xAEyC NhomakorabeaBC(0, a,0), D(0,0,0), S(0,0, b) E(a, a ,0), F (0, a , b )., EF ? (? a,0, b )
2
22
2
设平面 SAD的法向量为 n ? (x, y, z), DA ? (a,0,0), DS ? (0,0, b)
?
??n ?DA ? ?
? / /? ? u / /v ? u ? kv
m
b
解决这些问题,首先必须适当建立空间坐标 系,然后进行坐标化。
检测自学效果
(1)直线l, m的方向向量分别为a ? (1,2,?1),b ? (2,4, ?2),则直线l, m的位置关系为平__行___.
(2)已知 A(1,0,1)，B (0,1,1)，C (1,1,0),求平面 ABC的一个
D1
证明：以A为坐标原点建立空间坐标系如图，
设正方体棱长为1，则
B1
C1
A(0,0,0), B(1,0,0), C (1,1,0), D(0,1,0)
A
Dy
A1(0,0,1), B1(1,0,1),C1 (1,1,1),D1(0,1,1) B 设平面CB1D1的法向量为n ? (x, y, z), x
? n ? A1B, n ? A1D 即n也是平面A1BD的法向量。
? 平面A1BD / /平面CB1D1
归纳：运用空间向量的知识来证明平行问题 的步骤
1.在空间图形中建立适当的空间直角坐标系。 ---即寻找三条两两垂直且相交于一点的直线， 若有，则建立满足右手系的空间直角坐标系； 若没有，则需要作辅助线。
B
A O
M A
N
D C
2.写出空间图形中各点的空间坐标。
3.利用空间向量的关系来证明相关的平行问题 .
当堂训练
E
1.如图，已知正方形ABCD
M
与矩形ACEF所在的平面互相
F
垂直，AB= 2，AF=1,M是EF C
B
的中点.求证：AM//平面BDE.
D
2.如图，四棱锥O-ABCD 中， 底面ABCD 是边长为1的菱形， ∠ABC=45 0,OA⊥底面ABCD, OA=2,M 为OA 的中点，N为BC 的中点. 求证：MN//平面OCD
点拨、提高与归纳
z
S
例题1:在四棱锥S-ABCD 中, 底面ABCD
为正方形，侧棱 SD⊥底面ABCD,E,F 分
F
别是AB,SC 的中点.求证:EF// 平面SAD.
证明：以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系. D
设AD ? a, SD ? b, 则A(a,0,0), B(a, a,0),
C
CB1 ? (0, ? 1, ? 1),CD1 ? (? 1,0,1).
?
??n ?CB1 ? ?
?y?
z
?
0 ,
令z
? 1,则n ?
(1,1,1)
?n ?CD1 ? ? x ? z ? 0
在平面A1BD中，A1B ? (1,0, ? 1), A1D ? (0,1, ? 1)
n?A1B ? 1?1? 1? 0 ? 1? (?1)? 0 n ?A1D ? 1? 0 ? 1? 1? 1? (?1) ? 0
jchay
2.立体几何中的平行关系的向量表示
设直线l, m的方向向量分别为a，b ，平面? ，?
的法向量分别为 u，v ，则有以下结论：
(1)线线平行：
a
l / /m ? a / /b ? a ? kb l
u
(2)线面平行：
? v
l / /? ? a ? u ? a ?u ? 0
(3)面面平行：
?
ax ? 0 ,
令y ? 1,则n ?
(0,1,0)
?n ?DS ? bz ? 0
EF ?n ? ? a ? 0 ? 0 ? 1 ? b ? 0 ? 0 2
? EF ? n
? EF / /平面SAD.
例题2:在正方体ABCD-A 1B1C1D1 中，求证：平面 A1BD// 平面CB 1D1
z
A1
法向量. 解：设平面ABC的一个法向量为 n ? (x, y, z).
可求得 AB ? (? 1,1,0), BC ? (1,0,? 1)
n ? AB, n ? BC
?
?? n ?AB ? ?
?x?
y? 0 ,
取x ? 1,则y ? z ? 1
? n ?BC ? x ? z ? 0
? 平面 ABC 的一个法向量为 n ? (1,1,1)