2．转角——梁上某一横截面在梁发生变形后，绕其中性轴转 动的角度 ，就称为该横截面的转角。
3．挠曲线方程——从图中我们可以看出：梁的轴线上每一点 的挠度y是随着点的位置x的改变而变化的，因此它是x的函数, 即：
y f x ——挠曲线方程
4．转角方程——由截面的平面假设可知：变形前垂直于轴线 的横截面，变形后仍垂直于挠曲线，故，当我们通过挠曲线上
§7-1 概述
*在上一章中，我们对各种截面梁中横截面上的应力，作 了比较详尽的介绍和分析，但是，对一根梁来说，它是不是只
要满足了应力要求，即强度条件，就能够使得整个构件正常，
安全的工作呢？为了回答这个问题，下面我们先看一看几个简 单的例子：
齿轮轴弯曲变形过大，就要影 响齿轮的正常啮合，加速齿轮 的磨损，产生较大的噪音。
任意一点C1作切线时，它与水平线的夹角 显然等于C1点所在 横截面的转角 ，于是：
挠曲线： y f x
任一点的斜率与转角之间的关系为： dy tg
dx
由于： 极其微小
tg
dy f ' x
dx
——转角方程
物理意义： 反应了挠度与转角之间的关系，即挠曲线上任意一点处切
二.讨论：
从（9-3）式可看到：在等式的右边有一个+号。到底是取 正号还是取负呢？
我们大家都知道，梁变形后的形状，不外乎<a><b>两种。 我们现在分别讨论：
<a>:在如图所示的坐标系中，显然 y'' 0 （因为 y'' 0 时，函数
出现极小值）而此时：M<0故，等式的右边应取“—”号， 即：
齿轮轴弯曲
吊车梁若变形过大，一方面会使 吊车在行驶过程中发生较大的振 动，另一方面使得吊车出现下坡 和爬坡现象。
吊车梁变形
* 从上面两个例子我们可看出：梁即使满足了强度条件，若变
形过大的话，它仍然不能够正常安全的工作。由此，我们可 以得出：要使梁正常安全的工作，一方面梁不仅要满足强度 条件，另一方面梁还必须满足一定的变形条件。只有在这两 方面同时得到满足的条件下，整个构件才能正常安全工作。
线的斜率等于该点处横截面的转角。
结论：由转角方程我们可看出：梁上某点处横截面的转角等于 f ' x 在该点处的大小。研究梁的变形的关键在于提出
挠曲线方程 y f x。
5．挠度，转角的正负号规定： 挠度：向下的挠度为正，向上的挠度为负 转角：顺时针的转向为正，逆时针的转向为负
目录
§7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分
yC AC ，转角C AC应该与CB段上C点的 挠度 yC CB，
转角 C CB 相等，即：
yC AC yC CB
C AC C CB
分别或同时利用上述两种条件就可以将积分常数确定出来。
第九章的内容就告诉了我们上面所提到的梁所必须满足 的变形条件以及计算这种弯曲变形的方法，下面我们首先来 看几个基本概念：
举例：如图所示：取梁变形前的轴线为x 轴，与 x 轴垂直的 为y 轴。弯曲变形后，在 xy 平面内，AB——弧AC1B，挠曲 线——平面曲线AC1B。
F
A
By
x
C1
x
1．挠度——梁的轴线上某一个点在垂直于x轴的方向（y方向） 所发生的位移。
如果这两个常数不知道的话，我们还是无从求出 和y。
下面我们还要对C、D进行确定：
四.积分常数的确定：
一般情况下，积分常数可通过梁的支座处的变形条件（称 为边界条件或支承条件）或梁的挠曲线的变形连续性条件来确 定。 1.变形条件：所谓变形条件，一般是指梁的支承处的变形特点， 如铰支座及连杆支座处的挠度为零。固定端处的挠度为零。见 下图：
y '' M x
EI Z
y '' 0
<b>：在如图所示的坐标系中，显然，此时函数出现了极大值 而此时：M>0
故等式的右边应取“—”号，即：y M x
EI Z
综上所述，得出： y '' M x
EI Z
——挠曲线的近似微分方程
三.积分：
对等截面梁来说：I Z 常量 故（9-3）可写成：
本章要点
（1）梁绕曲线近似微分方程 （2）叠加法求梁变形 （3）简单静不定梁的求解
重要概念
挠度、转角、边界条件、连续性条件、变形比较法
目录
§7-1 概 述 §7-2 梁的挠曲线近似微分方程用其积分 §7-3 用叠加法求梁的变形 §7-4 简单静不定梁的解法 §7-5 梁的刚度校核及提高梁的刚度措施 §7-6 梁内的弯曲应变能
一.挠曲线近似微分方程（的推导）
在上一章，讨论纯弯曲变形时，得出：梁纯弯曲时轴 线的曲率为：
1 M K EI Z
（a）
在横力弯曲中，我们知道梁的横截面上的内力除弯矩外， 还有剪力，但同时我们又知道：工程上常用的梁，由 于L（跨长）远大于h（横截面高度），剪力的影响很小， 可忽略不计。故我们仍可将其当作纯弯曲梁来处理。有(a) 式来表示曲率大小。但由于在横力弯曲中，曲率和弯矩都 是x的函数。故而应写为：
A
B
yA 0
yB 0
A
B
yA 0
yB 0
yA 0
A 0
yA 0
A 0
2.连续性条件：指梁被载荷分成几段时，我们将分段列出弯矩 方程，由于梁的挠曲线是一光滑连续曲线，所以段与段之间连 接处的挠度，转角在两段上的数值必须相等。
例如：<b>中c点为AC段与CB段的连接点，则AC段上C点的挠度
EI Z y '' M x
积分得：
EIZ y'' M xdx C
（9-4）
EIZ y M xdxdx Cx D
（9-5）
由此我们可看出：根据（9-4）（9-5）就可以把某点处截 面的转角和挠度求出来。
但由（9-4）（9-5）我们还看到，有两个积分常数C、D。
1
x
M x
EI Z
Kx
(b)
又：
1
x
y
1 y2
3 2
1
x
y
M x
EI Z
1 x
EI Z
(9-3)
——挠曲线近似微分方程
注:上式之所以称为梁的挠曲线近似微分方程，主要是略去 了剪力的影响和 y2 项的结果。
