第五章二次根式【知识网络】知识点一：二次根式的概念形如…（）的式子叫做二次根式。

注：在二次根式中，被幵方数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以是J为二次根式的前提条件，如J，& I,二「’等是二次根式，而J ，丿厂■等都不是二次根式。

知识点二：取值范围1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a± 0时，" 有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被幵方数大于或等于零即可。

2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a< 0时, ■■ 没有意义。

知识点三：二次根式二（』匚）的非负性^:）表示a的算术平方根，也就是说，门（二/ ）是一个非负数，即Z 10 （“ _「）。

注：因为二次根式二）表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数, 0的算术平方根是0,所以非负数（）的算术平方根是非负数，即「上0 （），这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。

这个性质在解答题目时应用较多，如若，则a=0,b=0 ;若八」，则a=0,b=0 ;若“、-，则a=0,b=0。

知识点四：二次根式（厂）：的性质文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。

注：二次根式的性质公式）是逆用平方根的定义得出的结论。

上面的公式也可以反过来应用：若心：，则如：—w.知识点五：二次根式的性质文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。

注：1化简爲「时，一定要弄明白被幵方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0,则等于a本身，即&二；若a是负数，则等于a的相反数-a,2、中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a取何值，='一定有意义；3、化简勺丁时，先将它化成’，再根据绝对值的意义来进行化简。

知识点六：、'与打的异同点1不同点：二八与表示的意义是不同的，表示一个正数a的算术平方根的平方，而“'表示一个实数a的平方的算术平方根；在中^ ：|，而中a可以是正实数，0,负实数。

但-、宀与都是非负数，即'，&兰°。

因而它的运算的结果是有差别的，(亦尸，而2、相同点：当被幵方数都是非负数，即时，―' 二扛；-「时，无意义，而八 '.知识点七：二次根式的运算1. 二次根式的乘除运算(1) 运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号.(2) 注意知道每一步运算的算理；(3) 乘法公式的推广：2. 二次根式的加减运算先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质；3. 二次根式的混合运算(1) 对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、幵方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的;(2) 二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用•要点诠释：怎样快速准确地进行二次根式的混合运算1. 明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的；2. 在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用；3. 在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果•(1) 加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握•在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简•例如恵 46，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行乘法运算，。

务V2 ~6 V2—6 -4 243，通过约分达到化简目的；(2) 多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用女口：',3 2,3 乙 5 2.2 21，利用了平方差公式.所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化4. 分母有理化把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式.常用的二次根式的有理化因式：（1）a与a互为有理化因式；（2）a与a x b互为有理化因式；一般地 a 与a c.、b互为有理化因式；（3）a ■,b与.a 互为有理化因式；一般地c、、a d ,b与c..a d、、b互为有理化因式.专题总结及应用一、知识性专题专题1二次根式的最值问题【专题解读】涉及二次根式的最值问题，应根据题目的具体情况来决定应采用的方法，不能一概而论，但一般情况下利用二次根式的非负性来求解例1当x取何值时，,9FH 3的值最小？最小值是多少？分析由二次根式的非负性可知,9x 0,即.9XT1的最小值为0,因为3是常数，所以.9^ 3的最小值为3.解：••• . 9x 1 > 0，•••、、9x 1 3> 3•••当9x+1=0，即x 1时，,9x 1 3 3有最小值，最小值为 3.9【解题策略】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即.a > 0（a>0）.专题2二次根式的化简及混合运算【专题解读】对于二次根式的化简问题，可根据定义，也可以利用-.a2 |a|这一性质，但应用性质时，要根据具体情况对有关字母的取值范围进行讨论.例 2 下列计算正确的是分析根据具体选项，应先进行化简，再计算• A选项中，.8 ,2 2,2 .2 、2B选若可化为33 23- , C选项逆用平方差公式可求得3 3(2 ,5 ( 2- <5 =4- 5= - 1,而D选项应将分子、分母都乘2，得2 3、、2-1. 2故选A.例3 计算(•、. 2 1)2006(.. 2 1)2007的结果是( )分析本题可逆用公式(ab) m=a n b m及平方差公式，将原式化为[(-2 1)(、2 1)]2006( .2 1) .2 1.故选D.___ ______ 2 例4 书知y '..x24 .4 x2—-——，求x. y y\ x2.14的值.2 x分析本题主要利用二次根式的定义及非负性确定x的值，但要注意所得x 的值应使分式有意义.x2 4>0,解：由二次根式的定义及分式性质，得 4 x2》0, x 2,2 x^O,【解题策略】本题中所求字母x的取值必须使原代数式有意义.例5 化简.4a212a 9-、4a2-20a 25(-< a< -).2 2【解题策略】本题应根据条件直接进行化简，主要应用性质..02 |a| a(a>0)，1 1 -a(a v O).例6 已知实数，a，b，c在数轴上的位置如图21-8 所r n A示，化简| a | \ (a c)2, (c a)2- b2. 图21-8 解：由a, b, c在数轴上的位置可知:【解题策略】利用间接给出的或隐含的条件进行化简时，要充分挖掘题目中的隐含条件，再进行化简•规律•方法对于无约束条件的化简问题需要分类讨论，用这种方法解题分为以下步骤：首先，求出绝对值为零时未知数的值，这些未知数的值在数轴上的对应点称为零点；其次，以这些零点为分点，把数轴划分为若干部分，即把实数集划分为若干个集合，在每个集合中分别进行化简，简称“零点分区间法” •例8已知a b 3,ab 12,求a f的值.分析这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中没明确告诉，a，b的符号，但可从a+b=-3，ab=12中分析得到.解：••• a+b=-3，ab=12，「・a v 0，b v 0.【解题策略】本题最容易出现的错误就是不考虑a，b的符号，把所求的式子化简，直接代入.专题3利用二次根式比较大小、进行计算或化简例9估计32 X J + . 20的运算结果应在（）A. 6到7之间B. 7到8之间C. 8到9之间D. 9到10之间分析本题应计算出所给算式的结果，原式.16 20 4 2 5，由于■ 4 v. 5V-. 6.25，即2V'、5v 2.5，所以8v 4 2. 5v9.故选C.例10已知m是.,13的整数部分，n是..13的小数部分，求巴」的值. m n 解：••• 9v 13V 16,/. .9 v ..13 v ,16，即3v ,13 v 4•••13的整数部分为3, 即m=3,•••、、13 的小数部分为..13-3，即n=._13 3,.m n 3 (、13-3) 6 ,13 6.13 13• • ---- -------- -- -- . ,m n 3 ( ,13 3) '一13 13二、规律方法专题专题4 配方法【专题解读】把被幵方数配方，进而应用ja2=ia化简.例11 化简 5 2；6,规律•方法一般地，对于a 2.,b型的根式，可采用观察法进行配方，即找出x，y(x> y > 0)，使得xy=b，x+y=a，则 a 2 b (G . y)2，于是,a 2 , b ,( x 、. y)2x “，从而使.a 2.b得到化简•例12 若a, b 为实数，且b=、3 5a ,5a 3 15，试求、b a 2 . b a 2 V a b \a b 的值.分析本题中根据b= 3 5a ,5a 3 15可以求出a, b,对，b a 2V a ba 2的被幵方数进行配方、化简.a b3 5a>n 3解：由二次根式的性质得，3 5a 0. a -.5a 3>0, 5对于形如-+ - 2或--2形式的代数式都要变为a b a b或将的形式，当它们作为被幵方式进行化简时，要注意a b 和 a b 以及ab 的符号专题5换元法【专题解读】 通过换元将根式的化简和计算问题转化为方程问题 例13计算.3 5 ,35.解：令x=. 3. 5 ... 3 5，两边同时平方得：••• x 2= ( 3) ( 3 .5 ) +2 .3 、5 X 、.、3 5 =10 专题6代入法【专题解读】 通过代入求代数式的值. 例 14 已知 a 2b 2400,ab 2 5760，求a 2 b 2的值.专题7约分法【专题解读】 通过约去分子和分母的公因式将第二次根式化简三、思想方法专题专题8类比思想【专题解读】 类比是根据两对象都具有一些相同或类似的属性，并且其中一个对象还具有另外某一些属性，从而推出另一对象也具有与该对象相同或 相似的性质•本章类比同类项的概念，得到同类二次根式的概念，即把二次根式【解题策略】 (a b)2 ab例15 化简2 6 「10 v15.例16化简XJ 丄匸g y).x 2 . xy y当a 3,b 15时’原式化简成最简二次根式后，若被幵方数相同，则这样的二次根式叫做同类二次根式.我们还可以类比合并同类项去合并同类二次根式例17计算.解：（1）原式=（1+2）.3=3、、3.（2）原式=3 2-、2 +2 3 +2 3 =2 .2+4、、3 .【解题策略】对于二次根式的加减法，应先将各式化为最简二次根式，再类比合并同类项的方法去合同类二次根式•专题9转化思想【专题解读】当问题比较复杂难于解决时，一般应采取转化思想，化繁为简，化难为易，本章在研究二次根式有意义的条件及一些化简求值问题时，常转化为不等式或分式等知识加以解决•例18函数y= 2x 4中，自变量x的取值范围是_—分析本题比较容易，主要考查函数自变量的取值范围的求法，本题中2x 4是二次根式，所以被幵方数2x-4 > 0,所以x>2.故填x>2.例19如图21-9所示的是一个简单的数值运算程序，若输入x的值为.3，则输出的数值为—. ____图21-9分析本题比较容易，根据程序给定的运算顺序将问题化为二次根式求值问题，易知图中所表示的代数式为x21，代入可知（.3 ）2-1=2.故填2.专题10分类讨论思想【专题解读】当遇到某些数学问题存在多种情况时，应进行分类讨论•本意在运用公式.a2 |a|进行化简时，若字母的取值范围不确定，应进行分类讨论•例20 若化简|1 x| 8^ 16的结果为2x 5，贝U x的取值范围是（）A. x为任意实数B. 1 < x< 4C. x > 1D. x< 4分析由题意可知|1 x| |x 4| 2x 5，由此可知|1 x| x 1，且|x 4| 4 x，由绝对值的意义可知x 1>0，且4 x>0，所以K x< 4,即x的取值范围是K x<4.故选B.【解题策略】对」a2和| a|形式的式子的化简都应分类讨论.例21如图21-10所示的是一块长、宽、高分别为7cm 5cm和3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的一个顶点A处，沿着长方体的表面爬到和顶点A相对的顶点B处吃食物，那么它要爬行的最短路径的长是多少？分析这是一个求最短路径的问题，一个长方体有六个面，蚂蚁有三种不同的爬行方法，计算时要分类讨论各种方法，进而确定最佳方案•解：沿前、右两个面爬，路径长为、、7)232',153 (cm).沿前、上两个面爬，路径长为\(37)252.125 (cm).图沿左、上两个面爬，路径长为(35)272113 (cm).所以它要爬行的最短路径长为'、帀cm.21-10规律•方法沿表面从长方体的一个顶点爬到相对的顶点去，共有三个爬行路线，每个路线长分别是它爬行两个展幵图的对角线的长二次根式单元测试题（一）判断题：（每小题1分，共5分） 1. • （—2）2ab = — 2 ab .............................. （ ）2. ,3 — 2 的倒数是,3 + 2.（ ）3. 心―1)2 = C.x 1)2.…( )4.J Ob 、1 ^a 3b 、2仪是同类二次根式.…( )3x F b5.8x , . J , ,9 x 2都不是最简二次根式.( )（二）填空（每小题2分，共20分）6. _____________ 当x 时，式子有意义. <x 37. 化简—^ .210 一 253 =.8 \ 27 \12a 3 -----------------------I - - --8. ___________________________________ a — *"a 1的有理化因式是 . 9. _________________________________________________ 当 1v x v 4 时，|x — 4| + J x 2 2x 1 = ______________________________________ 10. 方程迈(x — 1)= x +1的解是 _________________ .12. 比较大小：一13. 化简：(7 — 5血)200°・(—7— 5血)2001 = ________________________________________ . 14. 若(门 + ________________________________ = 0,则(x — 1)2+ (y + 3)2= . 15. ______________________________________________________________ x ，y 分别为8—了仃的整数部分和小数部分，则 2xy — y 2 =. (三)选择题：(每小题3分，共15分)16. 已知 x 3 3x 2 = — x x 3，则 ................. ( )(A ) x < 0 ( B ) x <— 3 (C ) x > — 3(D )— 3<x < 017. ....................................................................................................................... 若 x v y v 0，则 x 2 2xy y 2 + x 2 2xy y 2 =2 【提示】— 亞鼻一—（呢+ 2）.【答案】X.v3 23 43 【提示】.（x 1）2 — | x —1| ， 0 x 1 ）2 — x — 1 （x > 1）.两式相等，必须 x > 1 .但 等式左边x 可取任何数.【答案】X .11.已知a 、b 、c 为正数,d 为负数，化简ab c 2d 2 .abc 2d 21 4、3(D ) a...................................................................................................................... ()(A) 2x (B) 2y (C)—2x (D)—2y18. 若0v x v 1,贝，(x 1)2 4 —. (x 1)2 4 等于................... ( )V x V x(A) 2(B)— - ( Q—2x (D) 2xx x 1919化简(a v 0)得.................................................a( )(A) a9、 【提示】x 2-2x + 1=( ) 2, x — 1.当 1v x v 4 时，x — 4, x — 1 是正数还是负数？x — 4是负数，x — 1是正数.【答案】3.10、 【提示】把方程整理成ax = b 的形式后，a 、b 分别是多少？ 2 1 , 2 1 .【答 案】x = 3+ 2,2 .11、 【提示】,c 2d 2 = | cd | = — cd . 【答案】JOB + cd .[点评】ab = ^ab)2 (ab > 0),二 ab — c 2d 2=ab cd )(、ab cd ).12、 【提示】2 ,7 = .28 , 4 ,3 = .. 48 .【答案】v.【点评】先比较 28 , ,48的大小，再比较 1 , 1的大小，最v'28 V48后比较一1与一1的大小.V28v'4813、 ____________________________________________________ 【提示】(—7— 5盪20. 当 a v 0, b v 0 时，一a + 2 _ ab — b 可变形为 ( )(A ) (、.a .. b)2 (四)计算题：(每小题6分，共24分)21. ( , 5 ,32 ) ( .. 5 .3 ,2 ); 22.(B )— (、. a.. b)2 (C ) (、. a b) 2 (D ) G a b)223.4、11■11 、73.7 '—竺 mn + ― m )- a 2b 2.mmm n(,a +b ab)-柘Vb (a 2. na.ab b（五）求值：（每小题7分，共14分） 25 已知X —屈迈 y —弱 v 2求 25.已知 X - 3 2，y - 3 2，求 24. n .,m 'b— a b ) (a z b ). .ab a ab26.当 x = 1- ,2 时，求3 2X xy 的值43 22 3、x y 2x y x yx十 2x Jx 22 2 2 2x a x x a =+ . 1 的值.2 2 2 2 2x x I x a x a六、解答题：(每小题8分，共16分)27.计算(2,5 + 1) (11 11Id+ 2 ,3 .3 28.若X , y 为实数，且 y = 1 4x + . 4x值.（一）判断题：（每小题 | — 2| = 2.【答案】X.1分，共5分） 1、【提示】 .(2)2 =).+1 .41 + 12X2 y 的 \ yxf ( —7 —5血)200°•(____________________________________ )[ —7—5".](7 —5、.2 ) •(—7— 5.2 ) =? [1 .]【答案】—7 —52 .【点评】注意在化简过程中运用幂的运算法则和平方差公式.14、【答案】40.【点评】-f x 1》0, .. y 3》0.当•、x 1 + , y 3 = 0 时，x+ 1 = 0, y — 3 = 0. 15、 ___________________________________ 【提示】T 3v 胡1 v 4,二v8—前1 v .[4 , 5].由于8—11介于4与5之间，则其整数部分x =?小数部分y=? [x= 4, y = 4 —11 ]【答案】5.【点评】求二次根式的整数部分和小数部分时，先要对无理数进行估算.在明确了二次根式的取值范围后，其整数部分和小数部分就不难确定了.(三)选择题：(每小题3分，共15分)16、【答案】D.【点评】本题考查积的算术平方根性质成立的条件，(A)、(C)不正确是因为只考虑了其中一个算术平方根的意义.17、【提示】I x v y v 0,A x —y v 0, x + y v0.x2 2xy y2= .. (x y)2= | x—y| = y —x..x2 2xy y2= .. (x y)2= | x+ y| = —x —y.【答案】C.【点评】本题考查二次根式的性质.a2= |a| .18、【提示】(x ——) + 4 = (x+ —) , (x + ■—) —4 = (x —).又0v x v 1,x x x xx + —> 0, x —- v 0.[答案】D.x x【点评】本题考查完全平方公式和二次根式的性质. (A)不正确是因为用性质时没有注意当0v x v 1时，x—1v0.x19、【提示】.a3= a a2= \ a • a2= | a| a = —a a .【答案】C.20、 【提示】I a v 0, b v 0,••• — a > 0,— b > 0.并且一a = ( .. a)2, - b = ( . b)2 , , ab = . ( a)( b).【答案】C.【点评】本题考查逆向运用公式(..a)2 = a (a >0)和完全平方公式.注 意(A )、( B )不正确是因为a v 0, b v 0时，、伍都没有意义.(四) 计算题：(每小题6分，共24分)21、 【提示】将,5 .3看成一个整体，先用平方差公式，再用完全平方公式. 【解】原式=(.5 ..3)2—(、、2)2 = 5— 2,15 + 3— 2= 6— 2 15 . 22、 【提示】先分别分母有理化，再合并同类二次根式. 【解】原式=型型—47) — 23◎ = 4+ .11 — ■ 11 — .7 —3」716 1111 79 7=1 .23、【提示】先将除法转化为乘法，再用乘法分配律展幵，最后合并同类二次根 式. 【解】原式=(a 2 一 n —辿..m n + m )\ m mm Y n1 n m 1m [ n mm「 ---- —mn — + 亍 -----------b m nmab - n ma b , n n2_ 11 ,1_ a ab1— ~I~ -------- - --------- .2. 12. 2 2. 2 ■b ab a ba b24、【提示】本题应先将两个括号内的分式分别通分，然后分解因式并约分. a . ab b ab 亠 a .a(、a 、b) b .b(、a . b) (a b)(a b) 禹 V b v'ab^/a Ub)(€a <b)a 2 a . ab b ab b 2 a 2 b 2+莎(石 Vb)^'a J b) ab(、a b)(、-a . b)\ ab(a b)【点评】本题如果先分母有理化，那么计算较烦琐. (五) 求值：(每小题7分，共14分)25、【提示】先将已知条件化简，再将分式化简最后将已知条件代入求值.-?3 ■，'2 __ 2 _y - 3 2- (、3,2)2 - 5— 2 6 .V 3 V 2x + y — 10， x — y — 4 6， xy — 5 — (2 . 6 )2 — 1. x 3 xy 2 = x(x y)(x y) =x y = 4 J6 x 4y 2x 3y 2 x 2y 3 x 2y(x y)2 xy(x y) 1 10【点评】本题将x 、y 化简后，根据解题的需要，先分别求出“ x + y ”、“x — y ”、 “xy ”.从而使求值的过程更简捷.【解】原式一_ a b 亠【解】x 4.2 2 2 2x x a ( . x a x)=x 22x x 2 a 2 ( X 2 a 2)2 x x 2 a 2x 2=( x 2 a 2)2 x x 2 a 2 =x 2 a 2(.x 2 a 2 x)-—2 2 . 2 2、_2“ ~~2、 2 2 2 2x . x a (. x a x) x. x a ( x a x) x, x a (” x a x)=1 .当x = 1-、、2时，原式=1=- 1- ,2 .［点评】本题如果将前两个“分x 1 . 2式”分拆成两个“分式”之差，那么化简会更简便.即原式=,界：2『x ）2xx 2 a 2 + x(. x 2 a 2 x)六、解答题：（每小题8分，共16分）27、［提示】先将每个部分分母有理化后，再计算. ［解】原式=（2 ,5 + 1）（亠+亠^ +亠^十…十10099）2 13 24 3100 99=（2 , 5 + 1） ［ （ 2 1） + （2 ） + （「..；4 -J 3 ）+•••+（」100 疼 99 ）］ =（2、5 + 1） （ .100 1） =9 （2、5 + 1）.［点评】本题第二个括号内有 99个不同分母，不可能通分•这里采用的疋先 母有理化，将分母化为整数， 种方法也叫做裂项相消法.28、［提示】要使y 有意义, 必须满足什么条件？［ 1 4x 4x 1 0］你能求出X ， y 的值 x 吗？［ :］ 2.【解】要使y 有意义，必须［1 4x 0x 0，即4x 14 .• 1又：芒2厂芒2厂(•「；)2-x y 2 C y■x )= 1 —( -------- 2 2/ 2 2)-(/ 2 2x a x a x !) + 1 = 1 x x 2 a 2 x分 从而使每一项转化成两数之差， 然后逐项相消.这x4.2S = 2 x 当 x =丄,y = 1 时, y y 42原式=2 11 =罷.【点评】解本题的关键是利用二次根式的意义求出 而求出y 的值.4、 【提示】丄.a 3b 、 J a 化成最简二次根式后再判断.【答案】".x =y=-x 的值，进3 xY b5、.9 x2是最简二次根式.【答案】X.（二）填空题：（每小题2分，共20分）6、【提示】.x何时有意义？x > 0 .分式何时有意义？分母不等于零.【答案】x >0 且x z 9.7、【答案】一2a-a.【点评】注意除法法则和积的算术平方根性质的运用.&【提示】（a—爲厂匚）（__________ ）—a2—（J厂）2.aW O^l .【答案】a+ ■■■. a2 1 .。