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考情分析 典型例题 课后作业
微专题十四 函数与方程
【思维变式题组训练】 1. 已知函数 f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含 f(x)的零点的区间是________(填 序号)． ① (0,1) ② (1,2) ③ (
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(1) －13，1∪(1，＋∞) 解析：作函数图象(如图所示)，直线 y＝kx－k 过定点(1,0)， 当 y＝kx－k 过点－12，12时，直线的斜率最小即 k＝－13，当直线 y＝kx－k 与 y＝ x2－x(x>0)相切时有且仅有一个交点，交点即为切点(1,0)，k＝y′＝1，故函数 f(x) 与直线 y＝kx－k 至少有两个不同的交点时，k 的取值范围为－13，1∪(1，＋∞)， 即关于 x 的方程 f(x)＝kx－k 至少有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为 －13，1∪(1，＋∞)．
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2. 若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的 2 个零点是－1 和 2，则不等式 af(－2x)＞0 的解集是 _______． －1，12 解析：函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的两个零点是－1 和 2，即－1,2 是方程 x2 ＋ax＋b＝0 的两根，可得－1＋2＝－a，－1×2＝b，解得 a＝－1，b＝－2.f(x)＝ x2－x－2，af(－2x)＞0，即 4x2＋2x－2＜0，解得－1＜x＜12.
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图1
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图2
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【方法归类】 已知函数零点的个数，确定参数的取值范围，常用的方法和思路： (1) 直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数 范围． (2) 分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决，解法 2 就是此 法．它的本质就是将函数转化为一个静函数与一个动函数的图象的交点问题来加 以处理，这样就可以通过这种动静结合来方便地研究问题． (3) 数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象， 然后数形结合求解．这里采用方法是(1)和(3)的结合．
x>0， (其中 e 为自然对数的底数)有 3 个不同的
x3－3mx－2， x≤0
零点，则实数 m 的取值范围是________．
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(3) 已知函数 f(x)＝－ x，x3＋x3≥x20＋，t， x＜0， t∈R.若函数 g(x)＝f(f (x)－1)恰有 4 个不同的零点，则 t 的取值范围为________．
(1) 0，12 解析：先画出 y＝x2－2x＋12在区间[0,3]上的图象，再将 x 轴下方的图象 对称到 x 轴上方，利用周期为 3，将图象平移至区间[－3,4]内，即得 f(x)在区间[－ 3,4]上的图象如下图所示，其中 f(－3)＝f(0)＝f(3)＝0.5，f(－2)＝f(1)＝f(4)＝0.5. 函数 y＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有 10 个零点(互不相同)等价于 y＝f(x)的图象与直线 y＝a 有 10 个不同的交点，由图象可得 a∈0，12.
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9 解析：因为 f(x－2)＝f(x)，所以函数 y＝f(x)(x∈R)是周期为 2 函数．因为 x∈[－ 1,1]时，f(x)＝1－x2，所以作出它的图象，利用函数 y＝f(x)(x∈R)是周期为 2 函数， 可作出 y＝f(x)在区间[－5，6]上的图象，如图所示：
故函数 h(x)＝f(x)－g(x)在区间[－5,6]内的零点的个数为 9，故答案为 9.
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4. 函数 f(x)＝12|x－1|＋2cosπx(－4≤x≤6)的所有零点之和为________． 10 解析：可转化为求两个函数 y＝12|x－1|与 y＝－2cosπx 在[－4,6]上的交点的横坐 标的和，因为两个函数均关于 x＝1 对称，所以两个函数在 x＝1 两侧的交点对称， 则每对对称点的横坐标的和为 2，分别画出两个函数的图象，易知两个函数在 x＝ 1 两侧分别有 5 个交点，所以 5×2＝10.
(1,2] 解析：作出 f(x)的图象，函数 g(x)有 2 个零点相当于 y＝f(x)的图象与直线 y ＝m 有 2 个交点，结合图象可得 1<m≤2.
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(2) (1，＋∞) 解析：解法 1(直接法) 当 x>0 时，令 f(x)＝e－x－12＝0，解得 x＝ln2>0， 此时函数 f(x)有 1 个零点，因为要求函数 f(x)在 R 上有 3 个不同的零点，则当 x≤0 时，f(x)＝x3－3mx－2 有 2 个不同的零点．因为 f′(x)＝3x2－3m，令 f′(x)＝0，则 x2－m＝0，若 m≤0，则函数 f(x)为增函数，不合题意，故 m>0，所以函数 f(x)在(－ ∞，－ m)上为增函数，在(－ m，0]上为减函数，即 f(x)max＝f(－ m)＝－m m＋ 3m m－2＝2m m－2，f(0)＝－2<0，要使 f(x)＝x3－3mx－2 在(－∞，0]上有 2 个 不同的零点，则 f(x)max＝2m m－2>0，即 m>1，故实数 m 的取值范围是(1，＋∞)．
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2. 若函数 f(x)＝x2＋ax＋b 的 2 个零点是－1 和 2，则不等式 af(－2x)＞0 的解集是
_______．
4x－3，
x≥34，
(2) 3
解析：因为 f(f(x))＝|2f(x)－1|＝|2|2x－1|－1|＝－4x－4x＋1，3，14≤12≤ x<x12<，34，
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核心模块五 函数与导数 微专题十四 函数与方程
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考课 情时 分作 析业
在近三年的高考题中，函数与方程的考察必考点有填空题考察，也有解答题考察，
难度主要是以中档题为主．
年份
填空题
解答题
2017 T14考察函数的性质及函数的零点问题
2018
T19考察函数的零点问题
2019
T14 函数的零点问题
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典课 型时 例作 题业
目标 1 零点个数的判定 例 1 (1) 已知 f(x)是定义在 R 上且周期为 3 的函数，当 x∈[0,3)时，f(x)＝x2－2x＋12. 若函数 y＝f(x)－a 在区间[－3,4]上有 10 个零点(互不相同)，则实数 a 的取值范围是 ________． (2) 若函数 f(x)＝|2x－1|，则函数 g(x)＝f(f(x))＋lnx 在(0,1)上不同的零点个数为 ________．
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【思维变式题组训练】 1. 已知函数 f(x)＝2x2x－，2x≤x＋12，，x>1， 若关于 x 的函数 g(x)＝f(x)－m 有 2 个零点， 则实数 m 的取值范围是________．
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【思维变式题组训练】 1. 已知函数 f(x)＝6x－log2x，在下列区间中，包含 f(x)的零点的区间是________(填 序号)． ① (0,1) ② (1,2) ③ (2,4) ④ (4，＋∞)
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【方法归类】 用数形结合将方程的根转化为函数零点，需要画出 y＝f(x)的图 象．可用到以下方法： ① 用图象变换法则画复杂函数图象； ② 用求导得出较复杂函数的单调性，然后再画图象如 y＝lnxx； ③ 可以将原函数进行分离为两个较为简单的函数如方程 exlnx＝1 转化为 y＝lnx，y ＝1ex.
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目标 2 含参函数零点问题
x2－x，
x>0，
例 2 (1) 函数 f(x)＝12－12＋x， x≤0，
若关于 x 的方程 f(x)＝kx－k 至少有
2 个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围为________．
(2) 设函数 f(x)＝e－x－12，
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(3) [－4,0) 解析：当 x<0 时，有 f′(x)＝－3x2＋6x＝3x(2－x)，故函数 f(x)在区间(－ ∞，0)上单调递减，此时 f(0)＝t.当 t≥0 时，令 f(x)＝0 得，x＝0，从而当 g(x)＝f(f(x) －1)＝0 时，f(x)＝1，借助图象 1 知，此时至多两个零点，不符合题意；当 t<0 时， 令 f(x)＝0 得，x＝0 或 x＝m(m<0)，且－m3＋3m2＋t＝0，从而当 g(x)＝f(f(x)－1)＝ 0 时，f(x)－1＝0 或 f(x)－1＝m，即 f(x)＝1 或 f(x)＝1＋m，借助图象 2 知，欲使得 函数 g(x)恰有 4 个不同的零点，则 m＋1≥0，从而－1≤m<0.又因为 t(m)＝m3－3m2， 而 t′(m)＝3m2－6m>0，故 t(m)在区间[－1,0)上单调递增，从而 t∈[－4,0)．