x0
x
此极限为函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对x 的
偏导数，记为
z x
，f x x0 x
z ，
x x0
x
x x0 y y0
或
f x ( x0 ,
y0 ).
y y0
y y0
同理可定义函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 处对y
的偏导数， 为
lim f ( x0 , y0 y) f ( x0 , y0 )
1
1 x2
x2
y2
x x2
y2
y
x2 y2 ( xy)
| y|
( x2 y2 )3
x2
x
y2
sgn
1 y
( y 0)
z 不存在． y x0
y0
例 4 已知理想气体的状态方程 pV RT （R为常数），求证： p V T 1.
V T p
证
p
RT V
p V
RT V2
;
V RT V R; T pV T V ;
记作z x
，f x
，z
x
或
f
x
(
x
,
y
)
.
同理可以定义函数z f ( x, y)对自变量y 的偏导
数，记作z y
，f y
，z
y
或
f
y
(
x,
y
)
.
偏导数的概念可以推广到二元以上函数
如 u f (x, y,z) 在 (x, y,z) 处
fx(x, y,z)
lim
x0
f(x
x, y, z) x
但函数在该点处并不连续. 偏导数存在 连续.
4、偏导数的几何意义 设 M0( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z f ( x, y) 上一点, 如图
几何意义:
偏导数 f x ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面 y y0 所截得的曲线在点M0 处的切线M 0Tx 对x 轴的
y0
y
记为z y
，f x x0 y
，z y
x x0
x x0 y y0
或 f y ( x0 ,
y0 )
.
y y0
y y0
如果函数z f ( x, y)在区域D 内任一点
( x, y)处对x 的偏导数都存在，那么这个偏导数
就是x 、y 的函数，它就称为函数z f ( x, y)对
自变量x 的偏导数，
2z xy
f
xy
(
x,
y),
xLeabharlann z y2z yxf yx ( x, y)
混合偏导
定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶 偏导数.
例 5 设z x3 y2 3xy3 xy 1，
求2z x 2
、 2z yx
、 2z xy
、 2z y 2
及 3z x 3
.
解 z 3x2 y2 3 y3 y, z 2x3 y 9xy2 x;
z y
3x 2y .
z x
x 1 y2
2132 8 ,
z y
x 1 y2
3122 7 .
例 2 设z x y ( x 0, x 1)， 求证 x z 1 z 2z . y x ln x y
证
z yx y1,
x
z x y ln x, y
x z 1 z x yx y1 1 x y ln x
x
y
2z x 2
6
xy2
,
3z x 3
6
y2,
2z y 2
2x3
18xy;
2z xy 6x2 y 9 y2 1,
2z yx 6x2 y 9 y2 1.
观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导 函数图象间的关系：
原 函 数 图 形
偏 导 函 数 图 形
偏 导
导二 函阶
函
数混
数
图合
图 形
形偏
斜率.
偏导数 f y ( x0 , y0 ) 就是曲面被平面x x0 所截得的曲线在点M0 处的切线M0Ty对y 轴的
斜率.
二、高阶偏导数
函数z f ( x, y)的二阶偏导数为
x
z x
2z x 2
f xx ( x, y),
y
z y
2z y 2
f yy ( x, y)
纯偏导
y
z x
y x ln x y y
ln x
x y x y 2z.
原结论成立．
例 3 设z arcsin x ，求z ，z . x2 y2 x y
解
z x
1
1 x2
x2
y2
x x2
y2
x
x2 y2
y2
| y|
( x2 y2 )3
| x2
y
| y
2
.
( y2 | y |)
z y
f (x, y,z),
fy(x, y,z)
lim
y0
f ( x, y y, z) y
f (x, y,z),
f ( x, y, z z) f ( x, y, z)
fz
(
x,
y,
z)
lim
z0
z
.
例 1 求 z x2 3xy y2在点(1,2) 处的偏导数．
解
z 2x 3y ; x
相等？
定理 如果函数z f ( x, y)的两个二阶混合偏导数 2z 及 2z 在区域 D 内连续，那末在该区域内这 yx xy
两个二阶混合偏导数必相等．
例 6 验证函数u( x, y) ln x2 y2 满足拉普拉
斯方程
例 6 设u eax cosby ，求二阶偏导数.
解 u aeax cos by, x
2u x 2
a
2e ax
cos
by,
u beax sin by; y
2u y2
b2eax
cos
by,
2u abeax sin by, 2u abeax sin by.
xy
yx
问题：混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才
解
f
x
(0,0)
lim
x0
|
x0|0 x
0
f y (0,0).
３、偏导数存在与连续的关系
一元函数中在某点可导 连续，
多元函数中在某点偏导数存在
连续，
例如,函数
f
(
x,
y)
x
2
xy
y
2
,
0,
x2 y2 0
,
x2 y2 0
依定义知在(0,0)处， f x (0,0) f y (0,0) 0.
第十七章 多元函数微分学
§1 偏导数
一、偏导数的定义及其计算法
定义 设函数z f ( x, y)在点( x0 , y0 ) 的某一邻 域内有定义，当y 固定在y0 而x 在x0 处有增量 x 时，相应地函数有增量
f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 )，
如果 lim f ( x0 x, y0 ) f ( x0 , y0 ) 存在，则称
p T p
R p R
p V
V T
T p
RT V2
R V RT p R pV
1.
有关偏导数的几点说明：
１、 偏导数u 是一个整体记号，不能拆分; x
２、 求分界点、不连续点处的偏导数要用 定义求；
例如, 设z f ( x, y) xy , 求fx (0, 0), f y (0, 0).