例1当x取何值时， 的值最小？最小值是多少？
分析由二次根式的非负性可知 的最小值为0，因为3是常数，所以 的最小值为3.
解：∵
∴ ，
∴当9x+1=0，即 时， 有最小值，最小值为3.
【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即 ≥0（a
【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用 这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.
2、 中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值， 一定有意义；
3、化简 时，先将它化成 ，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六： 与 的异同点
1、不同点： 与 表示的意义是不同的， 表示一个正数a的算术平方根的平方，而 表示一个实数a的平方的算术平方根；在 中 ，而 中a可以是正实数，0，负实数。但 与 都是非负数，即 ， 。因而它的运算的结果是有差别的， ，而
八年级二次根式(教师讲义带答案)
第五章 二次根式
【知识网络】
知识点一：二次根式的概念
形如 （ ）的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以 是 为二次根式的前提条件，如 ， ， 等是二次根式，而 ， 等都不是二次根式。
解：由二次根式的定义及分式性质，得
【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.
例5化简
【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质
例6已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8所示，化简
解：由a，b，c在数轴上的位置可知：
【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简.
规律·方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法”.
知识点二：取值范围
1.二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≧0时， 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2.二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时， 没有意义。
知识点三：二次根式 （ ）的非负性
（ ）表示a的算术平方根，也就是说， （ ）是一个非负数，即 0（ ）。
3．二次根式的混合运算
(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；
(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用.
要点诠释：
怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.
1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；
2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；
3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.
(1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简.
2、相同点：当被开方数都是非负数，即 时， = ； 时， 无意义，而 .
知识点七：二次根式的运算
1．二次根式的乘除运算
(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.
(2)注意知道每一步运算的算理；
(3)乘法公式的推广：
2．二次根式的加减运算
先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；
常用的二次根式的有理化因式：
（1） 互为有理化因式；
（2） 互为有理化因式；一般地 互为有理化因式；
（3） 互为有理化因式；一般地 互为有理化因式.
专题总结及应用
一、知识性专题
专题1二次根式的最值问题
【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解.
例如 ，没有必要先对 进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算， ，通过约分达到化简目的；
(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用.
如： ，利用了平方差公式.
所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化.
4．分母有理化
把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.
知识点四：二次根式（ ） 的性质
（ ）
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式 （ ）是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若 ，则 ，如： ， .
知识点五：二次根式的性质
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简 时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即 ；若a是负数，则等于a的相反数-a,即 ；
例2下列计算正确的是（）
分析根据具体选项，应先进行化简，再计算. A选项中，
B选若可化为 ，C选项逆用平方差公式可求得 ，而D选项应将分子、分母都乘 ，得 .故选A.
例3计算 的结果是（）
分析本题可逆用公式（ab）m=ambm及平方差公式，将原式化为
故选D.
例4书知 .
分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x的值应使分式有意义.
注：因为二次根式 （ ）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数（ ）的算术平方根是非负数，即 0（ ），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0；若 ，则a=0,b=0。