣4，4）代入可得，。 ∴直线CD相应的一次函数是：。 解方程组，解得，。 ∴点D的坐标为（3，18）。 4.（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程 ∴ 解之得：；故为所求 （2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为，则有，， 故BD的解析式为；令则，故 (3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2， 易知BN=MN=1， 易求 ；设， 依题意有：，即： 解之得：，，故符合条件的P点有三个：
5.解答：解：（1）由已知得：A（﹣1，0），B（4，5）， ∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴，
解得：b=﹣2，c=﹣3； （2）如图：∵直线AB经过点A（﹣1，0），B（4，5）， ∴直线AB的解析式为：y=x+1， ∵二次函数y=x2﹣2x﹣3， ∴设点E（t，t+1），则F（t，t2﹣2t﹣3）， ∴EF=（t+1）﹣（t2﹣2t﹣3）=﹣（t﹣）2+，
∴当t=时，EF的最大值为， ∴点E的坐标为（，）；
（3）①如图：顺次连接点E、B、F、D得四边形EBFD． 可求出点F的坐标（，），点D的坐标为（1，﹣4）
S四边形EBFD=S△BEF+S△DEF=××（4﹣）+××（﹣1）=； 9 / 13
②如图： ⅰ）过点E作a⊥EF交抛物线于点P，设点P（m，m2﹣2m﹣3） 则有：m2﹣2m﹣2=，
解得：m1=，m2=， ∴P1（，），P2（，），
ⅱ）过点F作b⊥EF交抛物线于P3，设P3（n，n2﹣2n﹣3） 则有：n2﹣2n﹣2=﹣，
解得：n1=，n2=（与点F重合，舍去）， ∴P3（，）， 综上所述：所有点P的坐标：P1（，），P2（，），P3（，）能使△EFP组成以EF为直角边的直角三角形．
6.解：（1）∵当=0时，=3 当=0时，=﹣1 ∴（﹣1，0），（0，3） ∵（3，0）··························1分 设抛物线的解析式为=a（+1）（﹣3） ∴3=a×1×（﹣3） ∴a=﹣1