解：椭圆 关于点 对称的椭圆方程为 ，
将这两个椭圆方程相减： ，
整理得 ，即为所求的切线方程
已知点 是椭圆 上的任意一点，则椭圆的切线方程为
证明：当切线的斜率存在时，设过点 的切线方程为
联立方程组
消 得
化简，得
由韦达定理
即
将 代入 ，得 即
即
当切线的斜率不存在时，过点 的切线方程显然满足上式
综上，椭圆的切线方程为
设双曲线 方程： ，则方程（ ）：
．
当 时，其斜率 ，因渐近线斜率为 ，若 或 ，
则 或 从而 ，与 在双曲线 上，满足 矛盾，故直线 与双曲线的渐近线不平行；
又当 时，双曲线 的切线方程为 ，也满足方程（ ），从而知方程（ ）为双曲线 的切线方程．
（3）当 表示抛物线时，只要断定直线 与抛物线的对称轴不平行，就能证明直线 就是切线，方程（ ）为其切线方程．
2（2008山东理）如图，设抛物线方程为 ， 为直线 上任意一点，过 引抛物线的切线，切点分别为 ．
（Ⅰ）求证： 三点的横坐标成等差数列；
（Ⅱ）已知当 点的坐标为 时， ．求此时抛物线的方程；
（Ⅲ）是否存在点 ，使得点 关于直线 的对称点 在抛物线 上，其中，点 满足 （ 为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点 的坐标；若不存在，请说明理由．
解：（Ⅰ）证明：由题意设 ．
由 得 ，得 ，所以 ， ．因此直线 的方程为 ，
直线 的方程为 ．所以 ，① ．②
由①、②得 ，因此 ，即 ．
所以 三点的横坐标成等差数列．
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，当 时，将其代入①、②并整理得：
， ，所以 是方程 的两根，
因此 ， ，又 ，所以 ．
由弦长公式得 ．
又 ，所以 或 ，因此所求抛物线方程为 或 ．
因 点在直线 上，故 点也在直线 上，可见直线 与曲线 有三个公共点，这与直线与二次曲线最多只有两个公共点矛盾，从而证明了直线 与曲线 有且只有一个公共点．
（1）当 表示椭圆时，由于椭圆是封闭曲线，直线 就是切线，方程（ ）即为切线方程．
（2）当 表示双曲线时，只要断定直线 与双曲线的渐近线不平行，就能证明直线 就是切线，方程（ ）为其切线方程．
3过椭圆 上一点 切线方程为 ；
证明：（1） 的两边对 求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 ，即 。
解： 的两边对 求导，得 ，得 ，由点斜式得切线方程为 即 即
4当 在椭圆 的外部时，过 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
证明：设过椭圆 外一点 引两条切线，切点分别为 、 。由（1）可知过 、 两点的切线方程分别为： 、 。又因 是两条切线的交点，所以有 、 。观察以上两个等式，发现 、 满足直线 ，所以过两切点 、 两点的直线方程为 。
（Ⅲ）解：设 ，由题意得 ，
则 的中点坐标为 ，设直线 的方程为 ，
由点 在直线 上，并注意到点 也在直线 上，
代入得 ．若 在抛物线上，则 ，因此 或 ．即 或 ．
（1）当 时，则 ，此时，点 适合题意．
（2）当 ，对于 ，此时 ，
，又 ， ，
所以 ，即 ，矛盾．
对于 ，因为 ，此时直线 平行于 轴，又 ，设抛物 的方程： ，则方程（ ）： ．
当 时，其斜率 ，故直线 与抛物线 的对称轴不平行；又当 时，抛物线 的切线方程为 ，也满足方程（ ），从而知方程（ ）为抛物线 的切线方程．
综上所述，方程（ ）为圆锥曲线 上过 点的切线方程．
下面用此命题给出的方法解决本文一开始提出的问题．
求过椭圆 上一点 的切线方程．
所以直线 与直线 不垂直，与题设矛盾，
评注：因 在椭圆 上的位置（在椭圆上或椭圆外）的不同，同一方程 表示直线的几何意义亦不同。
5过双曲线 上一点 切线方程为 ；
6当 在双曲线 的外部时，过 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为： 。（证明同上）
7过圆锥曲线 （A，C不全为零）上的点 的切线方程为 ；
8当 在圆锥曲线 （A，C不全为零）的外部时，过 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
15过抛物线 上一点 切线方程为 ；
16过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 。
过圆锥曲线上一点的切线方程的另一种初等求法
命题： 为圆锥曲线 上一点，则曲线 上过 点的切线方程为 （ ）
证明：因 为二次曲线方程，知方程（ ）代表的是一条直线，记为 ．假设直线 与曲线 除了点 外还有一个公共点 ，则有 和 同时成立，从而 ，这表明 关于点 的对称点 也在曲线 上，
圆锥曲线的切线方程
1经过圆 上一点 的切线方程为 ；
当 在圆外时，过 点引切线有且只有两条，过两切点的弦所在直线方程为 。
2 若P( , )是圆 上的点,则过点P( , )的切线方程为
若P( , )是圆 外一点, 由P( , )向圆引两条切线, 切点分别为A,B则直线AB的方程为
切线长公式：若P( , )是圆 外一点,由P( , )向圆引两条切线, 切点分别为A、B
1．(2013山东，理11)抛物线C1：y＝ (p＞0)的焦点与双曲线C2： 的右焦点的连线交C1于第一象限的点M.若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p＝()．
A． B． C． D．
解析：设M ， ，故在M点处的切线的斜率为 ，故M .由题意又可知抛物线的焦点为 ，双曲线右焦点为(2,0)，且 ， ，(2,0)三点共线，可求得p＝ ，故选D.
证明：（1）两边对 求导，得
得 ，由点斜式得切线方程为
化简得 ………………….①
因为 …………………………………………………②
由①－②×2可求得切线方程为：
（2）同联想一（2）可证。结论亦成立。
过曲线上的点 的切线方程为：把原方程中的 用 代换， 用 代换。若原方程中含有 或 的一次项，把 用 代换， 用 代换，得到的方程即为过该点的切线方程。当点 在曲线外部时，过 引切线有两条，过两切点的弦所在直线方程为：
9过抛物线 上一点 切线方程为 ；
10过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为：
11过抛物线 上一点 切线方程为 ；
12过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 。
13过抛物线 上一点 切线方程为 ；
14过抛物线 的外部一点 引两条切线，过两切点的弦所在直线方程为： 。