第七章多元函数的微分学一、多元函数微分学网络图二、内容与要求1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。

2.了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上连续函数的性质。

3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。

4.掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

5.会求多元隐函数的偏导数。

6.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。

重点多元函数偏导数和全微分的概念，多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法。

用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

难点多元复合函数二阶偏导数的求法。

用拉格朗日乘数法求条件极值，求简单多元函数的最大值和最小值，解决一些简单的应用问题。

三、概念、定理的理解与典型错误分析1．求多元函数极限的方法（1）利用初等多元函数的连续性，即若是初等函数，在的定义域中，则注：所谓的初等多元函数就是用一个数学表达式给出的解析式.（2）利用多元函数极限的四则运算。

（3）转化为一元函数的极限，利用一元函数的极限来计算.（4）对于证明或求时，感觉极限可能时零，而直接又不容易证明或计算，这时可用夹逼定理，即而由夹逼定理知从而2．判断多元函数极限不存在的方法（1）选取两条特殊的路径，而函数值的极限存在，但不相等，则不存在。

注意：与的区别，前面两个本质是两次求一元函数的极限，我们称为求累次极限，而最后一个是求二元函数的极限，我们称为求二重极限。

例1而知不存在.例2在原点的两个累次极限都不存在，但是由于，因此.由例1知两个累次极限存在，但二重极限不存在，由例2知两个累次极限不存在，但二重极限存在，但我们有下面的结论。

定理7。

1 若累次极限和二重极限都存在，则三者相等。

（2）推论。

若存在且不相等，则不存在。

3．求多元函数的偏导数定义7.1 设在内有定义，且存在，则该极限值称为在点处对x的偏导数，记作或同理可给出的定义。

（1）多元函数的偏导数，本质就是求导数，例如，求时，视自变量为常数，本质上看成u是x的函数，这时一元函数的求导公式，四则运算，复合函数的求导都可以使用，但形式上要比求一元函数的导数复杂。

（2）求多元复合函数的偏导数需用下面定理定理7.2（复合多元函数的求偏导定理），若在处可微，在处的偏导数均存在，则复合函数在处的偏导数均存在且可用下面结构图表示：即就是u分别对那些是x函数的中间变量偏导再乘以这些中间变量对x偏导，然后再相加例如知例如上式称为全导数。

求复合多元函数偏导的思想一定要真正搞懂，否则在求复杂形式下的多元复合函数的偏导就容易出错。

4．多元函数全微分及全微分的一阶形式不变性定义7.2 若二元函数在点处的全增量可表示为其中A，B是与无关，而仅与x，y有关，则称在处可微，线性主部称为在处的全微分，记作，即设，不论u，v是自变量，还是中间变量，若可微，则换句话说，若可微，且则上式在求复杂多元函数的偏导数与全微时显得非常重要。

当然多元函数的偏导数与多元函数的全微分也有四则运算和一元情形完全类似，在这里就不再叙述了。

定理7.3 若在点处可微，则在点处连续，反之不成立。

定理 7.4 （可微的必要条件）若在点处可微，则在点处的两个偏导数均存在，反之不成立。

例3讨论在原点的可微性。

解由由的对称性知要验证函数在原点是否可微，只需看是否为零，由于由例1知此极限不存在，所以在点（0，0）处不可微。

此例说明偏导数存在，不一定可微。

定理7.5（可微的充分条件）若函数的偏导数在点处连续，则函数在点处可微，反之不成立。

例4证明函数于点（0，0）的领域中有偏导函数。

这些偏导数函数于点（0，0）处是不连续的且在此点的任何领域中是无界的；然而此函数于点（0，0）处可微。

解由于当时，令，于是由于当时，无界，故上述在点（0，0）处极限不存在，当然在（0，0）处不连续，且在此点的任何领域中是无界的.同理在点（0，0）处不连续，且在此点的任何领域中是无界的。

其中，再考虑在点（0，0）的可微性。

其中于是即，知在点（0，0）处可微。

定理7.6 若函数在点处可微，则u在处任意方向的方向导数都存在且（其中，的单位矢量）反之不成立。

例5证明函数在点（0，0）的沿任意方向的导数都存在。

但在点（0，0）的全微分不存在。

解设由同理而极限存在但不为0，因此在点（0，0）处不可微。

定理7.7 若函数的二阶偏导数都在点处连续，则例6设函数求解由于从而同理可求，因此从这里可以看出注：此例说明一般情况下例7 证明函数在点（0，0）处的两个偏导数存在，但在点（0，0）处不连续。

解由同理可求即在点（0，0）处的两个偏导数存在。

由当k取不同实数值时，极限不相同，所以在点（0，0）处极限不存在，当然也不连续。

通过以上分析，我们可得到多元函数在一点连续，偏导数存在，可微，方向导数存在，偏导函数在该点连续，这些概念有下面的关系，我们以在点处为例。

在点任意的方向导数都存在注：这里“”表求推出，“”表示推不出，能推出的，都是定理，推不出的，我们都举了反例。

5．多元函数的极值与最大（小）值（1）定义7.3 设函数在点的某区域内有定义，，当时，都有（或），则称为极大（或极小）值。

点称为f的极大（或极小）值点，极大值、极小值统称为极值。

极大值点、极小值点统称为极值点。

极值点一定包含在多元函数的驻点或偏导数不存在点之中（若，称为驻点或稳定点）。

对于驻点是否为极值点，我们有下面的判断方法：定理7.8（极值的充分条件）设函数在点的某区域存在连续的二阶偏导数。

如果，设，则（1）当时，一定为极值，并且当A（或C）>0时，为极小值；当A（或C）<0时，为极大值。

（2）当时，不是极值。

（3）当时，还不能断点是否为极值，需进一步研究。

对于偏导数不存在的点，只有根据定义判断是否为极值点。

（2）求带有条件限制的最大（小）值问题，统称为条件极值，可用拉格朗日乘数法去解决。

即求在约束条件限制下的最大值或最小值方法是（1）作拉格朗日函数其中称为拉格朗日乘数。

（2）若是函数的最大（小）值点，则一定存在m个常数，使是函数L的稳定点，因此函数f的最大（小）值点一定包含在拉格朗日函数L的稳定点前几个坐标所构成的点之中，在具体应用时，往往可借助于物理意义或实际经验判断所得点是否为所求的最大（小）值点。

（3）有界闭区域上的连续函数一定能取到最大值与最小值，且最大值与最小值点一定包含在区域内部的稳定点或内部偏导不存在点或边界函数值最大与最小点之中.把这些怀疑点求出来，其中函数值的最大值就是区域上的最大值、最小值就是区域上的最小值，而边界上的最大与最小值点可用拉格朗日乘数法去求。

四、解题方法与题例1．讨论多元函数极限与连续例1求解原式,由（k常数），知原式=0.例2求解由于而由夹逼定理知原式=0.例3讨论的连续性。

解（i）当时，由于是初等多元函数，在点有意义知在点连续。

（ii）当时，由于且，根据夹逼定理知知在点（0，0）处连续，故在全平面上连续。

例4讨论的连续性。

解（i）当时，由于是初等多元函数，在点有意义，知在点连续。

（ii）当时，由于知在点（0，0）处不连续，因此在时连续。

例5求解由不等式且，根据夹逼定理知原式=0。

例6解原式=例7求解由为初等多元函数且在（1，0）处有意义，知在（1, 0）处连续。

故原式=例8求解由于而而根据夹逼定理知故原式=例9求解由于知不存在。

2．多元函数的偏导数与全微分求有三种方法：（1）按定义；（2）求导函数，然后把代入；（3）求偏导函数，然后把代入。

求同样也有三种方法：（1）按定义；（2）求导函数，然后把；（3）求偏导函数，然后把代入。

例10设函数，求解法一先求出偏导函数于是解法二用偏导数定义解法三例11设函数，求z的所有一阶及二阶偏导数。

解例12设，求解由x，y地位对称，知而于是例13设，其中函数二阶可导，具有连续二阶偏导，求解例14设其中f具有二阶连续偏导数，g具有二阶连续导数，求解例15设函数在点（1，1）处可微，且，求解例16设，其中f有二阶连续偏导数，求解由对称性得于是例17设，求解注意：这里例18设方程确定，求. 解由方程确定，方程两边对x求偏导得方程两边关于y求偏导，得从而于是将代入上式，经化简整理，得例19设，其中为可微函数，求解由题意知方程确定方程两边对y求偏导，得解得例20设是由方程所确定的二元函数，求解将方程两端取微分得整理后得所以例21由方程确定求解法一由条件知方程两边对x求偏导得（1）把代入（1）得即方程两边对y求偏导得（2）把代入（2）得，即故解法二方程两边取微分得将代入上式得即例22设，其中F具有连续偏导数，且求证解由题意知方程确定方程两边取微分，得有根据微分运算，有合并同类项两边同除以得于是例23设确定且F具有连续偏导数，求解把y看成方程两边关于求x偏导，得解得由x，z的对称性，得例24设是由方程和所确定的函数，其中f 和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数，求解分别在和的两端对x求导，得整理后得由克拉默法则解得例25设求解由题意知，方程组确定隐函数组方程组两边对u求偏导，得利用克拉默法则，解出例26设求解由题意知方程组确定隐函数方程组两边取微分，有把看成未知的，解得有同理，我们还可以求出，从而得到例27设且f具有连续的一阶偏导数。

（1）如果则u仅是和的函数；（2）如果则u仅是r的函数。

证（1）只要证，即u仅是和的函数故u仅是和的函数。

（2）只要证由于由得代入上式有故u仅是r的函数。

例28某养殖场饲养两种鱼，若甲种鱼放养x（万尾），乙种鱼放养y（万尾），收获时两种鱼的收获量为和，求使产鱼总量最大的放养数。

解设产鱼总数为z，则由极值的必要条件，得方程组由于，知其系数行列式，故方程组有唯一解记有且因此Z在处有极大值，即最大值。

容易验证，且综上所述，和分别为所求甲和乙两种鱼的放养数。

例29求二元函数在由直线，x轴和y轴所围成的闭区域D上的极值，最大值与最小值。

解由方程组得及点（4, 0），（2, 1）。

点（4, 0）及线段在D的边界上，只有点（2, 1）在D内部，可能是极值点。

在点（2, 1）处，因此点（2, 1）是的极大值点，极大值在D的边界及上，在边界上，，代入中得由得在边界上对应处Z值分别为：因此知在边界上最大值为0，最小值为，将边界上最大值和最小值与驻点处的值比较得，在闭区域D上的最大值为最小值为例30求函数在区域上的最大值与最小值。

解由于是有界闭区域，在该区域上连续，因此一定能取到最大值与最小值。

（1）解方程组得由于即不在区域D内，舍去。