如何证明是向量空间
向量空间证明解题的基本方法：
1)在立体几何图形中，选择适当的点和直线方向建立空间直角坐标系中
2)若问题中没有给出坐标计算单位，可选择合适的线段设置长度单位;
3)计算有关点的坐标值，求出相关向量的坐标;
4)求解给定问题
证明直线与平面垂直的方法是在平面中选择二个向量，分别与已知直线向量求数积，只要分别为零，即可说明结论。
证明直线与平面平行的关键是在平面中寻找一个与直线向量平行的向量。
这样就转化为证明二个向量平行的问题，只要说明一个向量是另一向量的m(实数)倍，即可
只要多做些这方面的题，或看些这方面的例题，也会从中悟出经验和方法
2
解：
因为x+y+z=0
x=-y-z
y=y+0xz
z=0xy+z
(x,y,z)=(-1，1，0)xy+(-1，0，1)xz
y,z为任意实数
则：(-1，1，0);(-1，0，1)是它的一组基，维数为2(不用写为什么是2)
步骤1
记向量i，使i垂直于AC于C，△ABC三边AB,BC,CA为向量a,b,c
∴a+b+c=0
则i(a+b+c)
=i·a+i·b+i·c
=a·cos(180-(C-90))+b·0+c·cos(90-A)
=-asinC+csinA=0
接着得到正弦定理
其他
步骤2.
在锐角△ABC中，设BC=a,AC=b,AB=c。
篇二:《空间向量在几何证明题解法》
空间向量在几何体中例题
1如图，在四棱椎P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD=DC,E、F分别是AB、PB的中点。
（1）求证：EF⊥CD；
（2）证明：PA//平面DEF
3．已知四棱锥P ABCD的底面为直角梯形，AB//DC，
DAB90,PA底面ABCD，且PA AD DC 1
2
，
AB1，M是PB的中点。
（Ⅰ）证明：面PAD面PCD；（Ⅱ）求AC与PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC与面BMC所成二面角的大小。
{如何证明是向量空间}.
16．（本题满分14分）求ax+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件。
2
6．（本题满分14分）解:若方程有一正根和一负根，等价于x1x2
1
0a＜0a
Δ44a02若方程有两负根，等价于0a 1
0 a
0＜a≤1
综上可知，原方程至少有一负根的必要条件是a＜0或0＜a≤1
由以上推理的可逆性，知当a＜0时方程有异号两根；当0＜a≤1时，方程有两负根
2
故a＜0或0＜a≤1是方程ax+2x+1=0至少有一负根的充分条件2
所以ax+2x+1=0（a≠0）至少有一负根的充要条件是a＜0或0＜a≤1 5．如图，在长方体ABCD A1B1C1D1，中，AD AA,AB2，点E在
棱AD上移11（1）证明：D1E A1D；
（2）当E为AB的中点时，求点E到面ACD1的距离；（3）AE等于何值时，二面角D1EC D的大小为
.4
解：以D为坐标原点，直线DA,DC,DD1分别为x,y,z轴，
建立空间直角坐标系，设AE x，则A,0,1),D1(0,0,1),E(1,x,0),A(1,0,0),C(0,2,0)1(1
（1）因为DA,0,1),(1,x,1)0,所以DA1D1.1,D1(1
（2）因为E为AB的中点，则E(1,1,0)，从而D1E(1,1,1),AC(1,2,0)，
n AC0,
AD1(1,0,1)，设平面ACD1的法向量为(a,b,c)，则
AD10,
a2b0a2b
也即，得，从而n(2,1,2)，所以点E到平面ACD1的距离为
a c0a c
h
2121
.33
（3）设平面D1EC的法向量(a,b,c)，∴
CE(1,x2,0),D1C(0,2,1),DD1(0,0,1),
n D1C0,2b c0由令b1,c2,a2，x a b(x2)0.0,
∴n(2x,1,2).依题意cos
4
1
222
.
222(x2) 5
∴x12（不合，舍去），x22 3.
∴AE2D1EC D的大小为{如何证明是向量空间}.
.4
6．如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为矩形，PD底面ABCD，E是AB上
一点，PF EC.已知PD
2,CD2,AE
1,2
求（Ⅰ）异面直线PD与EC的距离；
D（Ⅱ）二面角E PC的大小.
解：（Ⅰ）以D为原点，、、分别为
x,y,z轴建立空间直角坐标系.
由已知可得D(0,0,0),PC(0,2,0)设A(x,0,0)(x0),则B(x,2,0),
113
E(x,,0),(x,,2),(x,,0).由PE CE得0，
222
即x
2
313
0,故x.由DE CE(,,0)(,,0)0得DE CE，422222
又PD DE，故DE是异面直线PD与CE的公垂线，易得||1，故异面直线
PD,CE的距离为1.
（Ⅱ）作DG PC，可设G(0,y,z).由0得(0,y,z)(0,2,2)0即z
2y,故可取(0,1,2),作EF PC于F，设F(0,m,n)，
则(
31,m,n).22
31
,m,n)(0,2,2)0,即2m12n0，22
2212
m2,故m1,n,EF(,,).22222
由0得(
又由F在PC上得n
因,,故E PC D的平面角的大小为向量与的夹角.故cos
7．如图：ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD，M、N分别是PC、AB中点，
求证：MN⊥平面PCD.(12分)
2,,即二面角E PC D的大小为.244
设AP a,AB b,AD c,则{a,b,c}为空间的一个基底.
11111
则MN AN AM b(AP AC)b(a b c)(a c)
22222DC AB b,PD c a,PA矩形ABCD PA AB,PA AD,且AB AD a b0,b c0,c a0
11
(a c)b(a b c b)0;22111
MN PD(a c)(c a)(|c|2|a|2(|AD|2|AP|2)0; 222
MN DC,MN PD,又DC PD D,MN平面PCD.故MN DC 8．如图2，正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为a
，求AC1与侧面ABB1A1所{如何证明是向量空间}.
成的角．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，{如何证明是向量空间}.
a{如何证明是向量空间}.
则A(0，0，，0)B(0，a，，0)A1(0)，C12．
，0，0)是面ABB1A1的法向量，
由于n( 1
AC1·n1cosAC1，n AC1，n60°．
2AC1n
故AC1与侧面ABB1A1所成的角为30°．
9．如图3，直三棱柱ABC A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，侧棱AA，D，E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是△ABD的重心G，求1 2
点A1到平面AED的距离．
解：建立如图所示的空间直角坐标系，设CA2a，
2a2a1
0，，0)B(0，2a，，0)D(0，0，，1)A1(2a，0，，2)E(a，a，，1)G．则A(2a，
333
aa2
BD(0，2a，1)．从而GE，
333
·BD0，得a1，由GE BD GE
0，，2)A(2，0，，0)E(111)，，．则A1(2，
0)，自A1作A1H面AED于M，并延长交xOy面于H，设H(x，y，则A1H(x2，y，2)．又AD(2，01)，，AE(111)，，．
，AH AD，2(x2)20，x 1
，，0)．由1得H(11
y1，AH AE(x2)y20
1cosA1A，A1H2又A1
M
A1AcosA1A，A1M A1A
2
10．（本题满分15分）直线l：y kx1与双曲线C：3x
y1相交于不同的
A、
B两
点。
（1）求AB的长度；
（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过坐标第原点？若存在，求出k的值；若不存在，写出理由。
2
内容仅供参考。