1.若a ，b 均为非零向量，则a ·b ＝|a ||b |是a 与b 共线的____________条件．
解析：a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝|a ||b |⇔cos 〈a ，b 〉＝1⇔〈a ，b 〉＝0，当a 与b 反向时，不成立．
答案：充分不必要
2.对于向量a ，b ，c 和实数λ，下列命题中真命题是________(填序号)．
①若a ·b ＝0，则a ＝0或b ＝0；
②若λa ＝0，则λ＝0或a ＝0；
③若a 2＝b 2，则a ＝b 或a ＝－b ；
④若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c .
解析：①中若a ⊥b ，则有a ·b ＝0，不一定有a ＝0或b ＝0.
③中当|a |＝|b |时，a 2＝b 2，此时不一定有a ＝b 或a ＝－b .
④中当a ＝0时，a ·b ＝a ·c ，不一定有b ＝c .
答案：②
3.已知向量a ，b 满足条件：|a |＝2，|b |＝2，且a 与2b －a 互相垂直，则a 与b 的夹角为________．
解析：因为a 与2b －a 互相垂直，所以a ·(2b －a )＝0.
即2a ·b －a 2＝0.所以2|a ||b |cos 〈a ，b 〉－|a |2＝0，
所以cos 〈a ，b 〉＝22
，所以a 与b 的夹角为45°. 答案：45°
4.已知a ，b 均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a ＋3b |＝________． 解析：|a ＋3b |2＝(a ＋3b )2＝a 2＋6a ·b ＋9b 2＝13.
答案：13
[A 级 基础达标]
1.(2011·高考重庆卷)已知单位向量e 1，e 2的夹角为60°，则|2e 1－e 2|＝__________． 解析：|2e 1－e 2|2＝4e 21－4e 1·e 2＋e 22＝4－4×1×1×cos60°＋1＝3，∴|2e 1－e 2|＝ 3.
答案： 3
2.若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·a a ·b )b ，则向量a 与c 的夹角为__________． 解析：a ·c ＝a ·[a －(a ·a a ·b )b ]＝a ·a －(a ·a a ·b
)b ·a ＝a ·a －a ·a ＝0，∴a ⊥c . 答案：90°
3.已知三点A (1，－2，11)，B (4，2，3)，C (6，－1，4)，则三角形ABC 的形状是__________．
解析：AB →＝(3，4，－8)，BC →＝(2，－3，1)，AC →＝(5，1，－7)．
∴|AB →|＝89，|BC →|＝14，|AC →|＝75，
∴|AB →|2＝|BC →|2＋|AC →|2，
∴△ABC 是以角C 为直角的直角三角形．
答案：直角三角形
4.已知a ＝(x ，2，0)，b ＝(3，2－x ，x 2)，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是__________．
解析：cos 〈a ，b 〉＝3x ＋2（2－x ）x 2＋4 9＋（2－x ）2＋x
4，∵夹角为钝角，∴cos 〈a ，b 〉<0，且a ，b 不共线，∴3x ＋2(2－x )<0，∴x <－4.
答案：x <－4
5.设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为__________．
解析：a ·b ＝0，且a ，b ，c 均为单位向量，∴|a ＋b |＝2，|c |＝1，∴(a －c )·(b －c )＝a ·b
－(a ＋b )·c ＋c 2.设a ＋b 与c 的夹角为θ，则(a －c )·(b －c )＝1－|a ＋b ||c |cos θ＝1－2cos θ.
故(a －c )·(b －c )的最小值为1－ 2.
答案：1－ 2
6.
如图所示，已知空间四边形ABCD 的每条边和对角线长都等于1，点E 、F 分别是AB 、
AD 的中点，计算：
(1)EF →·BA →；(2)EF →·DC →.
解：(1)EF →·BA →＝12
BD →·BA → ＝12
|BD →|·|BA →|cos 〈BD →，BA →〉 ＝12×1×1×cos 60°＝14
. (2)EF →·DC →＝12
BD →·DC → ＝12|BD →|·|DC →|cos 〈BD →，DC →〉 ＝12×1×1×cos 120°＝－14
. 7.已知向量a ＝(4，－2，－4)，b ＝(6，－3，2)．求：
(1)a ·b ；(2)|a |；(3)|b |；(4)(2a ＋3b )·(a －2b )．
解：(1)a ·b ＝4×6＋(－2)×(－3)＋(－4)×2＝22.
(2)|a |＝a 2＝42＋（－2）2＋（－4）2＝6.
(3)|b |＝b 2＝62＋（－3）2＋22
＝7.
(4)(2a ＋3b )·(a －2b )＝2a 2＋3a ·b －4a ·b －6b 2
＝2×62－22－6×72＝－244.
8.已知a ＝(cos α，1，sin α)，b ＝(sin α，1，cos α)，则向量a ＋b 与a －b 的夹角是__________．
解析：∵|a |＝|b |＝2，且a ＋b 与a －b 是以a ，b 为邻边的正方形的两条对角线，∴a ＋b 与a －b 的夹角为90°.
答案：90°
9.在△ABC 中，已知AB →＝(2，4，0)，BC →＝(－1，3，0)，则∠ABC ＝__________．
解析：∵BA →＝(－2，－4，0)，BC →＝(－1，3，0)，
∴BA →·BC →＝2－12＋0＝－10，
|BA →|＝ （－2）2＋（－4）2＋0＝25，
|BC →|＝10.
∴cos 〈BA →，BC →〉＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝－1025×10
＝－2
2. ∴∠ABC ＝135°.
答案：135°
10.如图，已知E 是正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱C 1D 1的中点，试求向量A 1C 1→与DE →的
夹角的余弦值．
解：设正方体的棱长为m ，
AB →＝a ，AD →＝b ，AA 1→＝c ，
则|a |＝|b |＝|c |＝m ，
a ·
b ＝b ·
c ＝a ·c ＝0，
又∵A 1C 1→＝A 1B 1→＋B 1C 1→＝AB →＋AD →＝a ＋b ，
DE →＝DD 1→＋D 1E →＝DD 1→＋12D 1C 1→＝c ＋12
a ， ∴A 1C 1→·DE →＝(a ＋
b )·(
c ＋12a )＝12
m 2， 又∵|A 1C 1|＝2m ，|DE →|＝5m 2， ∴cos 〈A 1C 1→，DE →〉＝12m 22m ·52
m ＝1010. 11.(创新题)已知空间三点A (0，2，3)，B (－2，1，6)，C (1，－1，5)．
(1)求以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积；
(2)若|a |＝3，且a 与AB →，AC →均垂直，求向量a 的坐标．
解：(1)由题意，可得：AB →＝(－2，－1，3)，AC →＝(1，－3，2)，
∴cos 〈AB →，AC →〉＝AB →·AC →|AB →||AC →|
＝－2＋3＋614×14＝12. ∴sin 〈AB →，AC →〉＝32
. 所以，以AB →，AC →为邻边的平行四边形的面积为
S ＝|AB →||AC →|sin 〈AB →，AC →〉＝14×32
＝7 3. (2)设a ＝(x ，y ，z )．
由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＋z 2＝3，－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.
解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝1z ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，z ＝－1.
∴a ＝(1，1，1)或a ＝(－1，－1，－1)．。