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答案 二次函数-矩形的存在性问题

参考答案1. (2015 黑龙江省龙东地区) 如图,四边形OABC 是矩形,点A 、C 在坐标轴上,△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的,点D 在x 轴上,直线BD 交y 轴于点F ,交OE 于点H ,线段BC 、OC 的长是方程x2﹣6x+8=0的两个根,且OC >BC .(1)求直线BD 的解析式;(2)求△OFH 的面积;(3)点M 在坐标轴上,平面内是否存在点N ,使以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形?若存在,请直接写出点N 的坐标;若不存在,请说明理由.1. 分析: (1)解方程可求得OC 、BC 的长,可求得B 、D 的坐标,利用待定系数法可求得直线BD 的解析式;(2)可求得E 点坐标,求出直线OE 的解析式,联立直线BD 、OE 解析式可求得H 点的横坐标,可求得△OFH 的面积;(3)当△MFD 为直角三角形时,可找到满足条件的点N ,分∠MFD=90°、∠MDF=90°和∠FMD=90°三种情况,分别求得M 点的坐标,可分别求得矩形对角线的交点坐标,再利用中点坐标公式可求得N 点坐标.解答: 解:(1)解方程x 2﹣6x+8=0可得x=2或x=4,∵BC 、OC 的长是方程x 2﹣6x+8=0的两个根,且OC >BC , ∴BC=2,OC=4,∴B (﹣2,4),∵△ODE 是△OCB 绕点O 顺时针旋转90°得到的,∴OD=OC=4,DE=BC=2,∴D (4,0),设直线BD 解析式为y=kx+b ,把B 、D 坐标代入可得,解得,∴直线BD 的解析式为y=﹣x+;(2)由(1)可知E (4,2),设直线OE 解析式为y=mx ,把E 点坐标代入可求得m=,∴直线OE 解析式为y=x ,令﹣x+=x ,解得x=,∴H 点到y 轴的距离为,又由(1)可得F (0,),∴OF=,∴S △OFH =××=;(3)∵以点D 、F 、M 、N 为顶点的四边形是矩形,∴△DFM 为直角三角形,①当∠MFD=90°时,则M 只能在x 轴上,连接FN 交MD 于点G ,如图1,由(2)可知OF=,OD=4,则有△MOF ∽△FOD ,∴=,即=,解得OM=,∴M (﹣,0),且D (4,0),∴G (,0),设N 点坐标为(x ,y ),则=,=0,解得x=,y=﹣,此时N 点坐标为(,﹣);②当∠MDF=90°时,则M 只能在y 轴上,连接DN 交MF 于点G ,如图2,则有△FOD ∽△DOM ,∴=,即=,解得OM=6,∴M (0,﹣6),且F (0,),∴MG=MF=,则OG=OM ﹣MG=6﹣=,∴G (0,﹣),设N 点坐标为(x ,y ),则=0,=﹣,解得x=﹣4,y=﹣,此时N (﹣4,﹣);③当∠FMD=90°时,则可知M 点为O 点,如图3,∵四边形MFND 为矩形,∴NF=OD=4,ND=OF=,可求得N (4,);综上可知存在满足条件的N 点,其坐标为(,﹣)或(﹣4,﹣)或(4,). 2. (2015 重庆市綦江县) 如图,抛物线223y x x =-++与x 轴交与A ,B 两点(点A 在点B 的左侧),与y 轴交于点C . 点D 和点C 关于抛物线的对称轴对称,直线AD 与y 轴相交于点E .(1)求直线AD 的解析式;(2)如图1,直线AD 上方的抛物线上有一点F ,过点F 作FG ⊥AD 于点G ,作FH 平行于x 轴交直线AD 于点H ,求△FGH 的周长的最大值;(3)点M 是抛物线的顶点,点P 是y 轴上一点,点Q 是坐标平面内一点,以A ,M ,P ,Q 为顶点的四边形是AM 为边的矩形,若点T 和点Q 关于AM 所在直线对称,求点T 的坐标.答案解:⑴AD :1y x =+⑵过点F 作x 轴的垂线,交直线AD 于点M ,易证△FGH ≌△FGM故FGH FGM C C =△△设2(,23)F m m m -++则FM =2223(1)2m m m m m -++-+=-++则 C=212(1(1)2FM FM m +==-+-故最大周长为⑶①若AP 为对角线如图,由△PMS ∽△MAR 可得9(0,)2P 由点的平移可知1(2)2Q -,故Q 点关于直线AM 的对称点T 为1(0,)2- ②若AQ 为对角线如图,同理可知P 1(0,)2-由点的平移可知Q 7(2,)2故Q 点关于直线AM 的对称点T 为9(0,)2 3. (2016 山东省东营市) 】.】.在平面直角坐标系中,平行四边形ABOC 如图放置,点A 、C 的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),将此平行四边形绕点O 顺时针旋转90°,得到平行四边形A ′B ′OC ′.(1)若抛物线经过点C 、A 、A ′,求此抛物线的解析式;(2)点M 时第一象限内抛物线上的一动点,问:当点M 在何处时,△AMA ′的面积最大?最大面积是多少?并求出此时M 的坐标;(3)若P 为抛物线上一动点,N 为x 轴上的一动点,点Q 坐标为(1,0),当P 、N 、B 、Q 构成平行四边形时,求点P 的坐标,当这个平行四边形为矩形时,求点N 的坐标.分析(1)由平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°,得到平行四边形A ′B ′OC ′,且点A 的坐标是(0,4),可求得点A ′的坐标,然后利用待定系数法即可求得经过点C 、A 、A ′的抛物线的解析式;(2)首先连接AA ′,设直线AA ′的解析式为:y=kx+b ,利用待定系数法即可求得直线AA ′的解析式,再设点M 的坐标为:(x ,﹣x 2+3x+4),继而可得△AMA ′的面积,继而求得答案;(3)分别从BQ 为边与BQ 为对角线去分析求解即可求得答案.解答解:(1)∵平行四边形ABOC 绕点O 顺时针旋转90°,得到平行四边形A ′B ′OC ′,且点A 的坐标是(0,4),∴点A ′的坐标为:(4,0),∵点A 、C 的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),抛物线经过点C 、A 、A ′,设抛物线的解析式为:y=ax 2+bx+c ,∴,解得:,∴此抛物线的解析式为:y=﹣x 2+3x+4;(2)连接AA ′,设直线AA ′的解析式为:y=kx+b ,∴,解得:,∴直线AA ′的解析式为:y=﹣x+4,设点M的坐标为:(x,﹣x2+3x+4),则S△AMA′=×4×[﹣x2+3x+4﹣(﹣x+4)]=﹣2x2+8x=﹣2(x﹣2)2+8,∴当x=2时,△AMA′的面积最大,最大值S△AMA′=8,∴M的坐标为:(2,6);(3)设点P的坐标为(x,﹣x2+3x+4),当P,N,B,Q构成平行四边形时,∵平行四边形ABOC中,点A、C的坐标分别是(0,4)、(﹣1,0),∴点B的坐标为(1,4),∵点Q坐标为(1,0),P为抛物线上一动点,N为x轴上的一动点,①当BQ为边时,PN∥BQ,PN=BQ,∵BQ=4,∴﹣x2+3x+4=±4,当﹣x2+3x+4=4时,解得:x1=0,x2=3,∴P1(0,4),P2(3,4);当﹣x2+3x+4=﹣4时,解得:x3=,x2=,∴P3(,﹣4),P4(,﹣4);②当PQ为对角线时,BP∥QN,BP=QN,此时P与P1,P2重合;综上可得:点P的坐标为:P1(0,4),P2(3,4),P3(,﹣4),P4(,﹣4);如图2,当这个平行四边形为矩形时,点N的坐标为:(0,0)或(3,0).4. (2016 贵州省毕节地区) 如图,已知抛物线y=x2+bx与直线y=2x+4交于A(a,8)、B两点,点P是抛物线上A、B之间的一个动点,过点P分别作x轴、y轴的平行线与直线AB交于点C和点E.(1)求抛物线的解析式;(2)若C为AB中点,求PC的长;(3)如图,以PC,PE为边构造矩形PCDE,设点D的坐标为(m,n),请求出m,n之间的关系式.分析(1)把A点坐标代入直线方程可求得a的值,再代入抛物线可求得b的值,可求得抛物线解析式;(2)联立抛物线和直线解析式可求得B点坐标,过A作AQ⊥x轴,交x轴于点Q,可知OC=AQ=4,可求得C点坐标,结合条件可知P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标,从而可求得PC的长;(3)根据矩形的性质可分别用m、n表示出C、P的坐标,根据DE=CP,可得到m、n的关系式.解:(1)∵A(a,8)是抛物线和直线的交点,∴A点在直线上,∴8=2a+4,解得a=2,∴A点坐标为(2,8),又A点在抛物线上,∴8=22+2b,解得b=2,∴抛物线解析式为y=x2+2x;(2)联立抛物线和直线解析式可得,解得,,∴B点坐标为(﹣2,0),如图,过A作AQ⊥x轴,交x轴于点Q,则AQ=8,OQ=OB=2,即O为BQ的中点,当C为AB中点时,则OC为△ABQ的中位线,即C点在y轴上,∴OC=AQ=4,∴C点坐标为(0,4),又PC∥x轴,∴P点纵坐标为4,∵P点在抛物线线上,∴4=x2+2x,解得x=﹣1﹣或x=﹣1,∵P点在A、B之间的抛物线上,∴x=﹣1﹣不合题意,舍去,∴P点坐标为(﹣1,4),∴PC=﹣1﹣0=﹣1;(3)∵D(m,n),且四边形PCDE为矩形,∴C点横坐标为m,E点纵坐标为n,∵C、E都在直线y=2x+4上,∴C(m,2m+4),E(,n),∵PC∥x轴,∴P点纵坐标为2m+4,∵P点在抛物线上,∴2m+4=x2+2x,整理可得2m+5=(x+1)2,解得x=﹣1或x=﹣﹣1(舍去),∴P点坐标为(﹣1,2m+4),∴DE=﹣m,CP=﹣1﹣m,∵四边形PCDE为矩形,∴DE=CP,即﹣m=﹣1﹣m,整理可得n2﹣4n﹣8m﹣16=0,即m、n之间的关系式为n2﹣4n﹣8m﹣16=0.5. (2013 湖南省常德市) 如图,已知二次函数的图象过点A(0,-3),B(),对称轴为直线,点P是抛物线上的一动点,过点P分别作PM⊥x轴于点M,PN⊥y轴于点N,在四边形PMON上分别截取(1)求此二次函数的解析式;(2)求证:以C,D,E,F为顶点的四边形CDEF是平行四边形;(3)在抛物线上是否存在这样的点P,使四边形CDEF为矩形?若存在,请求出所有符合条件的P点坐标;若不存在,请说明理由.解:(1)设二次函数的解析式为,将点A(0,-3)、B()、对称轴方程分别代入可得:,解得∴此二次函数的解析式为.(2)证明:如图连接CD,DE,EF,FC.∵PM⊥x轴,PN⊥y轴,∴四边形OMPN是矩形.∴MP=ON,OM=PN.又∴∴△CMD△ENF,同理△ODE△FPC(SAS),∴CF=ED,CD=EF.,∴四边形CDEF是平行四边形.(3)如图,作CQ⊥y轴于点Q,设P点坐标为,则∴.∴在Rt△ECQ中,当CD⊥DE时,6.如图所示,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.(1)求抛物线的解析式;(2)如图所示,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点P作PE⊥BC于点E,作PF平行于x轴交直线BC 于点F,求△PEF周长的最大值;(3)已知点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,若点P是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由.【解答】解:(1)把A(﹣1,0),B(3,0)两点坐标代入抛物线y=ax2+bx﹣3,得到,解得,∴抛物线的解析式为y=x2﹣2x﹣3.(2)如图1中,连接PB、PC.设P(m,m2﹣2m﹣3),∵B(3,0),C(0,﹣3),∴OB=OC,∴∠OBC=45°,∵PF∥OB,∴∠PFE=∠OBC=45°,∵PE⊥BC,∴∠PEF=90°,∴△PEF是等腰直角三角形,∴PE最大时,△PEF的面积中点,此时△PBC的面积最大,则有S△PBC=S△POB+S△POC﹣S△BOC=•3•(﹣m2+2m+3)+•3•m﹣=﹣(m﹣)2+,∴m=时,△PBC的面积最大,此时△PEF的面积也最大,此时P(,﹣),∵直线BC的解析式为y=x﹣3,∴F(﹣,﹣),∴PF=,∵△PEF是等腰直角三角形,∴EF=EP=,∴C△PEF最大值=+.(3)①如图2中,当N与C重合时,点N关于对称轴的对称点P,此时思想MNQP是正方形,易知P(2,﹣3).点P横坐标为2,②如图3中,当四边形PMQN是正方形时,作PF⊥y轴于N,ME∥x轴,PE∥y轴.易知△PFN≌△PEM,∴PF=PE,设P(m,m2﹣2m﹣3),∵M(1,﹣4),∴m=m2﹣2m﹣3﹣(﹣4),∴m=或(舍弃),∴P点横坐标为所以满足条件的点P的横坐标为2或.。

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