答案：②③④
13．在平行六面体ABCD－EFGH中，已知M，N，R分别是AB，AD，AE上的点，且AM＝MB，AN＝ ND，AR＝2RE，求平面MNR分对角线AG所得线段AP与PG的比．
解析：如图，设 ＝m ，
∵ ＝ ＋ ＋ ＝2 ＋3 ＋ ，
∴ ＝2m ＋3m ＋ m .
由于P，M，R，N共面，∴2m＋3m＋ m＝1，
④若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0.
其中是真命题的序号是__________(把所有真命题的序号都填上)．
解析：根据共线向量的定义，若 ∥ ，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故①错； ∥ 且 ， 有公共点A，所以②正确；由于a＝4e1－ e2＝－4 ＝－4b，所以a∥b.故③正确；易知④也正确．
∵ ＝ ，∴ ＝ ＝ (－ ＋ ＋ )＝－ ＋ ＋ .
又∵ ＝ － ，∴ ＝－ ＋ ＋ .
∵ ＝m，∴ ＝m ＝－ ＋ ＋ .
∵ ＝－ ＋ ＝ － ＋ ，
∴ ＝ ＋ ＋ .
又∵B，G，P，D四点共面，∴1－ ＝0，即m＝ .
15．如图，平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BE＝ BB1，DF＝ DD1.
解析：因为点N为BC的中点，所以 ＝ ( ＋ )．
又 ＝ ，所以 ＝ － ＝ ( ＋ )－ ，
则 ＝ ＝ ( ＋ )－ ，
所以 ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )－ ＝ ＋ ＋ .
答案：D
12．有下列命题：
①若 ∥ ，则A，B，C，D四点共线；
②若 ∥ ，则A，B，C三点共线；
③若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－ e2，b＝－e1＋ e2，则a∥b；
＝ ＋ ( － )＝－ a＋ b＋c.
答案：A
4．已知空间向量a，b，且 ＝a＋2b， ＝－5a＋6b， ＝7a－2b，则一定共线的三点是()
A．A，B，DB．A，B，C
C．B，C，DD．A，C，D
解析：∵ ＝ ＋ ＝2a＋4b＝2 ，∴A，B，D三点共线．
答案：A
5．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是()
A. B. C. D．1
解析： ＝ ＋ ＋ ，则x＝1，y＝－ ，z＝ ，故选C.
答案：C
3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若 ＝a， ＝b， ＝c，则下列向量中与 相等的向量是()
A．－ a＋ b＋cB. a＋ b＋cC. a－ b＋cD．－ a－
∴四边形EFGH是梯形．
B组 能力提升
11．如图所示，已知三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG＝2GN.设 ＝x ＋y ＋z ，则x，y，z的值分别为()
A．x＝ ，y＝ ，z＝
B．x＝ ，y＝ ，z＝
C．x＝ ，y＝ ，z＝
D．x＝ ，y＝ ，z＝
课时作业(十七)空间向量的数乘运算
A组 基础巩固
1．若a与b不共线，且m＝a＋b，n＝a－b，p＝a，则()
A．m、n、p共线B．m与p共线
C．n与p共线D．m、n、p共面
解析：由于(a＋b)＋(a－b)＝2a，即m＋n＝2p，即p＝ m＋ n，又m与n不共线，所以m，n，p共面．
答案：D
2．在平行六面体ABCD－EFGH中，若 ＝x －2y ＋3z ，则x＋y＋z等于()
A. ＝3 －2 －
B. ＋ ＋ ＋ ＝0
C. ＋ ＋ ＝0
D. ＝ － ＋
解析：∵ ＋ ＋ ＝0，∴ ＝－ － ，∴M与A，B，C必共面．
答案：C
6．已知正方体ABCD－A1B1C1D1中， ＝ ，若 ＝x ＋y( ＋ )，则()
A．x＝1，y＝ B．x＝ ，y＝1
C．x＝1，y＝ D．x＝1，y＝
解析：∵A，B，C，D四点共面，
∴ ＝m ＋n ＋p ，且m＋n＋p＝1.
由条件知 ＝(－2x) ＋(－3y) ＋(－4z) ，
∴(－2x)＋(－3y)＋(－4z)＝1，
∴2x＋3y＋4z＝－1.
答案：－1
9．非零向量e1，e2不共线，使ke1＋e2与e1＋ke2共线的k的值是________．
解析：若ke1＋e2，e1＋ke2共线，则ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，所以 ∴k＝±1.
答案：±1
10．已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且 ＝ ， ＝ .求证：四边形EFGH是梯形．
证明：∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴ ＝ ， ＝ ， ＝ － ＝ －
＝ ( － )＝ ＝ ( － )
＝ ＝ ( － )＝ ，
∴ ∥ 且| |＝ | |≠| |.
(1)证明：A，E，C1，F四点共面；
(2)若 ＝x ＋y ＋z ，求x＋y＋z的值．
解：(1)证明：∵ABCD－A1B1C1D1是平行六面体，∴ ＝ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ， ＝ ，
∴ ＝ ＋ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋
＝ ＋ ＝ ＋ ＋ ＋ ＝ ＋ ，由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面．
(2)∵ ＝ － ＝ ＋ －( ＋ )＝ ＋ － － ＝－ ＋ ＋ ，又 ＝x ＋y ＋z ，∴x＝－1，y＝1，z＝ ，∴x＋y＋z＝ .
解析： ＝ ＋ ＝ ＋ ＝ ＋ ( ＋ )．所以x＝1，y＝ .
答案：D
7．化简 (a＋2b－3c)＋5 －3(a－2b＋c)＝__________.
答案： a＋ b－ c
8．已知O是空间中任意一点，A，B，C，D四点满足任意三点不共线，但四点共面，且 ＝2x ＋3y ＋4z ，则2x＋3y＋4z＝________.
从而得m＝ ，即 ＝ ，∴ ＝ .
14．如图，H为四棱锥P－ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝ HC，点G在AH上，AG＝mAH.四边形ABCD为平行四边形，若G，B，P，D四点共面，求实数m的值．
解析：连接BD，BG.
∵ ＝ － 且 ＝ ，
∴ ＝ － .
∵ ＝ ＋ ，∴ ＝ ＋ － ＝－ ＋ ＋ .