第六章 梁的弯曲变形
工程中的很多结构或构件在工作时， 不但要满 足强度条件，同时对于弯曲变形都有一定的要求：
• 第一类是要求梁的位移不得超过一定的数值。例如 若机床主轴的变形过大，将会影响齿轮的正常啮合 以及轴与轴承的正常配合，造成不均匀磨损、振动 及噪音，缩短了机床的使用寿命，还影响机床的加 工精度。因此，在工程中进行梁的设计时，除了必 须满足强度条件之外，还必须限制梁的变形，使其 不超过许用的变形值。
• 第二类是要求构件能产生足量的变形。例如车辆钢 板弹簧，变形大可减缓车辆所受到的冲击；跳水起 跳板大变形，以确保运动员被弹起。
第六章 梁的弯曲变形
一、挠曲轴线近似微分方程
• 挠曲轴线：图示悬臂 梁在纵向对称面内的
外力 F的作用下，将
产生平面弯曲，变形 后梁的轴线将变为一 条光滑的平面曲线， 称梁的挠曲轴线。
就可求出挠度和转角。
挠度和转角的正负号的规定
挠度：与y轴正方向同向为正，反之为负； 转角：以逆时针方向转动为正，反之为负。
梁任一截面的曲率
1
(x)

M (x) EI
曲线 y f (x) 的曲率
1
(x)

(1
y y2 )3/2

M (x) EI
y f (x)
挠曲轴线方程 y f (x)
• 挠度：截面形心线位移的垂直分量称为该截面的 挠度，用 y 表示。
• 转角：横截面绕中性轴转动产生了角位移，此角
位移称转角，用 表示。小变形时，转角 很小，
则有以下关系：
tan y dy
dx
由此可知，只要知道梁的挠曲轴线方程 y f (x) ，
侧纤维受压，弯矩 M < 0，曲线的二阶导数 y<0；
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
结论
两种情况下弯矩与曲线的二阶导数均同号，微分 方程式应取正号，即：
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
梁的挠曲轴线近似微分方程的适用条件：梁的变 形是线弹性的小变形。
二阶小量
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
挠曲轴线 近似微分方程
y M (x) EI
微分方程弯矩M与曲线的二阶导数 y的正负号关系
1）如图a所示，梁的挠曲轴线是一下凸曲线，梁的下
侧纤维受拉，弯矩 M > 0，曲线的二阶导数 y > 0；
2）如图b所示，梁的挠曲轴线是一上凸曲线，梁的下