y=4x-2x,x∈[-1,1]的值域,令
2x=t,t∈
1
2,2
,y=t2-t=
������
-
1 2
21
1
-4,t∈ 2,2 ,值域是
1
- 4,2 ,
[ ]1
即 a 的取值范围是 - 4,2 .
高考加油，高考加油，高考加油
| ( )|π
6.方程 cos ������ + 2 =|log18x|的解的个数为 . 答案 12
(1)若函数 g(x)=f(x)+lg x2 有且仅有一个零点,求实数 m 的值;
[ ]1
(2)设 m>0,任取 x1,x2∈[t,t+2],若不等式|f(x1)-f(x2)|≤1 对任意 t∈ 9,1 恒成立,求 m 的取值
范围.
解析 (1)由题意知,g(x)=f(x)+lg x2=lg(mx2+2x),
意 x∈[1,2]恒成立,求实数 a 的取值范围.
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解析 (1)设 t=2x,由 f(x)-f(2x)>16-9×2x 得 t-t2>16-9t,即 t2-10t+16<0,
∴2<t<8,即 2<2x<8,∴1<x<3,∴该不等式的解集为(1,3).
[ ] ( ) (2)设
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{1
9.(2017 兴化第一中学高三月考)已知函数 f(x)=
2������2
ln������ + ������,x > 1,
5
- 2ax + a + 8,x ≤
若 g(x)=f(x)-2a 有 1,
三个零点,则实数 a 的取值范围是 .
( ]1 7
[ )9
答案 1,4 解析 画出当 x≥0 时 f(x)的图象,根据偶函数的图象关于 y 轴对称可得 x<0 时 f(x)的图象,由图
[ )9
象可得 m∈ 1,4 .
8.(2018 江苏盐城阶段检测)已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数,且 x>0 时, f(x)=ln x-x+1,则函数 g(x)=f(x)-ex(e 为自然对数的底数)的零点个数是 . 答案 2
1 1 - ������
解析 当 x>0 时, f(x)=ln x-x+1,则 f '(x)=������-1= ������ .由 f '(x)=0 得 x=1,且 x∈(0,1)时, f '(x)>0, f(x)单调递增,x∈(1,+∞)时, f '(x)<0, f(x)单调递减,当 x=1 时, f(x)有极大值 f(1),且 f(1)=0.又奇函数的图象关于原点对称,作出函数 f(x)与 y=ex 的图象如图,由图可知函数 f(x)与 y=ex 的图象的交点个数是 2,则函数 g(x)=f(x)-ex 的零点个数是 2.
12.已知函数 f(x)=2x(x∈R).
(1)解不等式 f(x)-f(2x)>16-9×2x;
(2)若函数 q(x)=f(x)-f(2x)-m 在[-1,1]上有零点,求实数 m 的取值范围;
(3)若函数 f(x)=g(x)+h(x),其中 g(x)为奇函数,h(x)为偶函数,若不等式 2ag(x)+h(2x)≥0 对任
y=f(x)在[1,6]上至少有 3 个零点.
5. 若函数 f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,则实数 a 的取值范围是 .
[ ]1
答案 - 4,2
解析 函数 f(x)=4x-2x-a,x∈[-1,1]有零点,即方程 a=4x-2x,x∈[-1,1]有解,则 a 的取值范围就
[ ] ( ) [ ] [ ] 是函数
题是 .
答案 函数 f(x)=x3-3ax2,若 f(x)在(0,+∞)上不是增函数,则 a>0
解析 将原命题的条件和结论否定,并互换位置即可.
{ lg������,������ > 0,
1
3.(2018 泰州模拟)已知函数 f(x)=
2������,x
≤
若 0,
f(m)=2,则
m= .
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第八节 函数与方程
课时作业练
{ 1.已知函数
f(x)=
2������ - 1,x ≤ 1 + log2x,x >
11,,则函数
f(x)的零点为 .
答案 0 解析 当 x≤1 时,由 2x-1=0 解得 x=0;当 x>1 时,方程 1+log2x=0 无解.所以函数 f(x)的零点为 0. 2.(2017 盐城伍佑中学期末)若方程 7x2-(m+13)x-m-2=0 的一个根在区间(0,1)上,另一个根在区
3 15
2, 4
,则
( ) 22������ + 2 - 2������ (2������ - 2 - ������)2 + 2 1
2
a≥-2(2������ - 2 - ������)=- 2(2������ - 2 - ������) =-2 ������ + ������ .
( ) [ ] ( ) 1 2
答案 10或-1
{ { 解析 f(m)=12⇔
������ > 0,
lg������
=
1或
2
������ ≤ 2������ =
0,
1
2,
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解得 m= 10或 m=-1.
( ) ������(4)
1
4.若
f(x)是幂函数,且满足 =4,则
������(2)
t=2x,∵x∈[-1,1],∴t∈
1
2,2
,则
f(x)-f(2x)=t-t2=-������-
1 2
21
+4,
[ ] 1
1
1
当 t=2时,[f(x)-f(2x)]max=4;当 t=2 时,[f(x)-f(2x)]min=-2.∴f(x)-f(2x)的取值范围是 - 2,4 .
[ ]1
函数 q(x)有零点等价于方程 f(x)-f(2x)-m=0 有解,∴m 的取值范围是 - 2,4 .
间(1,2)上,则实数 m 的取值范围是 .
答案 (-4,-2)
{ ������(0) = - ������ - 2 > 0,
解析 令 f(x)=7x2-(m+13)x-m-2,由题意得 ������(1) = - 8 - 2������ < 0,解得-4<m<-2.故实数 m 的取 ������(2) = - 3������ > 0,
{ 2������ - 2 - ������
解得
������(������)
=
2������
2 +2
-
,
������
ℎ(������) = 2 .
[ ] 2ag(x)+h(2x)≥0
即(2x-2-x)a+22������
+2 2
-
2������
≥0
对任意
x∈[1,2]恒成立,令
t=2x-2-x,则
t∈
f
2
= .
1
答案 4
( ) 解析 设 f(x)=xa(a 为常数).由
������������((42))=42������������=2a=4,解得 a=2,则 f(x)=x2,所以 f
答案 2,8
������ - 1
解析 当 x>1 时, f '(x)= ������2 >0, f(x)递增,则 g(x)有 3 个零点时,
1
g(1)=1-2a<0,a>2,且
2x2-2ax-a+58=0,x≤1
有两个不相等的实数根,则
{ ( ) ������ = 4������2 - 8
5
- ������ + 8 > 0,
������
2 < 1,
17
解得2<a≤8.
21
8 - 3a ≥ 0,
{1
10.已知函数 f(x)=-x2-2x,g(x)= ������ + 4������,x > 0, ������ + 1,������ ≤ 0.
(1)求 g(f(1))的值; (2)若方程 g(f(x))-a=0 有 4 个实数根,求实数 a 的取值范围. 解析 (1)∵f(1)=-12-2×1=-3, ∴g(f(1))=g(-3)=-3+1=-2. (2)令 f(x)=t, 则原方程可化为 g(t)=a. 易知方程 f(x)=t 仅在 t∈(-∞,1)时有 2 个不同的解, 则原方程有 4 个解等价于函数 y=g(t)(t<1)与 y=a 的图象有 2 个不同的交点, 作出函数 y=g(t)(t<1)的图象, 如图所示,
| ( )|π
解析 ∵ cos ������ + 2 =|log18x|,∴|sin x|=|log18x|, 作出函数 y=|sin x|与 y=|log18x|在(0,+∞)上的大致图象,如图所示.
高考复习参考资料
由图可知函数 y=|sin x|与 y=|log18x|的图象有 12 个交点,
| ( )|π
值范围是(-4,-2).
3
3.(2019 江苏南京多校高三模拟)已知函数 f(x)=lg x+2x-9 在区间(n,n+1)(n∈Z)上存在零点,则 n= .