选修2-1第三章空间向量检测题(一)时间：120分钟 总分：150分 第Ⅰ卷(选择题，共60分)1．已知向量a ＝(2，－3,5)与向量b ＝(3，λ，152)平行，则λ＝( )A.23B.92 C ．－92 D ．－23 2．在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→等于( )A.AD 1→B.AC 1→C.AD →D.AB →3．若向量a ＝(1，m,2)，b ＝(2，－1,2)，若cos 〈a ，b 〉＝89，则m的值为( )A ．2B ．－2C ．－2或255D ．2或－2554．已知空间向量a ＝(1,1,0)，b ＝(－1,0,2)，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量的坐标是( )A ．(0,1,2)B ．(0，－1，－2)C ．(0，15，25)D ．(0，－15，－25)5．已知A ，B ，C 三点不共线，对平面ABC 内任一点O ，下列条件中能确定M 与点A ，B ，C 一定共面的是( )A.OM →＝OA →＋OB →＋OC →B.OM →＝2OA →－OB →－OC →C.OM →＝OA →＋12OB →＋13OC →D.OM →＝13OA →＋13OB →＋13OC → 6.如图，已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，点G 在线段MN 上，且MG →＝2GN →，现用基向量OA →，OB →，OC →表示向量，设OG →＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则x ，y ，z 的值分别是( )A ．x ＝13，y ＝13，z ＝13B ．x ＝13，y ＝13，z ＝16C ．x ＝13，y ＝16，z ＝13D ．x ＝16，y ＝13，z ＝137.如图所示，已知三棱锥A －BCD ，O 为△BCD 内一点，则AO →＝13(AB →＋AC →＋AD →)是O 为△BCD 的重心的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，若ABCD 是边长为2的正方形，AA 1＝1，∠A 1AD ＝∠A 1AB ＝60°，则BD 1的长为( )A ．3 B.7 C.13 D ．9 9.如图所示，在直三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，AB ＝BC ＝AA 1，∠ABC ＝90°，点E ，F 分别是棱AB ，BB 1的中点，则直线EF 与BC 1所成的角是( )A ．45°B ．60°C ．90°D ．120°10．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥的体积最大时，直线BD 与平面ABC 所成的角的大小为( )A ．90°B ．60°C ．45°D ．30° 11.如图所示，在三棱锥P －ABC 中，∠APB ＝∠BPC ＝∠APC ＝90°，M 在△ABC 内，∠MPA ＝60°，∠MPB ＝45°，则∠MPC 的度数为( )A ．150°B ．45°C ．60°D ．120° 12．已知直二面角α－PQ －β，A ∈PQ ，B ∈α，C∈β，CA ＝CB ，∠BAP ＝45°，直线CA 和平面α所成的角为30°，那么二面角B －AC －P 的正切值为( )A ．2B ．3 C.12 D.13第Ⅱ卷(非选择题，共90分)二、填空题(每小题5分，共20分)13．已知四面体ABCD 中，AB →＝a －2c ，CD →＝5a ＋6b －8c ，AC ，BD 的中点分别为E ，F ，则EF →＝________.14．在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝30°，BC ＝1，AA 1＝6，M 是CC 1的中点，则异面直线AB 1与A 1M 所成角的大小为________．15．已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，ABCD 是边长为a 的正方形，AA 1＝b ，∠A 1AB ＝∠A 1AD ＝120°，则AC 1的长为________．16.如图，平面ABCD⊥平面ABEF，四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是矩形，且AF＝1 2 AD＝a，G是EF的中点，则GB与平面AGC所成角的正弦值为________．三、解答题(写出必要的计算步骤，只写最后结果不得分，共70分)17．(10分)已知A(1，－2,11)，B(6，－1,4)，C(4,2,3)，D(12,7，－12)，证明：A，B，C，D四点共面．18．(12分)如图，已知点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的体对角线BD1上，∠PDA＝60°.(1)求DP与CC1所成角的大小；(2)求DP与平面AA1D1D所成角的大小．19.(12分)如图所示，已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱CC1上的动点．(1)求证A1E⊥BD；(2)若平面A1BD⊥平面EBD，试确定E点的位置．20.(12分)如图，四边形PDCE 为矩形，四边形ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，AB ＝AD ＝12CD ＝a ，PD ＝2a .(1)若M 为PA 的中点，求证：AC ∥平面MDE ； (2)求平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小．21.(12分)如图所示，在四棱锥P －ABCD 中，底面ABCD 是矩形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AD ＝2，AB ＝1，BM ⊥PD 于点M .(1)求证AM ⊥PD ；(2)求直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值．22.(12分)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面是边长为23的菱形，且∠BAD＝120°，PA⊥平面ABCD，PA＝26，M，N分别为PB，PD的中点．(1)证明MN∥平面ABCD；(2)过点A作AQ⊥PC，垂足为点Q，求二面角A－MN－Q的平面角的余弦值．第三章单元质量评估(一)1．C ∵a ∥b ，∴b ＝m a (m ∈R )， ∴23＝－3λ＝5152，得λ＝－92. 2．A AB →＋BC →＋CC 1→－D 1C 1→＝AC 1→－D 1C 1→＝AC 1→＋C 1D 1→＝AD 1→.3．C a ·b ＝6－m ，|a |＝m 2＋5，|b |＝3，cos 〈a ，b 〉＝a ·b|a ||b |＝6－m 3m 2＋5＝89，解得m ＝－2或m ＝255. 4．D 由已知得a ＋b ＝(0,1,2)且|a ＋b |＝5，则与向量a ＋b 方向相反的单位向量为－15(0,1,2)＝(0，－15，－25)．故选D.5．D6．D 连接ON ，∵M ，N 分别是对边OA ，BC 的中点，∴OM →＝12OA →，ON →＝12(OB →＋OC →)， ∴OG →＝OM →＋MG →＝OM →＋23MN →＝OM →＋23(ON →－OM →)＝13OM →＋23ON →＝13×12OA →＋23×12(OB →＋OC →)＝16OA →＋13OB →＋13OC →，∴x ＝16，y ＝z ＝13.故选D. 7．C8．A BD 1→＝BA →＋AD →＋DD 1→＝BA →＋BC →＋BB 1→，|BD 1→|2＝BD 1→2＝(BA →＋BC →＋BB 1→)2＝|BA →|2＋|BC →|2＋|BB 1→|2＋2BA →·BC →＋2BA →·BB 1→＋2BC →·BB 1→＝4＋4＋1＋0＋2×2×1×(－12)＋2×2×1×12＝9，|BD1→|＝3，即BD 1的长为3.9．B以点B 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设各棱长为2，则E (0,1,0)，F (0,0,1)，C 1(2,0,2)，B (0,0,0)，则EF →＝(0，－1,1)，BC 1→＝(2,0,2)，∴cos 〈EF →，BC1→〉＝22·22＝12，∴〈EF →，BC1→〉＝60°，∴直线EF 与BC 1所成的角为60°.10．C 翻折后A ，B ，C ，D 四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC ⊥平面BAC ，设未折前正方形对角线的交点为O ，则∠DBO 即为BD与平面ABC 所成的角，大小为45°.11.C如右图所示，过M 作MH ⊥面PBC 于H ，则MH ∥AP ，∴∠MPH ＝30°，∴cos45°＝cos ∠HPB ·cos30°，∴cos ∠HPB ＝63，∴cos ∠HPC ＝33.又cos ∠HPC ·cos30°＝cos ∠MPC ，∴33×32＝cos ∠MPC ，∴∠MPC＝60°.12．A 在平面β内过点C 作CO ⊥PQ 于O ，连接OB .又α⊥β，则OC ⊥OB ，OC ⊥OA ，又CA ＝CB ，所以△AOC ≌△BOC ，故OA ＝OB .又∠BAP ＝45°，所以OA ⊥OB .以O 为原点，分别以OB ，OA ，OC 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系(如图)．不妨设AC ＝2，由∠CAO ＝30°，知OA ＝3，OC ＝1.在等腰直角三角形OAB 中，∠ABO ＝∠BAO ＝45°，则OB ＝OA ＝3，所以B (3，0,0)，A (0，3，0)，C (0,0,1)，AB →＝(3，－3，0)，AC →＝(0，－3，1)，设平面ABC 的法向量为n 1＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧n 1·AC→＝－3y ＋z ＝0n 1·AB→＝3x －3y ＝0，取x ＝1，则y ＝1，z ＝3，所以n 1＝(1,1，3)，易知平面β的一个法向量为n 2＝(1,0,0)，则cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝15×1＝55，又二面角B －AC －P 为锐角，由此可得二面角B －AC －P 的正切值为2.13．3a ＋3b －5c 解析：如图所示，取BC 的中点M ，连接EM ，MF ，则EF →＝EM →＋MF →＝12AB →＋12CD →＝12(a －2c )＋12(5a ＋6b －8c )＝3a ＋3b －5c .14.π2解析：由条件知AC ，BC ，CC 1两两垂直，如图，以C 为原点，CB ，CA ，CC 1分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则B (1,0,0)，A (0，3，0)，B 1(1,0，6)，M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，62，A 1(0，3，6)，∴AB1→＝(1，－3，6)， A 1M →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，－3，－62， cos 〈AB 1→，A 1M →〉＝0，∴〈AB 1→，A 1M →〉＝π2，即直线AB 1与A 1M 所成角为π2.15.2a 2＋b 2－2ab解析：设AB →＝a ，AD→＝b ，AA 1→＝c ，则|a |＝|b |＝a ，|c |＝b ，∴AC 1→＝AB →＋BC →＋CC 1→＝a ＋b ＋c ，∴|AC 1→|2＝(a ＋b ＋c )2＝2a 2＋b 2－2ab ，∴|AC 1→|＝2a 2＋b 2－2ab . 16.63解析：如图，以A 为原点建立空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (0,2a,0)，C (0,2a,2a )，G (a ，a,0)，F (a,0,0)，AG →＝(a ，a,0)，AC →＝(0,2a,2a )，BG→＝(a ，－a,0)， 设平面AGC 的一个法向量为n 1＝(x 1，y 1,1)，由⎩⎨⎧AG →·n 1＝0AC →·n 1＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ax 1＋ay 1＝02ay 1＋2a ＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝1y 1＝－1，故n 1＝(1，－1,1)．设GB与平面AGC 所成的角为θ，则sin θ＝|BG →·n 1||BG →||n 1|＝2a 2a ×3＝63.17．证明：AB →＝(5,1，－7)，AC →＝(3,4，－8)，AD →＝(11,9，－23)，设AD→＝xAB →＋yAC →， 得⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋3y ＝11x ＋4y ＝9－7x －8y ＝－23，解得x ＝1，y ＝2.所以AD →＝AB →＋2AC →，则AD →，AB →，AC →为共面向量，又AB →，AD →，AC →有公共点A ，因此A ，B ，C ，D 四点共面．18．解：如图，以D 为坐标原点建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则DA→＝(1,0,0)，CC 1→＝(0,0,1)，连接BD ，B 1D 1，在矩形BB 1D 1D 中，延长DP 交B 1D 1于H 点．设DH →＝(m ，m,1)(m >0)，〈DH →，DA →〉＝60°，则DA →·DH →＝|DA →||DH →|cos 〈DH →，DA →〉，可得2m ＝2m 2＋1，得m ＝22，所以DH →＝(22，22，1)． (1)cos 〈DH →，CC1→〉＝DH→·CC 1→|DH →||CC 1→|＝12，所以〈DH→，CC 1→〉＝45°，即DP 与CC 1所成的角为45°.(2)平面AA 1D 1D 的一个法向量为DC →＝(0,1,0)，cos 〈DH →，DC →〉＝DH →·DC →|DH →|·|DC →|＝12，所以〈DH →，DC →〉＝60°，故DP 与平面AA 1D 1D 所成的角为30°.19.(1)证明：如图所示，以D 为原点，DA →，DC→，DD 1→所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为a ，则A (a,0,0)，B (a ，a,0)，C (0，a,0)，A 1(a,0，a )，C 1(0，a ，a )，设E (0，a ，e )，则A 1E →＝(－a ，a ，e －a )，BD →＝(－a ，－a,0)，A 1E →·BD →＝－a ·(－a )＋a ·(－a )＋(e －a )·0＝0，∴A 1E →⊥BD →，则A 1E ⊥BD .(2)解：当E 为CC 1的中点时，平面A 1BD ⊥平面EBD .由题意可得DE ＝BE ，∴EO ⊥BD .同理A 1O ⊥BD ，∠A 1OE 为二面角A 1－BD －E 的平面角，EO ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a 2＝32a ，A 1O ＝a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫22a 2＝62a ，A 1E 2＝(2a )2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12a 2＝94a 2，∴EO 2＋A 1O 2＝94a 2＝A 1E 2，∴∠A 1OE ＝90°，∴平面A 1BD ⊥平面EBD .20．解：∵四边形PDCE 是矩形，且平面PDCE ⊥平面ABCD ，平面PDCE ∩平面ABCD ＝CD ，∴PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥DC ，又∠ADC ＝90°，∴PD ，AD ，DC 两两垂直．以D 为原点，分别以DA ，DC ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知，得D (0,0,0)，A (a,0,0)，P (0,0，2a )，E (0,2a ，2a )，C (0,2a,0)，B (a ，a,0)．(1)∵M 为PA 的中点，∴M (a2，0，2a2)，则AC →＝(－a,2a,0)，DM →＝(a 2，0，2a 2)，DE →＝(0,2a ，2a )．设平面MDE 的法向量为m ＝(x ，y ，z )，由题意得⎩⎨⎧m ·DM →＝0m ·DE →＝0，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2z ＝02y ＋2z ＝0，取m ＝(2,1，－2)．而AC →·m ＝(－a )·2＋2a ＋0＝0，且AC ⊄平面MDE ， ∴AC ∥平面MDE .(2)平面PAD 的一个法向量n 1＝(0,1,0)，PC →＝(0,2a ，－2a )，PB →＝(a ，a ，－2a )．设平面PBC 的法向量为n 2＝(x 0，y 0，z 0)，则有⎩⎨⎧n 2·PC→＝0n 2·PB→＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧2y －2z ＝0x ＋y －2z ＝0，取n 2＝(1,1，2)．设平面PAD 与PBC 所成锐二面角的大小为θ，则有cos θ＝|cos 〈n 1，n 2〉|＝|n 1·n 2|n 1|·|n 2||＝12，则θ＝60°，∴平面PAD 与平面PBC 所成锐二面角的大小为60°. 21．(1)证明：∵PA ⊥平面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴PA ⊥AB .∵AB ⊥AD ，AD ∩PA ＝A ，∴AB ⊥平面PAD . ∵PD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥PD .∵BM ⊥PD ，AB ∩BM ＝B ，∴PD ⊥平面ABM . ∵AM ⊂平面ABM ，∴AM ⊥PD .(2)解：如右图所示，以点A 为坐标原点，AB →，AD →，AP →所在的直线分别为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系Axyz ，则A (0,0,0)，P (0,0,2)，B (1,0,0)，C (1,2,0)，D (0,2,0)，M (0,1,1)，则AC →＝(1,2,0)，AM →＝(0,1,1)，CD→＝(－1,0,0)． 设平面ACM 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，由n ⊥AC →，n ⊥AM→可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2y ＝0，y ＋z ＝0，令z ＝1，得x ＝2，y ＝－1，∴n ＝(2，－1,1)．设直线CD 与平面ACM 所成的角为α，则sin α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪CD →·n |CD →||n |＝63，∴cos α＝33，∴直线CD 与平面ACM 所成的角的余弦值为33.22．(1)证明：连接BD ，因为M ，N 分别为PB ，PD 的中点，所以MN 是△PBD 的中位线，所以MN ∥BD .又因为MN ⊄平面ABCD ，所以MN ∥平面ABCD .(2)解法1：连接AC 交BD 于O ，以O 为原点，OC →，OD →所在直线为x 轴、y 轴，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝23，BD ＝3AB ＝6，又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AC ，在直角三角形PAC 中，AC ＝23，PA ＝26，AQ ⊥PC ，得QC ＝2，PQ ＝4.由此知各点坐标如下：A (－3，0,0)，B (0，－3,0)，C (3，0,0)，D (0,3,0)，P (－3，0,26)，M ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，－32，6，N ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，32，6，Q ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫33，0，263.设m ＝(x 1，y 1，z 1)为平面AMN 的一个法向量，AM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，－32，6，AN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，32，6，由m ⊥AM →，m ⊥AN →知⎩⎪⎨⎪⎧32x 1－32y 1＋6z 1＝0，32x 1＋32y 1＋6z 1＝0.取z 1＝－1，得m ＝(22，0，－1)．设n ＝(x 2，y 2，z 2)为平面QMN 的一个法向量，QM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－536，－32，63，QN →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－536，32，63.由n ⊥QM→，n ⊥QN→知⎩⎪⎨⎪⎧－536x 2－32y 2＋63z 2＝0，－536x 2＋32y 2＋63z 2＝0.取z 2＝5，得n ＝(22，0,5)．故cos 〈m ，n 〉＝m ·n |m ||n |＝3333，所以二面角A －MN －Q 的平面角的余弦值为3333.解法2：如图所示，在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，得AC ＝AB ＝BC ＝CD ＝DA ，BD ＝3AB .又因为PA ⊥平面ABCD ，所以PA ⊥AB ，PA ⊥AC ，PA ⊥AD ，所以PB ＝PC ＝PD ，所以△PBC ≌△PDC .而M ，N 分别是PB ，PD 的中点，所以MQ ＝NQ ，且AM ＝12PB ＝12PD ＝AN .取线段MN 的中点E ，连接AE ，EQ ，则AE ⊥MN ，QE ⊥MN ，所以∠AEQ 为二面角A －MN －Q 的平面角，由AB ＝23，PA ＝26，故在△AMN 中，AM ＝AN ＝3，MN ＝12BD ＝3，得AE ＝332.在直角三角形PAC 中，AQ ⊥PC ，得AQ ＝22，QC ＝2，PQ ＝4，在△PBC 中，cos ∠BPC ＝PB 2＋PC 2－BC 22PB ·PC ＝56，得MQ ＝PM 2＋PQ 2－2PM ·PQ cos ∠BPC ＝ 5.在等腰三角形MQN 中，MQ ＝NQ ＝5，MN ＝3，得QE ＝MQ 2－ME 2＝112.在△AEQ中，AE ＝332，QE ＝112，AQ ＝22，得cos ∠AEQ ＝AE 2＋QE 2－AQ 22AE ·QE ＝3333，所以二面角A －MN－Q 的平面角的余弦值为3333.。