图12-2xCOy ABD 11二次函数的存在性问题(面积问题)1、[08云南双柏]已知:抛物线y =ax 2+bx +c 与x 轴交于A 、B 两点,与y 轴交于点C ,其中点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,线段OB 、OC 的长(OB <OC )是方程x 2-10x +16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x =-2. (1)求A 、B 、C 三点的坐标;(2)求此抛物线的表达式;(3)求△ABC 的面积; (4)若点E 是线段AB 上的一个动点(与点A 、点B 不重合),过点E 作EF ∥AC 交BC 于点F ,连接CE , 设AE 的长为m ,△CEF 的面积为S ,求S 与m 之间的函数关系式,并写出自变量m 的取值范围;(5)在(4)的基础上试说明S 是否存在最大值,若存在,请求出S 的最大值,并求出此时点E 的坐标, 判断此时△BCE 的形状;若不存在,请说明理由.2、 [09湖南益阳]阅读材料:如图12-1,过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线,外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a ),中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h )”.我们可得出一种计算PABCAB 98SS =三角形面积的新方法:ah S ABC 21=∆,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题:如图12-2,抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0),交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式;(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点,连结PA ,PB ,当P 点运动到顶点C 时,求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ∆; (3)是否存在一点P ,使PABCAB98S S =若存在,求出P 点的坐标;若不存在,请说明理由.图13、[09吉林长春]如图,在直角坐标系中,矩形ABCD 的边AD 在y 轴正半轴上,点A 、C 的坐标分别 为(0,1)(2,4).点P 从点A 出发,沿A →B →C 以每秒1个单位的速度运动,到点C 停止;点Q 在x 轴上,横坐标为点P 的横、纵坐标之和.抛物线c bx x y ++-=241经过A 、C 两点.过点P 作x 轴的垂线, 垂足为M ,交抛物线于点R .设点P 的运动时间为t (秒),△PQR 的面积为S (平方单位).(1)求抛物线对应的函数关系式.(2分) (2)分别求t=1和t=4时,点Q 的坐标.(3分)(3)当0<t ≤5时,求S 与t 之间的函数关系式,并直接写出S 的最大值.(5分)4、(07云南昆明)如图,在直角坐标系中,点A 的坐标为(-2,0),连结OA ,将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°,得到线段OB 。
(1)求点B 的坐标;(2)求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式;(3)在(2)中抛物线的对称轴上是否存在点C ,使△BOC 的周长最小?若存在,求出点C 的坐标;若不存在,请说明理由;(4)如果点P 是(2)中的抛物线上的动点,且在x 轴的下方,那么△PAB 是否有最大面积?若有,求出此时P 点的坐标及△PAB 的最大面积;若没有,请说明理由。
答案1、[08云南双柏]解:(1)解方程x 2-10x +16=0得x 1=2,x 2=8∵点B 在x 轴的正半轴上,点C 在y 轴的正半轴上,且OB <OC ∴点B 的坐标为(2,0),点C 的坐标为(0,8) 又∵抛物线y =ax 2+bx +c 的对称轴是直线x =-2 ∴由抛物线的对称性可得点A 的坐标为(-6,0)∴A、B 、C 三点的坐标分别是A (-6,0)、B (2,0)、C (0,8) (2)∵点C (0,8)在抛物线y =ax 2+bx +c 的图象上∴c =8,将A (-6,0)、B (2,0)代入表达式y =ax 2+bx +8,得⎩⎪⎨⎪⎧0=36a -6b +80=4a +2b +8 解得⎩⎪⎨⎪⎧a =-23b =-83∴所求抛物线的表达式为y =-23x 2-83x +8(3)∵AB =8,OC =8∴S △ABC =12×8×8=32(4)依题意,AE =m ,则BE =8-m , ∵OA =6,OC =8, ∴AC =10 ∵EF ∥AC ∴△BEF ∽△BAC ∴EF AC =BE AB 即EF 10=8-m 8 ∴EF =40-5m 4过点F 作FG ⊥AB ,垂足为G ,则sin ∠FEG =sin ∠CAB =45∴FG EF =45 ∴FG =45·40-5m 4=8-m ∴S =S △BCE -S △BFE =12(8-m )×8-12(8-m )(8-m )=12(8-m )(8-8+m )=12(8-m )m =-12m 2+4m 自变量m 的取值范围是0<m <8 (5)存在. 理由:∵S =-12m 2+4m =-12(m -4)2+8 且-12<0,∴当m =4时,S 有最大值,S 最大值=8∵m =4,∴点E 的坐标为(-2,0) ∴△BCE 为等腰三角形. 2、 [09湖南益阳]解:(1)设抛物线的解析式为:4)1(21+-=x a y把A (3,0)代入解析式求得1-=a ,所以324)1(221++-=+--=x x x y 设直线AB 的解析式为:b kx y +=2 , 由3221++-=x x y 求得B 点的坐标为)3,0(把)0,3(A ,)3,0(B 代入b kx y +=2中解得:3,1=-=b k 所以32+-=x y (2)因为C 点坐标为(1,4) 所以当x =1时,y 1=4,y 2=2所以CD =4-2=232321=⨯⨯=∆CAB S (平方单位) (3)假设存在符合条件的点P ,设P 点的横坐标为x ,△PAB 的铅垂高为h , 则x x x x x y y h 3)3()32(2221+-=+--++-=-=由S △PAB =89S △CAB 得:389)3(3212⨯=+-⨯⨯x x 化简得:091242=+-x x 解得,23=x 将23=x 代入3221++-=x x y 中,解得P 点坐标为)415,23(3、[09吉林长春] 解:(1)由抛物线经过点A (0,1),C (2,4),得21,122 4.4c b c =⎧⎪⎨-⨯++=⎪⎩解得2,1.b c =⎧⎨=⎩ ∴抛物线对应的函数关系式为:21214y x x =-++. (2)当1t =时,P 点坐标为(1,1),∴Q 点坐标为(2,0).当4t =时,P 点坐标为(2,3),∴Q 点坐标为(5,0).(3)当0t <≤2时,211(211)124S t t =-++-⨯. S 218t t =-+.当2t <≤5时,1(5)(2212)2S t t =-+-+-. S 215322t t =-+-. (8分)当3t =时,S 的最大值为2. ···················· (10分) 4、(07云南昆明) 解:(1)过点B 作BD ⊥x 轴于点D ,由已知可得: OB =OA=2,∠BOD =60°在Rt △OBD 中,∠ODB =90°,∠OBD =30°∴OD =1,DB∴点B 的坐标是(1) (2)设所求抛物线的解析式为2y ax bx c =++,由已知可得:0420c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪-+=⎩解得:3a b c ===03∴所求抛物线解析式为233y x x =+ ――――――――4分 (3)存在由233y x x =+配方后得:2(1)33y x =+- ∴抛物线的对称轴为1x =- ――――――――6分∵点C 在对称轴1x =-上,△BOC 的周长=OB+BC+CO ; ∵OB=2,要使△BOC 的周长最小,必须BC+CO 最小,∵点O 与点A 关于直线1x =-对称,有CO=CA △BOC 的周长=OB+BC+CO =OB+BC+CA∴当A 、C 、B 三点共线,即点C 为直线AB 与抛物线对称轴的交点时,BC+CA 最小,此时△BOC 的周长最小。
设直线AB 的解析式为y kx b =+,则有:20k b k b ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩ 解得:33k b ==∴直线AB 的解析式为33y x =+――――――7分当1x =-时,y =∴所求点C 的坐标为(-1)―――――――8分(4)设P ()x y ,(200x y <<<-,),则2y x x =① 过点P 作PQ ⊥y 轴于点Q , PG ⊥x 轴于点G ,过点A 作AF ⊥PQ 轴于点F ,过点B 作BE ⊥PQ 轴于点E ,则PQ=x -,PG=y -,由题意可得:PAB AFP BEP AFEB S S S S △△△梯形=-- ――――――9分=111()222AF BE FE AF FP PE BE +⋅-⋅-⋅=111()(12)()(2)(1)222y y y x x y -++--+--=322y x -++ ②将①代入②,化简得:222PAB S x x -+△=-――――――10分=21)2x ++∴当12x =-时,△PAB 。
――――――11分此时11()42y =-=∴点P 的坐标为1(24--,――――――12分 (解法不唯一,其它解法参照此标准给分)。