工程力学系
第六章 弯曲内力
轴力图和剪力图可画在杆轴的任意一侧，但必须注明正负
号。弯矩图画在杆件受压一侧，不必再标正负。
FA
1 2
qa
FD
1 2
qa
FHD qa
B
AB段：FN
( x1 )
1 2
qa
(0
x1
a)
x3 C
刚结点
FQ (x1) qx1(0 x1 a)
M
(x1 )
1 2
qx12(0
x1
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-3 如图受集中力偶 M e作用的简支梁，设 M e、a、b 及 l 均
为已知，试绘梁的剪力图与弯矩图。
FA
x1 x2
解 1.求支反力
FB
FA
Me l
FB
Me l
2.列剪力与弯矩方程式
AC段： FQ
( x1 )
FA
Me l
(0 x1 a)
M (x1)
CB段：
FA x1
a)
x1
DC段：FN (x2 )
1 2
qa (0
x2
a)
FQ (x2 ) qa (0 x2 a)
FA
qa
x2
FHD
FD
M (x2 ) qax2(0 x2 a)
CB段：FN (x3) qa (0 x3 a)
FQ (x3 )
1 2
qa
(0
x3
a)
M
( x3 )
qa2
1 2
qx3(0
x3
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-5 叠加法作弯矩图
例6-6 如图外伸梁，已知：q 、l 、F ql ，按叠加法画弯矩图。
M max
3 ql 2 16
工程力学系
§6-6 平面曲杆的弯曲内力
2F
m
n
F
第六章 弯曲内力
FN F sin 2F cos F(sin 2cos) FQ F sin 2F cos F(sin 2cos) M 2Fa(1 cos) Fa sin Fa(2 2cos sin)
M F1(x a) FA x 0 M FA x F1(x a)
FQ —— 剪力 M —— 弯矩
工程力学系
第六章 弯曲内力
剪力符号:当剪力使微段梁绕微段内任一点沿顺时针方向转动 时规定为正号，反之为负。
弯矩符号:当弯矩使微段梁凹向上方时规定为正号，反之为负。
工程力学系
第六章 弯曲内力
平面弯曲：1、作用在梁上的所有外力到在纵向对称面内 2、梁的轴线变形后仍是这个纵向对称面内的曲线
其它截面形式：
工程力学系
4、梁的分类： ① 简支梁
② 外伸梁 ③ 悬臂梁 ④ 中间铰梁
⑤ 超静定梁
第六章 弯曲内力
工程力学系 §6-2 剪力与弯矩
第六章 弯曲内力
M FQ 弯曲内力
FA F1 FQ 0 FQ FA F1
a)
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-4 载荷集度 剪力和弯矩之间的关系
一、q 、FQ 和M 之间的微分关系
dx
Fy 0
FQ (x) [FQ (x) dFQ (x)] q(x)dx 0
MC 0
M
(
x)
[M
(
x)
dM
(
x)]
FQ
(
x)dx
q(
学系
第六章 弯曲内力
Fy 0 FA FQ1 0 MC1 0 FA 1 M1 0
FQ1 1.5kN M1 1.5kN m
3. Ⅱ－Ⅱ截面的剪力和弯矩。
Fy 0
FQ2 q 1 0
MC2 0 M2 q 1 0.5 0
FQ2 2kN
M2 1kN m
M
为负号，表示
2
M
2
的实际方向与（c）中所示相反
引起拉伸变形的轴力为正； 使对杆内任一点的矩为顺时针的剪力为正； 使轴线曲率增加的弯矩为正； 弯矩画轴线的法线方向，并画在杆件受压一侧。
工程力学系
第六章 弯曲内力
第六章 弯曲内力
§6-1 概述 §6-2 剪力与弯矩 §6-3 剪力与弯矩方程 剪力图与弯矩图 §6-4 载荷集度 剪力和弯矩间的关系 §6-5 叠加法作弯矩图 §6-6 平面曲杆的弯曲内力
工程力学系 §6-1 概述
一、平面弯曲的概念
第六章 弯曲内力
受力特点：轴线平面内受到外力偶或垂直于轴线方向的力
例6-1 如图受集中力及均布载荷作用的外伸梁，试求截面
Ⅰ－Ⅰ、Ⅱ－Ⅱ上的剪力和弯矩。
FA
FB
(a)
解 1.求支反力
MB 0 MA 0
FA 4 F 2 q 21 0 F 2 FB 4 q 21 0
FA 1.5kN FB 7.5kN
工程力学系
第六章 弯曲内力
2.计算Ⅰ－Ⅰ截面的剪力和弯矩。
la FA l F
FB
a l
F
2.列剪力与弯矩方程式
AC段：FQ (x1)
FA
l
l
a
F
(0 x1 a)
M (x1 ) FA x1
CB段：
l
l
a
Fx1
(0
x1
a)
FQ (x2 )
FB
a l
F
(a x2 l)
M
( x2
)
a l
F (l
x2
)
(a x2 l)
3.画剪力图与弯矩图
结论1：集中力作用点，剪力图有突变，弯矩图有转折。
Me l
x1
(0 x1 a)
FQ (x2 )
FA
Me l
(a x2 l)
M
(x2 )
Me l
(l
x2
)
(a x2 l)
3.画剪力图与弯矩图
结论2：集中力偶作用点，剪力图无改变，弯矩图有突变。
工程力学系
第六章 弯曲内力
例6-4 如图受均布载荷 q 作用的简支梁，q、l 均为已知，试绘
梁的剪力图与弯矩图。
FA
FB
解 1.求支反力
FA 7kN FB 5kN
7kN
3kN 2kN
1kN
5m
20kN m
G 20.5kN m
3kN 16kN m
6kN m
6kN m
2.分段画剪力图与弯矩图
FQC (7 41)kN 3kN FQD (1 41)kN 3kN MC 20kN m MG 20.5kN m M D 16kN m M B 6kN m
FA
x1
解 1.求支反力
FB
FA
1 2
ql
1 FB 2 ql
2.列剪力与弯矩方程式
FQ
(x)
1 2
ql
qx
(0 x l)
M (x) ql x q x2 22
(0 x1 l)
3.画剪力图与弯矩图
dM (x) ql qx 0
x l
dx 2
2
ql 2
M max 8
结论3：均布载荷下，剪力图为斜直线，弯矩图为抛物线。
dFQ (x) q(x) d2M (x)
dx
dx 2
dM (x) dx FQ (x)
1、q(x) 0，Q 图是平行于 x 轴的直线，M图是斜直线。
2、FQ (x) 0 ，此截面上 M 取极值
3、雨伞法则
q q
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二、q 、FQ 和 M 之间的积分关系
第六章 弯曲内力
在仅有q(x) 作用时，
变形特点：轴线弯曲成曲线
——弯曲变形
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第六章 弯曲内力
二、梁的计算简图及其分类 1、构件本身的简化：
不论截面形状，全部用轴线代替梁
2、载荷的简化：
① 集中力
② 集中力偶
3、支座类型和支反力：
③ 集中力
① 固定铰支座
Fy Fx
② 活动铰支座
Fy
③ 固定端 Fy
Fx M
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第六章 弯曲内力
工程力学系
第六章 弯曲内力
§6-3 剪力与弯矩方程 剪力图与弯矩图
剪力方程 弯矩方程
Q(x) M (x)
剪力图 弯矩图
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第六章 弯曲内力
例6-2 如图受集中力 F 作用的简支梁，设 F 、l 及 a 均为已知
试列出剪力方程式与弯矩方程式，并绘剪力图与弯矩图。
x1
FA
x2
解 1.求支反力
FB
FQ (x2 ) FQ (x1)
x2 q(x)dx
x1
M (x2 ) M (x1)
x2 x1
FQ
(x)dx
在 x x1 和 x x2
两截面上的剪力之差，等于两截面间分布载荷图的面积，
两截面上的弯矩之差，等于两截面间剪力图的面积。
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第六章 弯曲内力
例6-5 外伸梁所受载荷如图,画梁的剪力图和弯矩图。